一次函数与特殊三角形典型例题

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特殊三角形复习

【内容综述】

等腰三角形和直角三角形是两种非常特殊的三角形，本讲中通过一系列有关等腰三角形或直角三角形的问题的解决，既是复习有关三角形全等的知识，同时也是培养同学们分析、解决问题的能力。同学们通过学习下面问题的分析、解答过程，特别要注意体会如何根据题目的已知信息和图形特征作出适当的辅助线。这是学习本节的难点所在。

【要点讲解】

★★例1 如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G。

求证：DG=EG。

思路因为△GDB和△GEC不全等，所以考虑在△GDB内作出一个与△GEC全等的三角形。

证明：过D作DH∥AE，交BC于H

∴

∵AB=AC

∴

∴

∴DB=DH

又∵DB=CE

∴DH=CE

又∵

∴

∴DG=EG.

说明本题易明显得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过E作EF∥BD，交BC的延长线于F，证明△DBG≌△EFG，读者不妨试一试。

★★例2 如图2-8-2，D为等边△ABC的内部一点，DB=DA，BE=AB，∠DBE=∠DBC，求∠BED的度数。

.

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思路从已知中知等边△ABC的每个内角为60°。所以要想办法把∠BED和60

【典型例题】 例1. （2008年陕西）已知：如图，B、C、E三点在同一直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．求证：△ABC≌△CDE． 分析：已知条件中具备AC＝CE，要证明两个三角形全等，需要推证其它的对应边、对应角相等，而由AC∥DE得∠E＝∠ACB，∠D＝∠ACD，又因为∠ACD＝∠B，所以∠D＝∠B．得到两个三角形全等的条件。 解：∵AC∥DE，∴∠ACD＝∠D，∠BCA＝∠E． 又∵∠ACD＝∠B，∴∠B＝∠D． 在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE． 评析：从已知条件入手寻找三角形全等的条件，灵活运用平行线的性质推导∠D＝∠ACD，∠E＝∠ACE．解题关键是利用平行线的性质获得三角形全等的条件。 例2. （2008年浙江衢州）如图，AB∥CD （1）用直尺和圆规作∠C的平分线CP，CP交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）中作出的线段CE上取一点F，连结AF．要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明）． 分析：根据角平分线的作法，分三步得到∠C的平分线．对于补充条件使△ACF

二元一次函数求三角形面积

利用一次函数图象解二元一次方程组 2x-y-2=0

y=-x-5

，并求出函数图象与x轴围成的三角形面积？

考点：一次函数与二元一次方程（组）． 专题：计算题；作图题．

分析：先把两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解．

解答：∴方程组的解为 x=-1

解：如图；两个一次函数的交点坐标为M（-1，-4）；

y=-4

．

直线y=-x-5中，令y=0，则：-x-5=0，x=-5；即A（-5，0）； 同理可求得B（1，0）； ∴AB=6，S△ABM= 1 2 AB?|yM|= 1 2

×6×4=12．

点评：在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，

一定是相应的两个一次函数的图象的交点． 次函数y=2x-4与坐标轴围成的三角形面积是 4 ．

考点：一次函数图象上点的坐标特征． 专题：计算题．

分析：当x=0时，求出与y轴的交点坐标；当y=0时，求出与x轴的交点坐标；然后即可求出一次函数y=2x-4与坐标轴围成的三角形面积．

1

解答：解：当x=0时，y=-4，与y轴的交点坐标为（0，-4）；

三角形（二）——特殊三角形

【等腰三角形】

1．有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形。 2．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

3．等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。（常称为“三线合一”）。 4．如果一个三角形有两个内角相等，则它是等腰三角形。

姓 名： 【典型例题】

例1.已知?ABC中，那么?ABC一定是（ ） ?B与?C的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上， （A）直角三角形 （B）等边三角形 （C）等腰三角形 （D）等腰直角三角形

第12届（2001年）初二培训

例2.如图2，在?ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，它们相交于F点，是图中等腰三角形的个数是（ ）

第14届（2003年）初二培训

图2

例3.等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）。

图1

（A）30° （B）30°或150° （C）120°或150° （D）30°或120°或150°

第10届（1999年）初二第

高考数学解三角形典型例题答案（一）

1 ．设锐角ABC ?的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小;

(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.

【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC ?为锐角三角形得π6

B =. (Ⅱ)cos sin cos sin A

C A A π?

?+=+π-

- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ???

1cos cos 2A A A =++

3A π??=+ ??

?. 2 ．在ABC ?中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ．

(Ⅰ)求角B 的大小;

(Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ?的最大值是5,求k 的值.

【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ．

即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B

=sin(B +C )

特殊三角形专题练习

一．选择题（共9小题）

1．已知等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是（ ） Ax＞12 Bx＜6 C6＜x＜12 D0＜x＜12 ． ． ． ． 2．若实数x，y满足|x﹣4|+

=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）

A12 B16 C16或20 D20 ． ． ． ． 3．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是经过A点的一条直线，且B，C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE=2，BD=6，则DE的长为（ ）

A2 B3 C5 D4 ． ． ． ． 2

4．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（ ） A27 B36 C27或36 D18 ． ． ． ． 5．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）

A40° B45° C60° D70° ． ． ． ． 6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于

1．如图，一次函数y=﹣的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以

线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，使∠ABC=30°； （1）求△ABC的面积； （2）如果点P（m，

）在第二象限内，试用含m的代数式表示四边形AOPB

的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；

（3）如果△QAB是以AB为直角边，且有一锐角为30°的直角三角形，请在第一象限中找出所有满足条件的点Q的坐标．

【分析】（1）首先求得A和B的坐标，利用勾股定理即可求得AB的长，然后在直角△ABC中利用三角函数求得AC的长，则三角形的面积即可求解；

（2）根据四边形OAPB的面积等于△OAB的面积与△OBP的面积的和即可利用m表示出四边形AOPB的面积，然后表示出△APB的面积，根据△APB与△ABC面积相等，列方程求解； （3）分成A是直角顶点和B是直角顶点两种情况讨论，第一种情况C就是所求，作CE⊥x轴于点E，在直角△ACE中利用三角函数求得AE和CE的长，则C的坐标即可求得；当B是直角顶点时，把C向上平移1个单位长度就是Q． 【解答】解：（1）在y=﹣

中令x=0，解得y=

，则B的坐标是（0，

）．

个单位长度，把C向左平移

令y=0，解得x=1，则A的坐标是（1，

综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题

例题 如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。 ⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为y x2 x） ．．．

⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

1

4

．．．．．．．

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况

2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特．．殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

推导边的大小。

相似来列方程求解。

例题2：如图，已知抛物线y=ax2+4ax+t（a＞0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（-1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；

（2）过点C作x轴的平行线交抛

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二次函数的综合应用㈠

一、典例精析

考点一：二次函数与方程 1.（2011广东）已知抛物线y?12x?x?c与x轴有交点． 2(1)求c的取值范围；(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由． 解：（1）∵抛物线与x轴没有交点 ∴⊿＜0，即1－2c＜0 解得c＞

1 211 ∴直线y=x＋1随x的增大而增大，∵b=1 221∴直线y=x＋1经过第一、二、三象限

2(2)∵c＞

2.(2011南京)已知函数y=mx－6x＋1（m是常数）．

⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． 解：⑴当x=0时，y?1．

2所以不论m为何值，函数y?mx?6x?1的图象经过y轴上的一个定点（0，1）．

2

⑵①当m?0时，函数y??6x?1的图象与x轴只有一个交点；

②当m?0时，若函数y?mx?6x?1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2?6x?1?0有两个相等的实数根，所以(?6)?4m?0，m?9．

2综上，若函数y?mx?6x?1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9． 考点二：二次函数与最大问题

223、如图，二次函数y??12x?

三角形的五心一次看个够

三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在这里分别给予介绍．

一、三角形外心的性质

A 外心定理的证明：如图，设AB、BC的中垂线交于点O，则有

OA=OB=OC，故O也在A的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ΔABC外接圆的圆心．因而称为外心．

O设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，

BCp=(a+b+c)/2．

1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；

（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； （3）钝角三角形的外心在三角形外. 2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A).

3：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：

????????????????????????点G是?ABC的外心?GA?GB?GC (或GA2=GB2=GC2)(点G到三顶点距离相等)

?(GA+GB)·AB=(GB+GC)·BC=(GC+GA)·CA=0(G为三边垂直平分线的交点)

4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：

????