向量在代数中的应用

2.5.2 向量在物理中的应用举例

课时目标 经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他的一些实际问题的过程，体会向量是一种处理物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．

1．力向量

力向量与前面学过的自由向量有区别．

(1)相同点：力和向量都既要考虑________又要考虑________．

(2)不同点：向量与________无关，力和________有关，大小和方向相同的两个力，如果________不同，那么它们是不相等的． 2．向量方法在物理中的应用

(1)力、速度、加速度、位移都是________．

(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的________运算，运动的叠加亦用到向量的合成．

(3)动量mν是______________．

(4)功即是力F与所产生位移s的________．

一、选择题

1．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为( ) A．|F|·s B．Fcos θ·s C．Fsin θ·s D．|F|cos θ·s

2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合

2.5.2 向量在物理中的应用举例

课时目标 经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他的一些实际问题的过程，体会向量是一种处理物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．

1．力向量

力向量与前面学过的自由向量有区别．

(1)相同点：力和向量都既要考虑________又要考虑________．

(2)不同点：向量与________无关，力和________有关，大小和方向相同的两个力，如果________不同，那么它们是不相等的． 2．向量方法在物理中的应用

(1)力、速度、加速度、位移都是________．

(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的________运算，运动的叠加亦用到向量的合成．

(3)动量mν是______________．

(4)功即是力F与所产生位移s的________．

一、选择题

1．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为( ) A．|F|·s B．Fcos θ·s C．Fsin θ·s D．|F|cos θ·s

2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合

向量法在中学数学解题中的应用

一、在代数解题中的应用

1、求函数的最值(值域)

利用向量的模的不等式a?b?a?b?a?b, a?b?ab,可以十分简单地求一些较为复杂的、运用常规方法又比较麻烦的最值(值域)问题．

例1求函数f(x)?3x?2?44?x2的最大值．

分析：观察其结构特征，由3x?44?x2联想到向量的数量积的坐标表示． 令p?(3,4),q?(x,4?x)，则f(x)?p?q?2，且p?5,q?2．故

????2??????????????f(x)?pq?2?12，当且仅当p与q同向，即

题得到解决．

2、证明条件等式和不等式

??34??0时取等号，从而问

2x4?x条件等式和不等式的证明，常常要用一些特殊的变形技巧，不易证明．若利用向量来证 明条件等式和不等式，则思路清晰，易于操作，且解法简捷．

22222例2设(a?b)(m?n)?(am?bn)，其中mn?0．求证:

ab=． mn?分析：观察已知等式的结构特征，联想到向量的模及向量的数量积，令p?(a,b),

?q?(m,n)，则易知p与q的夹角为0或π，所以p∥q，an?bm?0，问题得证．

3、解方程(或方程组)

有些方程(方程组)用常规方法求解，很难凑效，若用向量去

2.5.2向量在物理中的应用一、关于力的研究 二、关于速度的研究

情景一：有一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两支胳膊悬空 拎起,结果造成小孩的胳膊受伤,你能解释这种现象吗?

情景二：两个人提一重物怎样提最省力？

夹角越小越省力

情景三：一个人静止地垂挂在单杆上，手臂的拉力 与手臂握杆的姿势有什么关系？

两臂的夹角越小,手臂就越省力

平面向量在物理中的应用例1、生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体。绳子 的最大拉力为T,物体重量为G,分析绳子受到的拉力大 小F1与两绳子间的夹角θ 的关系？

F

| F1 | | F2 |

F1

θ

F2

1 | F1 | cos | G | 2 2G

平面向量在物理中的应用例1、生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体。绳子 的最大拉力为T,物体重量为G,分析绳子受到的拉力大 小F1与两绳子间的夹角θ 的关系？ 解：设| F 1 | | F 2 ,|则由向量的平行四边 形法则、力的平衡及直角三角形的知 识可知 |G|

| F1 |

F

∴当θ由0°~180°逐渐增大时， 由0°~90° 2 逐渐增大，而 cos 的值逐渐缩小，因此 | F1 | 逐渐 2 增大， G 即 F1 , F2 之间

向量在解析几何中的应用

嵩明县第一中学：吴学伟 2006年12月5日星期二

解析几何是历年数学高考舞台上必唱“主角”之一。近年来命题人往往以解析几何的传统内容为载体，融合向量等其它相关知识，设计出与轨迹问题的交汇与整合、向量与二次曲线方程问题的交汇与整合、向量与有关证明或范围问题的交汇与整合。

一、向量基础知识

（1）、向量的数量积定义：ab |a||b|cos （2）、向量夹角公式：a与b的夹角为 ，则cos

ab

|a||b|

（3）、向量共线的充要条件：b与非零向量a共线 存在惟一的 R，使b a。 （4）、两向量平行的充要条件：向量a (x1,y1),b (x2,y2)平行 x1y2 x2y1 0 （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ab 0 x1x2 y1y2 0 （6）、向量不等式：|a| |b| |a b|，|a||b| |ab|

（7）、向量的坐标运算：向量a (x1,y1),b (x2,y2)，则ab x1x2 y1y2 二、向量的应用

1、利用向量证明等式

材料一：已知 、 是任意角，求证：cos( ) cos cos sin sin 。 证明：在单位圆上，以x轴为始边作角 ，终边交单位圆于A

空间向量在立体几何中的应用

1【例1】已知三棱锥P-ABC中,PA⊥面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN，

2M,S分别为PB,BC的中点.

(Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小. 证明：

设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图.

111则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),N(,0,0),S(1,,0)

222??????1???11(Ⅰ)CM?(1,?1,),SN?(?,?,0),

222?????????11因为CM?SN????0?0,

22所以CM⊥SN

????1(Ⅱ)NC?(?,1,0),

2设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量, 1?x?y?z?0,??2令x?2，得a=(2,1,-2). 则?1??x?y?0.??21????2?2 因为cosa,SN?223?2?1?所以SN与片面CMN所成角为45°

【例2】、如图,四棱锥S—ABCD中,SD?底面ABCD, AB//DC,AD?DC, AB?AD?1,DC=SD=2,E为棱 SB上的一点,平面EDC?平

1 法向量在立体几何中的应用

查宝才

（扬州市新华中学，江苏 225002）

向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。将向量引入中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法——向量法。下面就向量中的一种特殊向量——法向量，结合近几年的高考题，谈谈其在立体几何有关问题中的应用。

1 法向量的定义

1.1 定义1 如果一个非零向量n 与平面α垂直，则称向量n 为平面α的法向量。

1.2 定义2 任意一个三元一次方程：0=+++D Cz By Ax ，222(C B A ++ )0≠都表示空间直角坐标系内的一个平面，其中),,(C B A n =为其一个法向量。]1[ 事实上，设点),,(0000z y x P 是平面α上的一个定点，),,(C B A n =是平面α的法向量，设点),,(z y x P 是平面α上任一点，则总有n P P ⊥0。

∴ 00=?n P P ， 故 0),,(),,(000=---?z z y y x x C B A ，

即 0)()()(000=-+-+-z z C y

空间向量在立体几何中的应用：求角和距离

1．空间中的角：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 （1）异面直线所成的角的范围是(0,]。求两条异面直线所成的角的大小一般

2

?方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下：

①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角。

（2）直线与平面所成的角的范围是[0,]。

2A C B D ?? 求直线和平面所成的角具体步骤如下： ①作过斜线上一点与平面垂直的直线；

②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。

注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有

???；

（3）二面角的范围:(0,?].。作二面角的平面角常有三种方法

1

2．空间的距离

（1）点到直线的距离：点Ｐ到直线a的距离为点Ｐ到直线a的垂线段的长，

(2)点到平面的距离：点Ｐ到平面?的距离为点Ｐ到平面?的垂线段的长．

（3）异面直线间的距离：异面直线a,b间的距离为

高等代数的相关理论在几何上的应用

班级：经数1401 学号：20140236 姓名：石凯

内容摘要：本文主要研究矩阵、行列式与Cramer法则在判别直线、平面与线面位置关系时的应用以及如何用行列式表示直线或平面方程．还应用线性方程组的理论得到了解析几何中的几个简单命题，从而疏通了高等代数与解析几何的内在联系，并体现出代数学与几何学相互渗透，相互影响的本质关系,能够使学习者在具体的几何背景下直观地接受代数方法．

关键词：矩阵；行列式；Cramer法则；线性方程组；对称变换

1.导言

高等代数这门课程内容充实，逻辑严密，是现代数学、物理、工程、经济等学科的基础．而高等代数作为其它学科的基础，其内容与基本理论和方法必然有着广泛的应用．如一般性思想方法、抽象性思想方法、公理化思想方法、初等变换的思想方法、辩证思维的思想方法和关系映射反演思想方法等．

“高等代数”与“解析几何”作为高等院校数学专业的两门重要基础课程，它们既各具特点不能相互取代，又存在着天然的内在联系，主要表现在它们的内容上有许多重叠和相互依赖，相互支撑的部分．它们之间存在着密切的联系，这种关系可以归结为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景[2]”．目前,将这两门课程进行合并教学的探

第２１卷常州师范专科学校学报２００３年第２期

平面向量在中等数学教学中的应用

耿庆心

（常州旅游学校，江苏常州２１３０００）

摘要：平面向量是高中数学引入的一个新概念。利用平面向量的定义、定理、性质及有关公式，可以简化解题过程，便于学生的理解和掌握。

关键词：教学；平面向量；数形结合

平面向量是高中数学引入的一个新概念，它一对实数ｘ，Ｙ，使ｍ＝ｘａ＋ｙｂ。

在高等数学中应用较为普遍。在中学数理学习中４．平行向量基本定理

已经多次用到平面向量，如三角函数线，复数的向量表示，物理中力的分解与合成，都能从平面向量如果向量ｂ≠ｏ，则ａ／／ｂ的充分必要条件是，存

的角度得到好的解释。高中数学教材中，以平面向在唯一实数入，使ａ＝ｈｂ。

量作为主线索，是以前教材编排上的一大改进。本５．向量的夹角公式

文通过若干实例，谈谈平面向量在中等数学中的——｝

－４＇——’呻

设ｍ＝（ａ，ｂ），ｎ＝（ｃ，ｄ），＜ｍ，ｎ＞＝ｅ。

应用，供读者参考。

一、有关平面向量的概念、性质及公式北ｃｏｓ。２黼２诟网丽

刚…ｎ一斟～［ａｃ＋ｂｄ１．向量的数量积

ｌ一（１）已知空间两个向量ｉ，云，则ＩａＩ

ｅｏｓ＜ａ，云

二、平面向量在代数中的应用

例１、（ａ２＋ｂ２）（Ｃ２＋ｄ２）＝（ａｃ＋ｂｄ）２，其中ｃｄ≠０，

＞，叫做