高中数学导数压轴题技巧

高中数学压轴题系列——导数专题——双变量问题（2）

1.（2010?辽宁）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1 （1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）设a＜﹣1．如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围． 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）.

．

当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调递增； 当a≤﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调递减； 当﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得．

则当时，f'（x）＞0；

时，f'（x）＜0． 故f（x）在

单调递增，在

单调递减．

（Ⅱ）不妨假设x1≥x2，而a＜﹣1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调递减， 从而?x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2| 等价于?x1，x2∈（0，+∞），f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1① 令g（x）=f（x）+4x，则

①等价于g（x）在（0，+∞）单调递减，即．

从而

故a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．（12分）

2．（2018?呼和浩特一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=

﹣bx（b为常数）．

（Ⅰ）当b=4时，讨论函数h（x）=f

高考数学函数压轴题：

1. 已知函数f(x)?134x?ax?b(a,b?R)在x?2处取得的极小值是?. 33(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若x?[?4,3]时，有f(x)?m?m?210恒成立，求实数m的取值范围. 3

2

2. 某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的产值函数R (x)=3700x + 45x – 3

10x(单位：万元), 成本函数为C (x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提示：利润 = 产值 – 成本）

(1) 利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x);

(2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?

(3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

3. 已知函数?(x)?5x2?5x?1(x?R)，函数y?f(x)的图象与?(x)的图象关于点

1(0,)中心对称。 2（1）求函数y?f(x)的解析式；

（2）如果g1(x)?f(x)，gn(x)?f[gn?1(x)](n?N,n?2)，试求出使g

高考数学函数压轴题：

1. 已知函数f(x)?134x?ax?b(a,b?R)在x?2处取得的极小值是?. 33(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若x?[?4,3]时，有f(x)?m?m?210恒成立，求实数m的取值范围. 3

2

2. 某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的产值函数R (x)=3700x + 45x – 3

10x(单位：万元), 成本函数为C (x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提示：利润 = 产值 – 成本）

(1) 利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x);

(2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?

(3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

3. 已知函数?(x)?5x2?5x?1(x?R)，函数y?f(x)的图象与?(x)的图象关于点

1(0,)中心对称。 2（1）求函数y?f(x)的解析式；

（2）如果g1(x)?f(x)，gn(x)?f[gn?1(x)](n?N,n?2)，试求出使g

高中数学压轴题系列——导数专题——超越不等式放缩

1.（2010?大纲版Ⅰ）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．

（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；（Ⅱ）证明：（x﹣1）f（x）≥0． 解：（Ⅰ）

，xf′（x）=xlnx+1，

题设xf′（x）≤x2+ax+1等价于lnx﹣x≤a．令g（x）=lnx﹣x，则

当0＜x＜1，g′（x）＞0；当x≥1时，g′（x）≤0，x=1是g（x）的最大值点，g（x）≤g（1）=﹣1 综上，a的取值范围是[﹣1，+∞）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=﹣1即lnx﹣x+1≤0． 当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x+1=xlnx+（lnx﹣x+1）＜0； 当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）= 所以（x﹣1）f（x）≥0．

2.（2010?大纲版Ⅱ）设函数f（x）=1﹣e﹣x． （Ⅰ）证明：当x＞﹣1时，f（x）≥解：（1）当x＞﹣1时，f（x）≥

；（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤

，求a的取值范围．

=

≥0

当且仅当ex≥1+x 令g（x）=ex﹣x﹣1，则g'（x）=ex﹣1

当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数 当x≤0时g

高考数学备考之放缩技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩 （3）求证:1 1 3 1 3 5 1 3 5 (2n 1) 2n 1 1

2

2 4

2 4 6

2 4 6 2n

（4）求证：2(n 1 1) 1 1 1 1 (2n 1 1)

技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩

例1（1）求 n2的值; （2）求证:n

15. k 14k2 1 2

k 1k3

奇巧积累:（1）1 4 4 2

11

（2）1211 n24n24n2 1 2n 1 2n 1

C12

n 1Cn(n 1)n(n 1)n(n 1)n(n 1)

（3）T

1n

r

n! 1 1 1 1r 1

Crn

1 1

rr(r 2) r!(n r)!nr!r(r 1)r （4）(1 1n)n 1 1 12 1 13 2 1n

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高中数学导数及其应用

一、知识网络 二、高考考点

1、导数定义的认知与应用；

2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可

负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比

，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果

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时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处

的导数（或变化率），记作，即。

（Ⅱ）如果函数导，此时，对于开区间（在开区间（在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（）内可，这样）内的导）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做函数（简称导数），记作或，即。 认知： （Ⅰ）函数是一个数值； 的导数在点是以x为自变量的函数，而函数是的导函数当在点处的导数时的函数值。 处的导数 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量 ； ②求平

考点一：求导公式。 例1. f (x)是f(x)

13

x 2x 1的导函数，则f ( 1)的值是。 3

1

x 2，则2

考点二：导数的几何意义。

，f(1))处的切线方程是y 例2. 已知函数y f(x)的图象在点M(1f(1) f (1) 。

， 3)处的切线方程是。 例3.曲线y x3 2x2 4x 2在点(1

考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：y x3 3x2 2x，直线l:y kx，且直线l与曲线C相切于点

x0,y0 x0 0，求直线l的方程及切点坐标。

考点四：函数的单调性。

例5.已知f x ax3 3x2 x 1在R上是减函数，求a的取值范围。

考点五：函数的极值。

例6. 设函数f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值。 （1）求a、b的值；

3]，都有f(x) c成立，求c的取值范围。 （2）若对于任意的x [0，

考点六：函数的最值。

例7. 已知a为实数，f x x 4 x a 。求导数f' x ；（2）若f' 1 0，求f x

2

2

在区间 2,2 上的最大值和最小值。

考点七：导数的综合性问题。

3

例8. 设函数f(x) ax bx c(a 0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线

专题8：导数（文）

经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. f?(x)是f(x)?13x?2x?1的导函数，则f?(?1)的值是 。 32 解析：f'?x??x?2，所以f'??1??1?2?3 答案：3

考点二：导数的几何意义。

例2. 已知函数y?f(x)的图象在点M(1处的切线方程是y?，f(1))1x?2，则2f(1)?f?(1)? 。

解析：因为k?11，所以f'?1??，由切线过点M(1，f(1))，可得点M的纵坐标为2255，所以f?1??，所以f?1??f'?1??3 22答案：3

例3.曲线y?x?2x?4x?2在点(1，?3)处的切线方程是 。

解析：y'?3x?4x?4，?点(1，?3)处切线的斜率为k?3?4?4??5，所以设切

232，?3)带入切线方程可得b?2，，?3)线方程为y??5x?b，将点(1所以，过曲线上点(1处的切线方程为：5x?y?2?0 答案：5x?y?2?0

点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：y?x?3x?2x，直线l:y?kx，且直线l与曲线C相切于

考点一：求导公式。 例1. f (x)是f(x)

13

x 2x 1的导函数，则f ( 1)的值是。 3

1

x 2，则2

考点二：导数的几何意义。

，f(1))处的切线方程是y 例2. 已知函数y f(x)的图象在点M(1f(1) f (1) 。

， 3)处的切线方程是。 例3.曲线y x3 2x2 4x 2在点(1

考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：y x3 3x2 2x，直线l:y kx，且直线l与曲线C相切于点

x0,y0 x0 0，求直线l的方程及切点坐标。

考点四：函数的单调性。

例5.已知f x ax3 3x2 x 1在R上是减函数，求a的取值范围。

考点五：函数的极值。

例6. 设函数f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值。 （1）求a、b的值；

3]，都有f(x) c成立，求c的取值范围。 （2）若对于任意的x [0，

考点六：函数的最值。

例7. 已知a为实数，f x x 4 x a 。求导数f' x ；（2）若f' 1 0，求f x

2

2

在区间 2,2 上的最大值和最小值。

考点七：导数的综合性问题。

3

例8. 设函数f(x) ax bx c(a 0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线

高中数学解题小技巧

一、代入法

若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)而运动，而Q点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式x0?f(x)，y0?g(x)，于是将这个Q点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得P点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。

【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线C：y?x2与直线l：

x?y?2?0交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB)，且xA?xB，记曲线

C在

点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D.设点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合.若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程； 【巧解】联立y?x2与y?x?2得xA??1,xB?2，则AB中点Q(15,)， 2215?s?t22设线段PQ 的中点M坐标为(x,y)，则x?， ,y?2215即s?2x?,t?2y?，又点P在曲线C上，

225111∴2y??(2x?)2化简可得y?x2?x?，又点P是L上的任一

228点，

115?2，即??x?， 2441115∴中点M的轨迹方程为y?x2?x?（??x?）.

844且不与点A和点B重合，则?1?2x?【例