线性代数基本定理1

线性代数基本定理 一、矩阵的运算

1.不可逆矩阵的运算不满足消去律 AB=O,A也可以不等于O

?11??1-1??00??÷?÷=?÷ è-1-1?è-11?è00?2.矩阵不可交换

(A+B)=A+AB+BA+Bk222

(AB)=ABABABAB...AB

3.常被忽略的矩阵运算规则

(A+B)T=AT+BT

(lA)=lATT

4.反称矩阵对角线元素全为0 4.矩阵逆运算的简便运算

111(diag(a1,a2,...,an))=diag(,,...,)

a1a2an-11-1(kA)=A

k-1 方法

1. 特殊矩阵的乘法

A．对角矩阵乘以对角矩阵，结果仍为对角矩阵。且：

B．上三角矩阵乘以上三角矩阵，结果为上三角矩阵 2.矩阵等价的判断

A@B?R(A)=R(B)

任何矩阵等价于其标准型

3.左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换 如：m*n的矩阵，左乘m阶为行变换，右乘n阶为列变换 4. 给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆 如：A2-A-2I=O，证明(A+2I)可逆。

把2I项挪到等式右边，左边凑出含有A+2I的一个多项式，在确保A平方项与A 项的系数分别为原式的系数情况下，看I项多加或少加了几个。 5.矩阵的分块进行

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第一章 行列式

1．逆序数 1.1 定义

n个互不相等的正整数任意一种排列为：i1i2???in，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不

同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用?数字的个数之和。 1.2 性质

一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 ?2证明如下：

设排列为a1?alab1?bmbc1?cn，作m次相邻对换后，变成a1?alabb1?bmc1?cn，再作m?1次相邻对换后，变成a1?albb1?bmac1?cn，共经过2m?1次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ，要么减少1 ，相当于?2故原命题成立。

2．n阶行列式的5大性质

性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。 性质2：互换任意两行（列）其值变号。

性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。 性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。 性质5：把行列式某行（列）?倍后再加到另一行（列），其值不变。

行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。

评 注 对性质4的重要拓展： 设n阶同型矩阵，

n?i1i2???in?表示，??

第一章

1．逆序数 1.1 定义

行列式

n个互不相等的正整数任意一种排列为：i1i2???in，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后

次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用??i1i2???in?表示，

??i1i2???in?等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。

1.2 性质

一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 ?22．n阶行列式的5大性质

性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。 性质2：互换任意两行（列）其值变号。

性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。 性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。 性质5：把行列式某行（列）?倍后再加到另一行（列），其值不变。

行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。

评 注 对性质4的重要拓展： 设n阶同型矩阵，以，

???1??1。

A??aij?; B??bij??A?B??aij?bij?，而行列式只是就某一列分解，所

nA?B应当是2个行列式之和，即A?B?A?B

。

评 注 韦达定理的一般形式为：

anx?an?1xnn?1?an?2xn?2nan?1a

第一章 行列式

行列式是线性代数中的一个基本概念，其理论起源于解线性方程组，它在自然科学的许多领域里都有广泛的应用.本章主要介绍n阶行列式的定义、性质和计算方法以及用行列式解线性方程组的克莱姆（Cramer）法则.

§1.1 二阶与三阶行列式

一、二元线性方程组与二阶行列式

在实际问题中，线性方程组的应用很广，但三元以上的线性方程组的求解是很复杂的.现在讨论简化线性方程组的求解过程和求解公式.先从二元线性方程组开始讨论.

对于二元线性方程组

?a11x1?a12x2?b1 ? （1-1-1）

?a21x1?a22x2?b2利用加、减消元法可得

?(a11a22?a12a21)x1?a22b1?a12b2 ?(aa?aa)x?ab?ab12212112211?1122如果a11a22?a12a21?0，那么线性方程组（1-1-1）有唯一解：

x1?b1a22?b2a12a11a22?a12a21 x2?b2a11?b1a21a11a22?a12a21

以上两个式子可作为公式使用，但不便于记忆，为方便起见，把a11a22?a12a21记为a11a21a

《线性代数》讲义 第 1 页 共 30 页

第一章 行列式

一、2、3阶行列式---之计算方法：对角线法则 1、

ab?ad?cb cdabehcf?(aei?bfg?cdh)?(ceg?bdi?afh) i2、dg3、克莱姆法则（见课本p84?85页） 4、补充习题：

ae00x?11（1）计算：a）2 b） 0ab c） bxx2?x?10cdca2b2c2a3b3（答：abc(b?a)(c?a)(c?b)）

c31a12特别地：Vandermonde（范德蒙）行列式结论a1...1a22a2...........................1an2?an...1?j?i?n?(ai?aj)

n?1n?1a1n?1a2......ank34（2）解方程：?1k0?0

0k1a11（3）填空：0?10?0的充分必要条件是 4aa二、n阶行列式

1、n阶行列式定义：行列式的值等于第一行（列）的元素与其对应的

第一章 行列式

行列式是线性代数中的一个基本概念，其理论起源于解线性方程组，它在自然科学的许多领域里都有广泛的应用.本章主要介绍n阶行列式的定义、性质和计算方法以及用行列式解线性方程组的克莱姆（Cramer）法则.

§1.1 二阶与三阶行列式

一、二元线性方程组与二阶行列式

在实际问题中，线性方程组的应用很广，但三元以上的线性方程组的求解是很复杂的.现在讨论简化线性方程组的求解过程和求解公式.先从二元线性方程组开始讨论.

对于二元线性方程组

?a11x1?a12x2?b1 ? （1-1-1）

?a21x1?a22x2?b2利用加、减消元法可得

?(a11a22?a12a21)x1?a22b1?a12b2 ?(aa?aa)x?ab?ab12212112211?1122如果a11a22?a12a21?0，那么线性方程组（1-1-1）有唯一解：

x1?b1a22?b2a12a11a22?a12a21 x2?b2a11?b1a21a11a22?a12a21

以上两个式子可作为公式使用，但不便于记忆，为方便起见，把a11a22?a12a21记为a11a21a

1 第一章 行列式

本章说明与要求:

行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：

(1) 行列式的定义；

(2) 行列式的基本性质及计算方法；

(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．

本章的重点是行列式的计算，要求在理解n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n 阶行列式．

计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．

行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件． 。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。

。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。

1.1 二阶与三阶行列式

行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．

设有二元线性方程组 ???=+=+22221211112

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确

?A可逆 ??r(A)?n ?A的列（行）向量线性无关 ??A的特征值全不为0 ??Ax??只有零解 ? ?x??，Ax?? A?0?? n???R,Ax??总有唯一解 ??ATA是正定矩阵 ??A?E ?A?pp???p p是初等阵12si???存在n阶矩阵B,使得AB?E 或 AB?E注：全体n维实向量构成的集合R叫做n维向量空间. ○

n?A不可逆 ?r(A)?n ??A?0??A的列（行）向量线性相关

?0是A的特征值 ???Ax??有

线性代数 第 1 次课

章节§1.1二阶与三阶行列式 §1.2全排列及其逆序数 名称 §1.3 n阶行列式的定义 目的要求 掌握二阶与三阶行列式的计算 理解n阶行列式的定义 序号 主 要 内 容 与 时 间 概 算 1 2 3 4 共计 主要内容 二元线性方程组与二阶行列式 三阶行列式 全排列及其逆序数 理解n阶行列式的定义 时间概算 20分钟 15分钟 15分钟 45分钟 95分钟 重点 用对角线法则进行二阶、三阶行列式的计算. 难点 理解n阶行列式的定义. 方法 板书 手段 课堂 二元线性方程组消元法. 三阶行列式的课堂练习计算结果 思 考 题 作 业 题 《最新线性代数习题全解》同济四版配套辅导. 王治军 主编 中国建材参考 工业出版社2003.8 资料 《线性代数》重点内容重点题 杨泮池 赵彦晖 褚维盘 编著 西安交通大学出版社，2004.3

提 问 本次课内学员基本掌握了本次课的内容, 达到了教学目的. 容总结 x已知f(x)?121xx3112x213,求x3的系数. 2x 练习册 练习一 线性代数 第 2 次课

章节§1.4对

《线性代数》模拟试卷（一）

一. 一. 填空题(20/5)

1.已知A是5阶方阵,且|A|?2,则|A*|?____________.

2.设A?(aij)1?3,B?(bij)3?1,则B?A??______________.

3.设?1?(3,3,3),?2?(?1,1,?3),?3?(2,1,3),则?1,?2,?3线性_____关.

4.若A100?0,则(I?A)?1?_____________.

?12?5.设|A|?0,??2为A的特征值,则A有一特征值为_________,?A??3?有一特征值为__________.

二. 二. 选择填空(20/5)

?.1.设A,B为n阶对称矩阵,则下面四个结论中不正确的是?2?1A.A?B也是对称矩阵B.AB也是对称矩阵D.AB??BA?也是对称矩阵

C.Am?Bm(m?N?)也是对称矩阵

?A?0?2.设A和B都是n阶可逆矩阵,则(?2)??1????0B?A.(?2)2n|A||B|?1B.(?2)n|A||B|?1C.?2|A?||B|D.?2|A||B|?1

3.当n个未知量m个方程的齐次线性方程组满足条件??.

?时,此方程组一定有非零解.A.n