立体几何直线的方向向量

3.2立体几何中的向 量方法---------方向向量与法向量

一、方向向量与法向量 1.直线的方向向量如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。

换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量

A

l

a

P

直线的方向 向量不唯一

直线l的向量式方程

AP ta

练习 (, 1 2, 3 ),( B 2, 1, 2 ),(, P 1 1, 2 ) 2.已知两点 A , 点 Q 在 OP 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标.解:设 OQ OP ( ) ∴ QA QB 6 16 , ∴当 时, QA QB 取得最小值, 4 4 8 此时 Q( , , ) 3 3 3

2、平面的法向量

换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 的法向量 平面 α的向量式方程 注：平面 α的法向量 不唯一 l

a AP 0

几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互 相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m是与平面平行或在平面内， 则有

aAP

n m 0

巩固性训练11.设

a,

3.2立体几何中的向 量方法---------方向向量与法向量

一、方向向量与法向量 1.直线的方向向量如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。

换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量

A

l

a

P

直线的方向 向量不唯一

直线l的向量式方程

AP ta

练习 (, 1 2, 3 ),( B 2, 1, 2 ),(, P 1 1, 2 ) 2.已知两点 A , 点 Q 在 OP 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标.解:设 OQ OP ( ) ∴ QA QB 6 16 , ∴当 时, QA QB 取得最小值, 4 4 8 此时 Q( , , ) 3 3 3

2、平面的法向量

换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 的法向量 平面 α的向量式方程 注：平面 α的法向量 不唯一 l

a AP 0

几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互 相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m是与平面平行或在平面内， 则有

aAP

n m 0

巩固性训练11.设

a,

Now similar concerns are being raised by the giants（巨头）that deal in data, the oil of the digital age. The most valuable firms are Google,Amazon,3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程

课后导练

基础达标

1.已知A（1，1，0），

=（4，0，2）,点B的坐标为（ ）

A.（7，-1，4） B.(9,1,4) C.(3,1,1) D.(1,-1,1) 答案：B 2.

=(-1,2,3)，

=（l,m,n），

=（0，-1，4），则

等于（ ）

A.（-1+l，1+m,7+n） B.(1-l,-1-m,-7-n)

C.(1-l,1-m,7-n) D.(-1+l,-1+m,-7+n) 答案：B

3.若a=(0,1,-1)，b=(1,1,0)，且(a+λb)⊥a，则实数λ的值是（ ） A.-1

关于空间向量与立体几何

1 空间向量与立体几何

一、平行与垂直问题

（一） 平行

线线平行 线面平行 面面平行 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括直线在平面内，面面平行包括面面重合。

（二） 垂直

线线垂直 线面垂直 面面垂直 注意：画出图形理解结论

二、夹角与距离问题

（一） 夹角

（二）距离

点、直线、平面之间的距离有7种。点到平面的距离是重点.

1．已知四棱锥P A B C D -的底面为直角梯形，//A B D C ，

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ∥m ?a ∥b a k b ?=

；

l ∥α?a

u ⊥ 0a u ??=

；

α∥β?u ∥v .u k v ?=

设直线,l m 的方向向量分别为

,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ⊥α?a ∥u a k u ?= ；

l ⊥m ?a ⊥b 0a b ??=

；

α⊥β?u ⊥v .0=??v u

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ 的法向量分别为,u v ，则

①两直线l ,m 所成的角为θ(02π

θ≤≤),cos a b

a b

θ?=

；

②直线l 与平面α

§3.2 立体几何中的向量方法 (一>

—— 平行与垂直关系的向量证法

知识点一 求平面的法向量

已知平面α经过三点A(1,2,3>，B(2,0，－1>，C(3，－2，0>，试求平面α的一个法向量．

解∵A(1,2,3>，B(2,0，－1>，C(3，－2,0>，

＝(1，－2，－4>，错误!＝(1，－2，－4>， 设平面α的法向量为n＝(x，y，z>． 依题意，应有n·

=0， n·错误!=0.

即错误!，解得错误!.令y＝1，则x＝2.b5E2RGbCAP ∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0>．

【反思感悟】 用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量>即可．p1EanqFDPw 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：

是平面A1D1F的法向量.

DXDiTa9E3d 证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则的法向量．

证明

是平面A1D1F

设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0>，E错误!，RTCrpUDGiT ＝错误!..D1＝(0,0,1>，5PCzVD7HxA F错误!，A1(1,0,1>．jLBHr

《立体几何中的向量方法》教学设计（2）

【教学目标】利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题． 【教学重点】：坐标法与向量法结合.

【教学难点】：适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线． 【教学课时】：1课时 【课前准备】：课题 【教学过程设计】：

（1）点到平面的距离： 1．（一般）传统方法：

利用定义先作出过这个点到平面的垂线段， 再计算这个垂线段的长度； 2．还可以用等积法求距离； 3．向量法求点到平面的距离. 在Rt?PAO中，

??O?PdnAsin??d|AP|?d?|AP|sin?

l?P又sin??|AP?n||AP||n|

?dn?d?|AP?n||n|A?O（其中AP为斜向量，n为法向量）

例１：如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．

分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．

解：如图，设CD?4i，CB?4j，CG?2

高二数学学案 教案编写： 审核人： 高二数学组 使用时间： 编号：1

3.2.立体几何中的向量方法（坐标法） 【学习目标】熟练掌握解决立体几何问题的坐标方法； 【学习重点】坐标法解决立体几何问题的三个步骤； 【学习难点】立体几何问题到向量坐标问题的转化； 【学习过程】 1、 直线的方向向量： 。 2、平面的法向量： 。 3、 例题2：如图二面角中α---L---β中AC、BD都与L垂直AC=a BD=b CD=c AB=d 求二面角α---L---β的余弦值 F'βB C αDlA例题讲解 D'例题1：如图四棱柱ABCD-A＇B＇C＇D＇中以A为顶点的三条棱长都相等,且它们彼此

1 法向量在立体几何中的应用

查宝才

（扬州市新华中学，江苏 225002）

向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。将向量引入中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法——向量法。下面就向量中的一种特殊向量——法向量，结合近几年的高考题，谈谈其在立体几何有关问题中的应用。

1 法向量的定义

1.1 定义1 如果一个非零向量n 与平面α垂直，则称向量n 为平面α的法向量。

1.2 定义2 任意一个三元一次方程：0=+++D Cz By Ax ，222(C B A ++ )0≠都表示空间直角坐标系内的一个平面，其中),,(C B A n =为其一个法向量。]1[ 事实上，设点),,(0000z y x P 是平面α上的一个定点，),,(C B A n =是平面α的法向量，设点),,(z y x P 是平面α上任一点，则总有n P P ⊥0。

∴ 00=?n P P ， 故 0),,(),,(000=---?z z y y x x C B A ，

即 0)()()(000=-+-+-z z C y

空间向量在立体几何中的应用

1【例1】已知三棱锥P-ABC中,PA⊥面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN，

2M,S分别为PB,BC的中点.

(Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小. 证明：

设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图.

111则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),N(,0,0),S(1,,0)

222??????1???11(Ⅰ)CM?(1,?1,),SN?(?,?,0),

222?????????11因为CM?SN????0?0,

22所以CM⊥SN

????1(Ⅱ)NC?(?,1,0),

2设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量, 1?x?y?z?0,??2令x?2，得a=(2,1,-2). 则?1??x?y?0.??21????2?2 因为cosa,SN?223?2?1?所以SN与片面CMN所成角为45°

【例2】、如图,四棱锥S—ABCD中,SD?底面ABCD, AB//DC,AD?DC, AB?AD?1,DC=SD=2,E为棱 SB上的一点,平面EDC?平

《立体几何中的向量方法》教学设计（2）

【教学目标】利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题． 【教学重点】：坐标法与向量法结合.

【教学难点】：适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线． 【教学课时】：1课时 【课前准备】：课题 【教学过程设计】：

（1）点到平面的距离： 1．（一般）传统方法：

利用定义先作出过这个点到平面的垂线段， 再计算这个垂线段的长度； 2．还可以用等积法求距离； 3．向量法求点到平面的距离. 在Rt?PAO中，

??O?PdnAsin??d|AP|?d?|AP|sin?

l?P又sin??|AP?n||AP||n|

?dn?d?|AP?n||n|A?O（其中AP为斜向量，n为法向量）

例１：如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．

分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．

解：如图，设CD?4i，CB?4j，CG?2