对任意一个非线性方程求根

计算方法课程实验报告

实验名称 非线性方程求根

班级 教师 动创新13 姓名 封敏丽 赵美玲 地点 学号 201302400104 数学实验中心 序号 评分 一、 实验目的 ① 掌握二分法、牛顿迭代法等常用的非线性方程迭代算法； ② 了解迭代算法的设计原理及初值对收敛性的影响。 二、用文字或图表记录实验过程和结果 题目 求方程f(x)?x3?x2?3x?3?0在1.5 附近的根.（误差限为??1e?6,??1e?9） （1）编程实现二分法，并求解上述非线性方程的根（有根区间自己确定）。 （2）设计弦截法，计算原方程的根。 参考答案 原方程的根为x?1.732051 （1）有根区间取[1.5 2]； 用Matlab进行运算，先编写程序如下： f=input('输入函数f(x)='); qujian=input('输入区间='); err=input('输入误差='); a=qujian(1); b=qujian(2); yc=1; k=0;%计二分法的次数 while((b-a)>err&yc~=0); c=(a+b)/2; x=a;

非线性方程求根 一、证明：对任意初始值01,13x ??∈????，由不动点迭代12k x k x -+=，k=0,1,2,…产生的序

列{}k x 都收敛于方程2x x -=在1,13??????的唯一

根p 。

若要求p 的近似值的误差不超过410-（取初始值023x

=），试估计迭代次数。

解：由()12k x k k x x ?-+==知迭代函数()2x

x ?-= 对[]1/3,1x ∈，有 ()()()[][]1,1/30.5,0.79371/3,1x ???∈=????? 另外有

()1/32ln 22

ln 20.55011x x ?--'=-≤=< 由定理得本题证明部分。

为使解p 的近似值k x 的误差不超过410-，根据误

差估计式：

10,1k k L x p x x L -≤--

令 410101k L x x L --<-，得k 应取为

10

4ln 10ln 111.22ln x x L k L ---->≈

取k=12可使近似解的误差不超过410-

二、证明： 设()x ?在[],a b 上连续可微，且()01x ?'<<，()x x ?=在[],a b 上有根*x ，0[,]x a b ∈，但*0x x ≠，则由

()1,

0,1,2...k k x x k ?+== 产生的迭代序列{}k x 单调收敛于*x 。

证明：因为()x x ?=在[],a b 上有根*x ，故有()**

x

实 验 报 告

课程名称 数值分析 非线性方程求根试验 上机 20111131 张振 理学楼407 预习部分 实验过程 表现 实验学时 学号 指导教师 实验时间 实验报告 部分 日期 2 2011113130 沈艳 2013.12.11 总成绩 实验项目名称 实验类型 班级 姓名 实验室名称 实验成绩 教师签字

哈尔滨工程大学教务处 制

实验三 非线性方程求根试验

一．数值积分的基本思想 1.不动点迭代法基本思想：

首先给定一个粗糙的初始值，然而用一个迭代公式，反复校对这个初值，将已有近似值逐步精确化，一直到满足精度为止。

具体的，把方程

f?x??0f?x?x???x?x*???x*?改写成x的表达式的零点等价于求，又将

。

x1，若

称x为

*??x*?点

x0的一个不动点，求

??x?的不动点。在

x2???x1??a,b?上任取一

代入

??x?求得

x1???x0?代入

??x?求得，如此反复下去，为迭代公式。

一般地得

xk?1???xk?k?0,1,2,???x?称为迭代函数，

x???x?

2.牛顿法基本思想：

将非线性方程近似根

x0f?x??0逐步转化为某种线性方程来求解。设

f?x?f?x??0的一个

，则函数在点

实 验 报 告

课程名称 数值分析 非线性方程求根试验 上机 20111131 张振 理学楼407 预习部分 实验过程 表现 实验学时 学号 指导教师 实验时间 实验报告 部分 日期 2 2011113130 沈艳 2013.12.11 总成绩 实验项目名称 实验类型 班级 姓名 实验室名称 实验成绩 教师签字

哈尔滨工程大学教务处 制

实验三 非线性方程求根试验

一．数值积分的基本思想 1.不动点迭代法基本思想：

首先给定一个粗糙的初始值，然而用一个迭代公式，反复校对这个初值，将已有近似值逐步精确化，一直到满足精度为止。

具体的，把方程

f?x??0f?x?x???x?x*???x*?改写成x的表达式的零点等价于求，又将

。

x1，若

称x为

*??x*?点

x0的一个不动点，求

??x?的不动点。在

x2???x1??a,b?上任取一

代入

??x?求得

x1???x0?代入

??x?求得，如此反复下去，为迭代公式。

一般地得

xk?1???xk?k?0,1,2,???x?称为迭代函数，

x???x?

2.牛顿法基本思想：

将非线性方程近似根

x0f?x??0逐步转化为某种线性方程来求解。设

f?x?f?x??0的一个

，则函数在点

第二章

非线性方程的求根方法

第二章 引言

非线性方程的求根方法

方程求根的二分法 迭代法及其收敛性 Newton迭代法

2.1 引言

方程是在科学研究中不可缺少的工具；

方程求解是科学计算中一个重要的研究对象；几百年前就已经找到了代数方程中二次至五次方程 的求解公式； 但是，对于更高次数的代数方程目前仍无有效的精 确解法； 对于无规律的非代数方程的求解也无精确解法； 因此，研究非线性方程的数值解法成为必然。

非线性方程的一般形式： f(x)=0 代数方程： f(x)=a0+a1x+……+anxn (an 0) 超越方程 ：f(x)中含三角函数、指数函数、或其 他超越函数。 用数值方法求解非线性方程的步骤： (1)找出隔根区间；(只含一个实根的区间称隔根 区间) (2)近似根的精确化。从隔根区间内的一个或多个 点出发，逐次逼近，寻求满足精度的根的近似值。

2.2 方程求根的二分法 定理1(介值定理)设函数f(x)在区间[a,b]连续，

且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]内至少有一 个根。

二分法的基本思想：假定f(x)=0在[a,b]内有唯一单实根x*,考察有根区间 [a,b],取中点x0=(a+b)/2,若f(x0)

第二章

非线性方程的求根方法

第二章 引言

非线性方程的求根方法

方程求根的二分法 迭代法及其收敛性 Newton迭代法

2.1 引言

方程是在科学研究中不可缺少的工具；

方程求解是科学计算中一个重要的研究对象；几百年前就已经找到了代数方程中二次至五次方程 的求解公式； 但是，对于更高次数的代数方程目前仍无有效的精 确解法； 对于无规律的非代数方程的求解也无精确解法； 因此，研究非线性方程的数值解法成为必然。

非线性方程的一般形式： f(x)=0 代数方程： f(x)=a0+a1x+……+anxn (an 0) 超越方程 ：f(x)中含三角函数、指数函数、或其 他超越函数。 用数值方法求解非线性方程的步骤： (1)找出隔根区间；(只含一个实根的区间称隔根 区间) (2)近似根的精确化。从隔根区间内的一个或多个 点出发，逐次逼近，寻求满足精度的根的近似值。

2.2 方程求根的二分法 定理1(介值定理)设函数f(x)在区间[a,b]连续，

且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]内至少有一 个根。

二分法的基本思想：假定f(x)=0在[a,b]内有唯一单实根x*,考察有根区间 [a,b],取中点x0=(a+b)/2,若f(x0)

1

数值分析实验五 非线性方程求根

组号 班级 学号 姓名 分数 一：实验目的

1、掌握非线性方程求根的二分法； 2、掌握非线性方程求根的迭代法； 3、掌握收敛定理；

4、掌握非线性方程求根的牛顿法。

二：实验内容及基本知识介绍

二分法基本内容：

虽然当方程f?x??0在区间(a,b)内存在多个根时下面的求解过程仍然可行，但为简单起见我们假定方程在此区间内的根时唯一的，记为x，二分法求方程f?x??0的根x的

**基本思路是：用对分区间?a,b?的方法，根据分点处函数f?x?的符号逐步缩小有根区间，直到区间缩小到容许范围之内，然后取区间的中点为根的近似值。考察有根区间?a,b?，取中点x0??a?b?/2将它分为两半，假设中点x0不是f?x?的零点，然后进行根的搜索，即检查f?x0?与f?a?是否同号，如果确系同号，说明所求的根x在x0的右侧，这时令a1=x0，

*b1=b；否则x*必在x0的左侧，这时令a1=a，b1=x0。不管出现哪一种情况，新的有根区

间?a1,b1?的长度仅为?a,b?的一半。

缩了的有根区间?a1,b1?又可施行同样的手续

第七章 非线性方程求根

要点：（1）迭代公式局部收敛性及收敛性判断

（2）迭代公式收敛阶概念

（3）Newton 迭代公式及收敛性定理

复习题：

1、建立一个迭代公式计算数

a =要求分析所建迭代公式的收敛性 解：

迭代式为：105

n x x +?=??=??

数a

应是函数()x ?=()a a ?=） 注意到（1）当[0,5]x ∈时，恒有[,5)](0x ?∈

（2）当[0,5]x ∈

时，恒有()112x ?<'=< 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛到a

2、对于方程2x

e x -=，

（1） 证明在区间［-1.9，-1］内有唯一实根

（2） 讨论迭代格式 10(12.9,1)k x k x e x +?=∈--??-??的收敛性如何？ （3） 写出求解该实根的牛顿迭代公式

解：（1）记()2x f x e x =--

显然( 1.9)0.04960, (1)0.63210f f -=>-=-<

当[ 1.9,1]x ∈--时，恒有()10x f x e '=-<

可见()f x 在区间[ 1.9,1]--内有且仅有一个零点

即方程在区间[ 1.9,1]--内有且仅有一个实根

（2）取()2x x e ?=-

容易验证：（I ）当[ 1.9,1]x ∈--时，恒有[ 1.9](,1)x ?∈--，

《 计 算 方 法 》

期 末 论 文

论文题目 非线性方程的数值解法

学 院 专 业 班 级 姓 名 学 号 指 导 教 师 日 期

目 录

摘要 第1 章 绪论

1.1 问题的提出和研究目的和意义 1.2 国内外相关研究综述 1.3 论文的结构与研究方法 第2 章 非线性方程的数值解法 2.1 二分法 2.2 迭代法

2.3 迭代法的局部收敛性及收敛的阶 2.4 牛顿迭代法 2.5 牛顿法的改进 2.6 插值

摘要",

数值计算方法，是一种研究解决数学问题的数值近似解方法，它的计算对象是那些。

在理论上有解而又无法用手工计算的数学问题。在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。例如",在地质勘探、汽车制造、桥梁设计、天气预报和汉字设计中都有计算方法的踪影。本文讨论了非线性方程的数值解法：非线性方程的二分法、迭代法原理、牛顿迭代法，迭代法的收敛性条件及适合非线性方程的插值法等等。

第1 章 绪论

可以证明插值多项式L (x) n 存在并唯一。拉格朗日插值多项式的算法",step1.输入

非线性方程的数值解法

第三章 非线性方程(组)的数值解法

一．取步长h=1，试用搜索法确立f(x)=x3 2x 5含正根的区间，然后用二分法求这个正根，使误差小于10 3。 【详解】

由于是要寻找正根，因此，可选含根区间的左端点为0。f(0)= 5，

f(1)= 5，f(2)= 1，f(3)=16，因此，(2,3)中有一个正根。这就确立

了含根区间。

接下来，我们用二分法求这个正根，使误差小于10 3，计算结果如下表 迭代次数

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ak

bk

xk

2 2 2 2 2.0625 2.0938 2.0938 2.0938 2.0938 2.0938

3 2.5000 2.2500 2.1250 2.1250 2.1250 2.1094 2.1016 2.0977 2.0957

2.5 2.250 0 2.125 0 2.062 5 2.093 8 2.109 4 2.101 6 2.097 7 2.095 7 2.094 7

非线性方程的数值解法

二．对方程f(x)=x2 2sinx 2=0，用二分法求其在区间[1.5,2]内的根，要求误差小于0.01。 【详解】

用二分法求解方程在[1.5,2]内的根，要求误差小于0.01，计算结果如下表