平面几何中的向量方法

2.52.5.1

平面向量应用举例平面几何中的向量方法

问题提出

1 5730 p 2

t

1.用有向线段表示向量，使得向量可以 进行线性运算和数量积运算，并具有鲜 明的几何背景，从而沟通了平面向量与 平面几何的内在联系，在某种条件下， 平面向量与平面几何可以相互转化.

2.平行、垂直、夹角、距离、全等、相 似等，是平面几何中常见的问题，而这 些问题都可以由向量的线性运算及数量 积表示出来.因此，平面几何中的某些问 题可以用向量方法来解决，但解决问题 的数学思想、方法和技能，需要我们在 实践中去探究、领会和总结.

探究(一):推断线段长度关系

思考1:如图，在平行四边形ABCD中，已 知AB=2,AD=1,BD=2,那么对角线AC的 长是否确定？D A B C

A D b,则向量 A C 思考2:设向量A B a, 等于什么？向量 DB 等于什么？ AC

=a+b, DB =a-b

思考3:AB=2,AD=1,BD=2,用向量语言 怎样表述？ D C b |a|=2,|b|=1,|a-b|=2. A a B 思考4:利用 | A C | (A C ) ,若求| A C | 需要解决什么问题？2 2

思考5:利用|a|=2,|b|=1,|a-b|=

2. 5.1平面几何中的向量方法

教学目的：

1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；

2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.；

3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.

教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”. 教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.

教学过程：

一、复习引入：

1. 两个向量的数量积： ||||cos .

2. 平面两向量数量积的坐标表示: x1x2 y1y2.

3. 向量平行与垂直的判定:

// x1y2 x2y1 0. x1x2 y1y2 0.

4. 平面内两点间的距离公式： |AB|

5. 求模：

(x1 x2)2 (y1 y2)2

二、讲解新课：

例x2 y2

(x1 x2)2 (y1 y2)2 1. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图， , ,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？

思考1：

如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？

练习1. 已知AC为⊙O的一条直径，∠ABC为圆周角.求证：∠ABC＝90o.（用向量方法

平面几何新思索

【000514】△OPQ是一个给定三角形，M，N是PQ的三等分点。在任意△ABC周围作： △FBA∽△MOP，△EAC∽△NQO。G是△ABC的重心。求证：△GEF∽△OPQ。

EAOFGPMNQBC

F上题是在研究拿破仑定理时，经过一番探索而编造出来的。结果发觉其难度并不大。 当∠P和∠Q都等于30°时，立即就得到拿破仑定理（不过要将它重复两次）。

【020527】黄路川问如下题：

“已知：I是内心，D是A的对径点，且BE，CF的长均为半周长。求证：DI垂直于EF。”

经探索：当A在外接圆上运动时，EF之包络是圆；若BE，CF长不等于半周长时，EF之包络是圆锥曲线。

EF包络所形成的圆具体位置还值得继续探索，预感还会产生一些新的东西。

BDAEIC

【040227】当天晚上收到钟建国的一封E-mail，使我对三角形特殊点又有了一阵探索的兴趣。

结论1 三角形的Fermat点与它的等角共轭点的连线，必平行于Euler线。

AHFGOBC

J注：图中F是Fermat点（又称“等角中心”），它对于△ABC三边的视角都是120°； 其等角共轭点J是△ABC的“等力点”（isodynamic point），其特性如下：它的垂足三角形

1、一道有趣的新编题

设D、E、F是△ABC的内切圆的切点，O、I分别是其外心和内心，

在DI、EI、FI的延长线上分别截取IA'＝IB'＝IC'＝R（外接圆半径）。 求证：AA'＝BB'＝CC'＝OI；且直线AA'、BB'、CC'共点于外接圆 上一点P，P关于△ABC的Simson线恰垂直于OI。

2、大家来讨论一下中等数学高248号问题怎么解决

本题结论优美，是Fuhrmann圆的推广。（当P点取垂心时即得到Fuhrmann圆）

1

呵呵，没有必要Menelaus定理，有如下巧证：

如图，自A、B、C分别作PA、PB、PC的垂线，围成△DEF。取△DEF的内心I。

易见A1在以PD为直径的圆上，且因A1是BC弧中点，故D、I、A1共线。得∠PA1I＝90°。

同理∠PB1I＝∠PC1I＝90°。故A1、B1、C1、P、I五点共圆。证毕

2

评注：

《近代欧氏几何学》第7章§207定理（曼海姆）：

“如图，设△DEF是△ABC的内接三角形，△DEF关于△ABC的Miquel点为M。 设任意三条共点直线AP、BP、CP交相应的Miquel圆于A1、B1、C1，则A1、B1、C1、M、P五点共圆。”

第二讲 平面几何中的著名定理

一、基础知识

（一）常用定理

1、（梅涅劳斯定理）设X,Y,Z分别是?ABC的三边BC,CA,AB或其延长线上的点，且奇数个点在边的延长线，则X,Y,Z三点共线的充要条件是：

BXXC?CYYA?AZZB?1.

2、（塞瓦定理）设X,Y,Z分别是?ABC的三边BC,CA,AB上的点， 则AX,BY,CZ共点的充要条件是：

BXXC?CYYA?AZZB?1.

（角元形式的塞瓦定理）设X,Y,Z分别是?ABC的三边BC,CA,AB上的点， 则AX,BY,CZ共点的充要条件是：

sin?BAXsin?XAC?sin?CBYsin?YBA?sin?ACZsin?ZCB?1.

?,C?A,?推论：设X,Y,Z分别是?ABC的外接圆三段弧BC则AX,BY,CZ共AB上的点，

点的充要条件是：

BXXC?CYYA?AZZB?1

3、托勒密定理:四边形ABCD内接于圆的充要条件是：

AB?CD?BC?DA?AC?BD.

广义托勒密定理:在凸四边形ABCD中,有AB?CD?BC?DA?AC?BD,等号成立的充要条件是四边形ABCD为圆的内接四边形.

直线上托勒密定理：若A,B,C,D为一直线上依次排列的四点， 则AB?CD?BC?DA?

空间与图形概念（1） 平面几何的基本概念

1，直线上两点间的一段叫做线段。

2，把线段的一端无限延长，得到一条射线。

3，把线段的两端无限延长，得到一条直线。

4，从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点。这两条射线叫做角的边。

5，角的大小与边的长短无关，与两边展开的程度有关。

6，小于90的角叫做锐角；大于90而小于180的角叫做钝角，等于90的角叫直角。 7，角的两边成一条直线，这样的角叫做平角。一个平角180。 8，一条射线绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角。一个周角360 9，1平角=2直角 1周角=2平角=4直角

10，在同一平面内，两条直线的相互位置有两种情况：相交和平行

11，两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

12，在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。平行线间的距离处处相等。

13，从直线外一点到这条直线所画垂直线段的长度叫做这点到这条直线的距离。

14，由三条线段围成的图形叫做三角形。围成三角形的每条线段叫做三角形的边。 每两条线段的交点叫做三角形的顶点。三角形具有稳定性。

15，三个角都是锐角的三

初等几何选讲复习资料三

几何选讲平面几何中几个重要定理及证明

一、塞瓦定理

1．塞瓦定理及其证明

定理：在?ABC内一点P，该点与?ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，且D、E、F三点均不是?ABC的顶点，则有

D B F P C A ADBECF???1．

DBECFAE ADS?ADPS?ADC?证明：运用面积比可得DB?S． S?BDP?BDC根据等比定理有

S?ADPS?ADCS?ADC?S?ADPS?APC???S?BDPS?BDCS?BDC?S?BDPS?BPC，

ADS?APCBES?APBCFS?BPC?所以DBS．同理可得，． ???BPCFAS?APBECS?APCADBECF???1． 三式相乘得

DBECFA

注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．

2．塞瓦定理的逆定理及其证明

定理：在?ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、

ADBECF???1，F，且D、E、F均不是?ABC的顶点，若

DBECFA那么直线CD、AE、BF三线共点．

证明：设直线AE与直线BF交于点P，直线CP交A

第一讲：空间几何中的向量方法---------坐标运算与法向量

一、空间向量的坐标运算

??1． 若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)，则

（1）a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； （2）a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； （3）?a?(?a1,?a2,?a3),??R； （4）a?b?a1b1?a2b2?a3b3； （5）a//b?a1??b1,a2??b2,a3??b3,(b?0,??R)； （6）a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0； （7）a?（8）cos?a,b??22a?a?a12?a2?a3；

a1b1?a2b2?a3b3a?b. ?222222a?ba1?a2?a3?b1?b2?b3?????????例1 已知a?(2,?3,5),b?(?3,1,?4),求a?b,a?b,8a,a?b,的坐标.

????2.若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)

练习1: 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB,PC的中点，且PA=AD=1，

?????求向量MN的坐标.

二、空间直角坐标系中平面

第27讲 三角法与向量法解平面几何题

相关知识

在?ABC中,R为外接圆半径,r为内切圆半径,p?1,正弦定理:

a?b?c,则 2abc???2R, sinAsinBsinC2,余弦定理:a2?b2?c2?2bccosA,b2?a2?c2?2accosB,c2?a2?b2?2abcosC. 3,射影定理:a?bcosC?ccosB,b?acosC?ccosA,c?acosB?bcosA. 4,面积:S?11abcaha?absinC??rp?2R2sinAsinBsinC 224R = rR(sinA?sinB?sinC)= ?p(p?a)(p?b)(p?c) coCt.

)122(acotA?b2coBt?c4A类例题 例1．在ΔABC中，已知b=asinC ,c=asin(90-B)，试判断ΔABC的形状。 分析 条件中有边、角关系, 应利用正、余弦定理, 把条件统一转化为边或者是角的关系, 从而判定三角形的形状。

0

a2?c2?b2a2?c2?b2?解 由条件c = asin(90 - B) = acosB = a

2ac2c0

2222 ?a?c?b?2c ?a?c?b?A是直角

222ac??c?

叶中豪、冯祖鸣、闵飞三人通信。非常值得一看,尤其是数学竞赛的同学。

【To：冯祖鸣<zfeng@exeter.edu>

Hi，Zuming

Three Problems Sat, 13 May 2006 23:23:39 +0800 (CST)】

今天做了三个挺有意思的小题，是一位网友传来的。附上供一阅。06-05-13 附件：闵飞．doc（197KB）；06051302．gsp（52KB）

【From：闵飞<minfei2003@>

叶老师:

几道三点共线与特殊角的命题 Tue, 9 May 2006 14:36:14 +0800 (CST)】

您好!近日,用几何画板画了几道三点共线与特殊角互为充要条件的命题,只给出第一道的证明,余下两题没想出好的办法,在此发出在附件中,请叶老师看一看.

闵飞 2006,5,9.

附件：三点共线与特殊角等价．doc（114KB）

题目1：过A作 ABC的外接圆的切线，交BC的延长线于P点， APB的平分线依次交AB、AC于D、E，BE、CD交于Q，求证： BAC=60 的充要条件是O、P、Q共线。

题目2：在 ABC中， A的平分线交BC于D， ABC、 ABD、 ACD的外接圆圆心分别为O1、O2、O