同济大学高等数学第七版

高等数学公式

导数公式：

(tanx) sec2x(cotx) csc2x(secx) secx tanx(cscx) cscx cotx(ax) axlna

1

(logax)

xlna

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

(arcsinx)

1

x2

1

(arccosx)

x21

(arctanx)

1 x2

1

(arccotx)

1 x2

tanxdx lncosx C cotxdx lnsinx C

secxdx lnsecx tanx C cscxdx lncscx cotx C

dx1x

C a2 x2aadx1x a

ln x2 a22ax a Cdx1a x

a2 x22alna x Cdxx

arcsin C a2 x2

a

2

n

dx2

sec cos2x xdx tanx Cdx2

csc2 sinx xdx cotx C

secx tanxdx secx C

cscx cotxdx cscx C

ax

adx lna C

x

shxdx chx C chxdx shx C

dxx2 a2

ln(x x2 a2) C

2

In sinxdx cosnxdx

n 1

In 2n

x2a22

x adx x a ln

习题6?3

1? 由实验知道? 弹簧在拉伸过程中? 需要的力F(单位? N)与伸长量s(单位? cm)成正比? 即F?ks (k为比例常数)? 如果把弹簧由原长拉伸6cm? 计算所作的功?

解 将弹簧一端固定于A? 另一端在自由长度时的点O为坐标原点? 建立坐标系? 功元素为dW?ksds? 所求功为 W??ksds?1ks20?18k(牛?厘米)?

0266 2? 直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽? 设温度保持不变? 要使蒸汽体积缩小一半? 问需要作多少功？ 解 由玻?马定律知?

PV?k?10?(?102?80)?80000??

设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变? 高度减小x厘米时压强 为P(x)牛/厘米2? 则

P(x)?[(?102)(80?x)]?80000?? P(x)?800?

80?? 功元素为dW?(??102)P(x)dx? 所求功为 W??40408001dx?800?ln2(J)? (??10)?dx?80000??080??80??20 3? (1)证明? 把质量为m

习题6?3

1? 由实验知道? 弹簧在拉伸过程中? 需要的力F(单位? N)与伸长量s(单位? cm)成正比? 即F?ks (k为比例常数)? 如果把弹簧由原长拉伸6cm? 计算所作的功?

解 将弹簧一端固定于A? 另一端在自由长度时的点O为坐标原点? 建立坐标系? 功元素为dW?ksds? 所求功为 W??ksds?1ks20?18k(牛?厘米)?

0266 2? 直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽? 设温度保持不变? 要使蒸汽体积缩小一半? 问需要作多少功？ 解 由玻?马定律知?

PV?k?10?(?102?80)?80000??

设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变? 高度减小x厘米时压强 为P(x)牛/厘米2? 则

P(x)?[(?102)(80?x)]?80000?? P(x)?800?

80?? 功元素为dW?(??102)P(x)dx? 所求功为 W??40408001dx?800?ln2(J)? (??10)?dx?80000??080??80??20 3? (1)证明? 把质量为m

高数上册答案

高等数学第六版上册课后习题答案

第一章:

习题1 1

1 设A ( 5) (5 ) B [ 10 3) 写出A B A B A\B及A\(A\B)的表达式

解 A B ( 3) (5 )

A B [ 10 5)

A\B ( 10) (5 ) A\(A\B) [ 10 5)

2 设A、B是任意两个集合 证明对偶律 (A B)C AC BC 证明 因为

x (A B)C x A B x A或x B x AC或x BC x AC BC 所以 (A B)C AC BC

3 设映射f X Y A X B X 证明 (1)f(A B) f(A) f(B)

(2)f(A B) f(A) f(B) 证明 因为

y f(A B) x A B 使f(x) y

(因为x A或x B) y f(A)或y f(B)

y f(A) f(B) 所以 f(A B) f(A) f(B) (2)因为

y f(A B) x A B 使f(x) y (因为x A且x B) y f(A)且y f

第十章 重积分

一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来定义一元函数f?x?在区间??a,b??上的定积分，并已经建立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形，便得到重积分的概念. 本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用.

第1节 二重积分的概念与性质

1.1 二重积分的概念

下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义.

1.1.1. 曲顶柱体的体积

曲顶柱体是指这样的立体，它的底是xOy平面上的一个有界闭区域D，其侧面是以D的边界为准线的母线平行于z轴的柱面，其顶部是在区域D上的连续函数z?f?x,y?，且f?x,y??0所表示的曲面（图10—1）.

图10—1

现在讨论如何求曲顶柱体的体积.

分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法（即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决（图10—2）.

图10—2

(1)分割闭区域D为n个小闭区域

??1,??2,?,??n,

1

同时也用Δσi表示第i个小闭区域的面积，用d?Δσi?表示区域Δσi的直径（一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值），相应地此曲顶柱体被分为n个小

第十章 重积分

一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来定义一元函数f?x?在区间??a,b??上的定积分，并已经建立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形，便得到重积分的概念. 本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用.

第1节 二重积分的概念与性质

1.1 二重积分的概念

下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义. 1.1.1. 曲顶柱体的体积

曲顶柱体是指这样的立体，它的底是xOy平面上的一个有界闭区域D，其侧面是以D的边界为准线的母线平行于z轴的柱面，其顶部是在区域D上的连续函数z?f?x,y?，且

f?x,y??0所表示的曲面（图

10—1）.

图10—1

现在讨论如何求曲顶柱体的体积.

分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法（即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决（图10—2）.

图10—2

(1)分割闭区域D为n个小闭区域

同时也用Δσi表示第i个小闭区域的面积，用d?Δσi?表示区域Δσi的直径（一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值），相应地此曲顶柱体被分为n个小曲顶柱体.

(2)在每个小闭区域上任取一点

对第i个小曲

习题12?3 1? 求下列齐次方程的通解? (1)xy??y?y2?x2?0? 解 原方程变为 令u?dyyy??()2?1? dxxxy? 则原方程化为 x u?xdu?u?u2?1? 即1du?1dx? xdxu2?1两边积分得 ln(u?u2?1)?lnx?lnC? 即u?u2?1?Cx? 将u?y代入上式得原方程的通解 xyy?()2?1?Cx? 即y?y2?x2?Cx2? xx dyy?yln? dxxdyyy 解 原方程变为?ln? dxxxy 令u?? 则原方程化为 x1du?1dx? u?xdu?ulnu? 即u(lnu?1)xdx两边积分得 ln(ln u?1)?ln x?ln C? 即u?eCx?1? y将u?代入上式得原方程的通解 x y?xeCx?1? (3)(x2?y2)dx?xydy?0? y 解 这是齐次方程? 令u?? 即y?xu? 则原方程化为 x (x2?x2u2)dx?x2u(udx?xdu)?0? 即udu?1dx?

习题 2?2 1? 推导余切函数及余割函数的导数公式? (cot x)???csc2x ? (csc x)???csc xcot x ? cosx?cosx 解 (cotx)??(cosx)???sinx?sinx?sinxsin2x22sinx?cosx??1??csc2x? ??22sinxsinxs??csc (csxc)??(1)???co2xx?coxt? sinxsinx 2? 求下列函数的导数? 7?2?12? (1)y?4?x5x4x (2) y?5x3?2x?3ex ? (3) y?2tan x?sec x?1? (4) y?sin x?cos x ? (5) y?x2ln x ? (6) y?3excos x ? (7)y?lnx? xxe (8)y?2?ln3? x (9) y?x2ln x cos x ? (10)s?1?sint? 1?cost7?2?12)??(4x?5?7x?4?2x?1?12)? 解 (1)y??(4?x5x4x28?2?

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

习题12 1

1. 试说出下列各微分方程的阶数: (1)x(y′)2 2yy′+x=0; 解 一阶. (2)x2y′ xy′+y=0; 解 一阶.

(3)xy′′′+2y′+x2y=0; 解 三阶.

(4)(7x 6y)dx+(x+y)dy=0; 解 一阶.

d2QdQQ

(5)L+R+=0;

dtCdt

解 二阶. (6)

dρ

+ρ=sin2θ. dθ

解 一阶.

2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解: (1)xy′=2y, y=5x2; 解 y′=10x.

因为xy′=10x2=2(5x2)=2y, 所以y=5x2是所给微分方程的解. (2)y′+y=0, y=3sin x 4cos x; 解 y′=3cos x+4sin x.

因为y′+y=3cos x+4sin x+3sin x 4cos x=7sin x cos x≠0, 所以y=3sin x 4cos x不是所给微分方程的解. (3)y′′ 2y′+y=0, y=x2ex;

解 y′=2xex+x2ex, y′′=2ex+2xex+

习题 2?2 1? 推导余切函数及余割函数的导数公式? (cot x)???csc2x ? (csc x)???csc xcot x ? cosx?cosx 解 (cotx)??(cosx)???sinx?sinx?sinxsin2x22sinx?cosx??1??csc2x? ??22sinxsinxs??csc (csxc)??(1)???co2xx?coxt? sinxsinx 2? 求下列函数的导数? 7?2?12? (1)y?4?x5x4x (2) y?5x3?2x?3ex ? (3) y?2tan x?sec x?1? (4) y?sin x?cos x ? (5) y?x2ln x ? (6) y?3excos x ? (7)y?lnx? xxe (8)y?2?ln3? x (9) y?x2ln x cos x ? (10)s?1?sint? 1?cost7?2?12)??(4x?5?7x?4?2x?1?12)? 解 (1)y??(4?x5x4x28?2?