常用的离散型随机变量

教 案

课程名称 概率统计 授课教师 职 称 系（部）

教 研 室

2013 —2014 学年 第 二 学期

授课对象： 本、专科 2012 （年）级 专业 1 班

本、专科 （年） 级 专业 班 本、专科 （年） 级 专业 班

教案书写与使用要求

1、教师在授课前两周完成教案书写，并由教研室主任亲自审批（教研室主任的教案由系部教学主任代签），教师必须携带教案上课。每次教案只可使用一轮课；在授课对象的专业、层次相同，使用同版次教材且授课内容及学时数完全一致的情况下，可使用同一本教案，否则不允许通用。

2、封面填写：不能空项，各项要写全称；授课对象：选择本科或专科

第二章随机变量及其分布

在随机试验中，人们除对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试验的结果相联系的变量.由于这一变量的取值依赖于随机试验结果，因而被称为随机变量.与普通的变量不同，对于随机变量，人们无法事先预知其确切取值，但可以研究其取值的统计规律性.本章将介绍两类随机变量及描述随机变量统计规律性的分布.

§2.1随机变量

一、随机变量概念的引入

为全面研究随机试验的结果,揭示随机现象的统计规律性,需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.

1.在有些随机试验中,试验的结果本身就由数量来表示. 例如:在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示

2.在另一些随机试验中,试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示.

例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的，可规定:用1表示“正面朝上”用0表示“反面朝上”

二、随机变量的定义

1定义设随机试验的样本空间为?,对每个???,都有一个实数X(?)与之对应,则称X(?)为随机变量.简记为X.

随机变量通常用英文大写字母X,Y,Z或希腊字母?,?等表示。 随机变量的取值一般用小写字母x,y,z等表示。 2随机变量的特征 1)它是一个变

2.3.1 离散型随机变量的均值

自 主 学 习

课 标 导 学

通过实例，理解离散型随机变量的均值、方差的概念， 能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实 际问题.

教 材 导 读1.一般地，若离散型随机变量 X 的分布列是

X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn

EX=x1p1+x2p2+ +xipi+ +xnpn 则称①________________________________为随机变量 X 的均值或数学期望.

2.离散型随机变量的均值反映了 随机变量取值的平均水平 ②______________________________. 3 若 X、Y 是离散型随机变量，且 Y=aX+b,则有 EY= aEX+b ③________________.EX=p 4.若随机变量 X 服从两点分布，则④__________.

思考探究 1 若 c 为常数，则 E(c)为何值？ 提示：E(c)=c 思考探究 2 若 X、Y 均为离散型随机变量，则 E(X+Y)与 EX 和 EY 间有什么关系？ 提示：E(X+Y)=EX+EY.

基 础 自 测1.随机变量 X 的分布列为

X 0 2 4 P 0.4 0.3 0.3则 E(

共21页

11．2 离散型随机变量的期望与方差

高考试题

1．（2005年江苏）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，

9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（D）

A．9.4,0.484 B．9.4,0.016 C．9.5,0.04 D．9.5,0.016 提示：本题考查了统计数据中平均数、方差有关概念、公式及有关计算等：

7个数据中去掉一个最高分和一个最低分后，余下的5个数为：9.4，9.4，9.6，9.4， 9.5，则平均数为：x?s29.4?9.4?9.6?9.4?9.5522?9.46?9.5，即x?9.5，方差为：

2?15[(9.4?9.5)?(9.4?9.5)?????(9.5?9.5)]?0.016，即 s2?0.016，故

选D.

2．（2005年全国卷三）设l为平面上过点（0，1）的直线，l的斜率等可能地取?22,?3，

5252?,0,,3,22，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望

Eξ= .

[答案]

47

13提示：原点到过点（0，1）且斜率为?22、2

第7讲 离散型随机变量的均值与方差

【2014年高考会这样考】 1.考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念. 2.利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题.

抓住1个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

考点梳理离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X P (1)均值 x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 称E(X)=_____________________________为随机变量X的均 x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn

数学期望 平均水平 值或_________,它反映了离散型随机变量取值的________.抓住1个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

(2)方差

xi-E X 2pi i= 1 称D(X)= ______________为随机变量X的方差，它刻画了

n

平均偏离程度 算术平方根 随机变量X与其均值E(X)的_____________,其__________ D X ________为随机变量X的标准差.

【助学· 微博】两个防范 在记忆D(aX+b)=a2D(X)时要注意：(1)D(aX+b)≠aD(X)

+b,(2)D(aX+b)≠aD(X).三

2．3．2离散型随机变量的方差

教学目标：

知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

2

过程与方法：了解方差公式“D(aξ+b)=aDξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的方差、标准差 教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 教具准备：多媒体、实物投影仪 。

2

教学设想：了解方差公式“D(aξ+b)=aDξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，

并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。

授课类型：新授课 课时安排：2课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.

离散型随机变量的期望

1.已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1

分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．(Ⅰ)求X的分布列； (Ⅱ)求X的数学期望E(X)．

2.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜

或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为

1，乙每次投篮投中的概率为31，且各次投篮互不影响. 2（Ⅰ） 求甲获胜的概率；（Ⅱ） 求投篮结束时甲的投篮次数?的分布列与期望

3.设?为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，??0；当两

条棱平行时，?的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，??1． （1）求概率P(??0)；（2）求?的分布列，并求其数学期望E(?)．

4.某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后

该试题回库，并增补一道A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有n?m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库

微积分 线性代数

微积分 线性代数

一、联合分布列设二维离散型随机变量 ( X , Y ) 的所有可能取值为 ( xi , y j ) , 二维离散型随机变量 离散型

称

P{ X = xi , Y = yj } = pi j , X Yi , j = 1,2, L

y1

y2 L y j L

为(X,Y)的联合分布列. , ) 联合分布列. 简称分布列 简称分布列. 分布 用三维表表示： 用三维表表示： 表示

x1 x2

p11 p12 L p1 j L p21 p22 L p2 j L

Mxi

M M M M

M M

pi 1 pi 2 L pi j L

M

微积分 线性代数

Y X

y1

y2 L y j L

x1 x2

p11 p12 L p1 j L p21 p22 L p2 j L

Mxi

M M M M

M M

pi 1 pi 2 L pi j L

M

定 理 3.3 联 合 分 布 列 具 有 以 下 性 质 :(1) 非负性(2) 正 则 性

pi j ≥ 0 , i, j = 1,2,L

∑∑ pi j

ij

= 1.

微积分 线性代数

例3.3 设随机变量 X 在 1,2,3,4 四个整数中等可能 地取一个值, 另一个随机变量Y 在 1 ~ X中等可能 地取一个值 地取一整数值. 地

莱阳市第九中学 数学组

学习目标：1. 理解离散型随机变量及其分布列的概念与性 质 2. 会求出某些简单的离散型随机的分布列

3、理解两点分布何超几何分布及其推导过程， 并能简单的应用

一、讨论及要求(约10分钟) (一)重点讨论的问题：1、任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？随机 变量的定义? 2、随机变量与函数有何区别与联系？ 3、什么是离散型随机变量？ 4、什么是离散型随机变量的分布列？ 求分布列的步骤？ 3、两种特殊的分布？

(二)讨论要求： (1)小组内先集中讨论，再组内一对一讨论，小 组长注意控制讨论节奏，及时安排展示与点评。 (2)力争全部达成目标，且多拓展,注重方法总结， 力争全部掌握.

引例：(1)抛掷一枚骰子，可能出现的点数有几种情况？ 探究一：能否把 (2)姚明罚球 2次有可能得到的分数有几种情况？ 掷硬币的结果也 正面向上， X =1,表 0 分 ， 1 分 ， 2 分 用数字来表示呢？ 示反面向上”可以，用“X=0,表示

1,2,3,4,5,6

(3)抛掷一枚硬币，可能出现的结果有几种情况？

正面向上，反面向上思考：在上述试验开始之前，你能确定结果是哪一 种情况吗？ 分析：不行，虽然我们能够事先知道随机试验可能出现 的所有结果

2012届安吉高级中学高三数学（理）计数原理与概率统计复习导学案（主备人：鲍利人 ）

10．8 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

班级 姓名

一、学习目标：

1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．

2．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 二、学习建议：

1．把握基本题型； 2．强化方法选择．

三、自主预习：（请用7分钟左右的时间完成，如若困难可先解决知识链接再解题） 1．某学习小组的一次数学考试成绩为： 分 数 频 数 频 率 分数×频率 95 2 96 4 97 3 98 1 填写表格的三、四两行，并求出①该学习小组这次考试的平均分；②表格的第四行的4个数据之和。 根据你的结果，解析你的发现。

知识链接1．

1．离散型随机变量的均值与方差的概念

若离散型随机变量X的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn (1)期望：称E(X)＝_____________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离