概率论与数理统计第六章答案

第六章 样本及抽样分布 总体与个体：

我们将试验的全部可能的观察值称为总体，这些值不一定都不相同，数目上也不一定是有限的，每一个可能观察值称为个体 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量 容量为有限的称为有限总体 容量为无限的称为无限总体

设X是具有分布函数F的随机变量，若X1,X2,…,Xn是具有同一分布函数F的、相互独立的随机变量，则称X1,X2,…,Xn为从分布函数F（或总体F、或总体X）得到的容量为n的简单随机样本，简称样本，它们的观察值x1,x2,…,xn称为样本值，又称为X的n个独立的观察值

由定义得：若X1,X2,…,Xn为F的一个样本，则X1,X2,…,Xn相互独立，且它们的分布函数都是F，所以（X1,X2,…,Xn）的分布函数为

F(x1,x2,…,xn)??F(xi)

*i?1n又若X具有概率密度f，则（X1,X2,…,Xn）的概率密度为

f(x1,x2,…,xn)??f(xi).

*i?1n

设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，g(X1,X2,…,Xn)是X1,X2,…,Xn的函数，若g中不含未知参数，则称g(X1,X2,…,Xn)是一统计量

设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，x1,x2,^,x

第六章 样本及抽样分布 总体与个体：

我们将试验的全部可能的观察值称为总体，这些值不一定都不相同，数目上也不一定是有限的，每一个可能观察值称为个体 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量 容量为有限的称为有限总体 容量为无限的称为无限总体

设X是具有分布函数F的随机变量，若X1,X2,…,Xn是具有同一分布函数F的、相互独立的随机变量，则称X1,X2,…,Xn为从分布函数F（或总体F、或总体X）得到的容量为n的简单随机样本，简称样本，它们的观察值x1,x2,…,xn称为样本值，又称为X的n个独立的观察值

由定义得：若X1,X2,…,Xn为F的一个样本，则X1,X2,…,Xn相互独立，且它们的分布函数都是F，所以（X1,X2,…,Xn）的分布函数为

F(x1,x2,…,xn)??F(xi)

*i?1n又若X具有概率密度f，则（X1,X2,…,Xn）的概率密度为

f(x1,x2,…,xn)??f(xi).

*i?1n

设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，g(X1,X2,…,Xn)是X1,X2,…,Xn的函数，若g中不含未知参数，则称g(X1,X2,…,Xn)是一统计量

设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，x1,x2,^,x

习题15（参数估计）

一．填空题

1. 设X~e(),X1,X2,?,Xn为来自X的样本，则?的矩估计为 ．

1?2. 设X~N(?,?2),X1,X2,?,Xn为来自X的样本,则?的无偏估计量为 ．

2?1?3. 设X1,X2,X3是总体X的样本，?11?2?(bX1?X2?X3)是总体(X1?aX2?X3)，?46均值的两个无偏估计，则a? ，b? ，这两个无偏估计量中较有效的是 ．二．判断题

1. 参数矩估计是唯一的。（ ）

2. 用距估计和最大似然估计对某参数估计所得的估计一定不一样。（ ） 3. 一个未知参数的无偏估计一定唯一。（ ）

4. 设总体X的数学期望为?,X1,X2,?,Xn为来自X的样本，则X1是?的无偏估计量。（ 三．解答题

1. 设总体的密度为

f(x;?)????(??1)x?,0?x?1,??0,其他.

试用样本X1,X2,?,Xn求参数?的距估计量和最大似然估计量.

1

）

?a?x?xe?,x?02. 设总体X的概率密度为f(x)??2，其中??0，且?为未知参数，

?0,x?0??. （1）试求常数a； （2）求?的最大似然估计量?

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注意： 这是第一稿（存在一些错误） 第六章数理统计习题__偶数.doc

2、解 （1）由题意得：

1n 1n 12

E(X) D(X) E(X) D( Xi) E Xi 2 2

ni 1 ni 1 n

2

2

1n1n1

E(X1 X) E(X1 Xi) E XiX1 2 2

ni 1ni 1n

（2）X1 X服从正态分布，其中：

E(X1 X) 0，D(X1 X) (

从而 X1 X~N(0,由于

n

n 12n 1n 12

)D(X1) 2D(X2) nnn

n 12

) n

Xi

~N(0,1)，i 1,2, n，且相互独立，因此：

2

i 1

Xi

2

~ 2 n

X

~N(0,1)，所以

nX

2

2

~ 2 1

由于

(n 1)S2

2

~ 2 n 1 ，所以

2

nX

2

2

/

(n 1)S

2

(n 1)

nX

S

2

2

~F 1,n 1

（3）由于

i 1

n/2

Xi

n2

2

~ (n/2)，以及

2

n/2i 1

i 1 n/2

n

Xi

n

2

2

~ (n/2)，因此有：

i 1

n/2

Xi

2

2

/

i 1 n/2

Xi

2

Xi /

2

i 1 n/2

Xi

2

nn~F(,)

22

X a~

北京工商大学概率复习资料

第六章 课外练习题（含详细答案）

1. 设X1, ,Xn是总体X~N( , 2)的样本,则 n n 2 2 (1) E (Xi X) E (Xi X)2/ 2 ________. i 1 i 1

答案：(n 1) 2.

n n 2 4(2) D (Xi ) D (Xi )2/ 2 _____. i 1 i 1

4答案：2n .

解：因为X1, ,Xn是总体X~N( , )的样本,所以ES 且222(n 1)S2

2 2(n 1).

(n 1)S2 n2 22 从而(1)E ，所以E(X X) E(n 1)S (n 1) . (n 1) i2 i 1

n 1n2 2 22 或者E (Xi X) (n 1)E (X X) (n 1)ES (n 1) . i i 1 n 1i 1

(2) 由Xi

22n X Xi 2i～N(0,1)，则 ～ (n)，所以D 2n i 1 i 1 n

2 n Xi 2 n 2n Xi 2 44 D 2n . 故D (Xi ) D

习题一

3 设A,B,为二事件，化简下列事件：

(1)(A?B)(A?B)?(AB?BA?B)?(AB?B)?B (2)(A?B)(A?B)?(AA?AB?BA?B)?B

4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。

p?10?9?8?7?6105?72?42104?3024104?0.3024

5 n张奖券中有m张有奖的，k个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。 答案：1?kCn?mkCn.

6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？ 解；将这五双靴子分别编号分组A?{a1,a2,a3,a4,a5};B?{b1,b2,b3,b4,b5}，则

4C表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有C5.

不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i只，且编号不同，其可能选法为

i4?iC5C5?i;(i?4,3,2,1,0)

3113C54?C5C2?C52C32?C5C4?C54 P(C)?1?P(C)?1?4C105?45?4?2??3?5?4?522?1?10?9?8?7? 4?3?2?110?4

《概率论与数理统计》课程论文

浅谈概率论的思想发展及应用

能源科学与工程学院

于晓滢 1130240415

哈尔滨工业大学

摘 要

概率论是一门历史悠久的学科，关于它的起源众说纷纭，不过大家都承认的是，概率论是研究偶然、随机现象的规律性的数学理论,它拥有着自己独立的研究问题和有代表性的思想方法，并在现代生活的多个方面发挥着作用，拥有着不可替代的地位。本文将总结概率论中所应用的几种典型思想方法及演变，并陈述概率论在当代生活中的几种必要应用，让我们对这一学科有一个更深刻的了解。

I

目 录

摘 要 ................................................................................................................................................. I 第1章 概率论的诞生 ..................................................................................................................... 1

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第一章 第1页 (共97页)

第一章 随机事件及其概率

1. 写出下列随机试验的样本空间：

（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；

（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；

（4）测量一汽车通过给定点的速度. 解 所求的样本空间如下

（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1}

（3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0}

2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生；

（2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生； （4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生；

（6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下

(1)ABC

(2)ABC(6)A(3)ABC(4)ABC

(5)ABC(7)AB(8)ABBACCACBCBC3

参考答案

安徽工业大学应用数学系编

概率论及统计应用练习题

1

第一章练习题

1. 如图，设１、２、３、４、５、６表示开关，用Ｂ表示“电路接通”Ai表示“第

i个开关闭合”请用Ai表示事件B

解：

B?A1A3?A2A3?A4?A5A

2.一大型超市声称,进入商店的小偷有60%可以被电视监测器发现,有40%被保安人员发现,有20%被监测器和保安人员同时发现,试求小偷被发现的概率.

解：设事件A1表示被监测器发现，事件A2表示被保安人员发现，B表示小偷被设事件B表示小偷被发现。发现。 A1表示被监测器发现，A2表示被保安人员发现，P（B）?P（A1?A2）?P（A1）?P（A2）?P（A1A2）?0.6?0.4?0.2?0.8

3. 周昂，李虎和张文丽是同班学生.如果他们到校先后次序的模式的出现的可能性是一样的，那么周昂比张文丽先到校的概率是多少？

解：三人到校先后共有3！种情形，周昂比张文丽先到校有C3种情形。 P?mn?C3223!?0.5

4.甲、乙两城市都位于长江下游,根据一百余年来,气象的记录,知道甲、乙两城市一年中雨天占的比例分别为20%和18%,两地同时下雨的比例为12%,问

(1) 乙市为雨天时,甲市为雨天的概率是多少?

(2

概率论与数理统计习题及答案

习题 一

1．略.见教材习题参考答案.

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： （1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生； （3） A，B，C都发生；

（4） A，B，C至少有一个发生； （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生；

（7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生. 【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC

（4） A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC (5) ABC=A?B?C (6) ABC

(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC 3.略.见教材习题参考答案

4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）. 【解】 P（AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)] =1?[0.7?0.3]=0.6

5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么条件