向量的概念及向量的加减运算

平面向量的概念及其线性运算

A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

→

1．(2013·合肥检测)已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA→＋OC→＝0，那么 ＋OB→＝OD→ A.AO

→＝3OD→ C.AO

( )．

→＝2OD→

B.AO→＝OD→ D．2AO

→＋OB→＋OC→＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故AO→

解析 由2OA→. ＝OD答案 A

→＝a，→＝b，→＝c，→＝d，

2．已知OAOBOCOD且四边形ABCD为平行四边形，则 ( )． A．a－b＋c－d＝0 C．a＋b－c－d＝0

B．a－b－c＋d＝0 D．a＋b＋c＋d＝0

→＝DC→，故AB→＋CD→＝0，即OB→－OA→＋OD→－OC→＝0，即有解析 依题意，得AB

→－OB→＋OC→－OD→＝0，则a－b＋c－d＝0.选A. OA答案 A

→＋2OC→

3．(2013·长安一中质量检测)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA→|

|BC→

＝3OB，则的值为

→|AB|1A.2

1

B.3

1D.6

( )．

1

C.4

→||BC→→→→→→

§5.1 平面向量的概念及线性运算

一、选择题

1. 已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a?b|，则下面结论正确的是（ ） A.a∥b B. a⊥b C.{0,1,3} D.a+b=a?b

答案 B

2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )． A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析 若a＋b＝0，则a＝－b. ∴a∥b；

若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立． 答案 A

3．设P是△ABC所在平面内的一点，→BC＋→BA＝2→BP，则( )． A.→PA＋→PB＝0 C.→PB＋→PC＝0

B.→PC＋→PA＝0 D.→PA＋→PB＋→PC＝0

解析 如图，根据向量加法的几何意义，→BC＋→BA＝2→BP?P是AC的中点，

∴→PA＋→PC＝0.答案 B

4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，

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2.1向量的物理背景与

概念及几何表示主讲老师：陈震

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情境设置老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追 去，设问：猫能否追到老鼠？

C A B D

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情境设置老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追 去，设问：猫能否追到老鼠？

C

结论：猫的速度再快 也没用，因为方向 错了.

A

B

D

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讲授新课请同学指出哪些量既有大小又有方向？ 哪些量只有大小没有方向？

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讲授新课1. 向量的概念： 我们把既有大小又有方向的量叫向量.

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讲授新课1. 向量的概念： 我们把既有大小又有方向的量叫向量.

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讲授新课 阅读教材，回答下列问题：(1)数量与向量有何区别？(2)如何表示向量？

(3)有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？ (4)长度为零的向量叫什么向量？长度为1 的向量叫什么向量？

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讲授新课 阅读教材，回答下列问题：(5)满足什么条件的两个向量是相等向量？ 单位向量是相等向量吗？ (6)有一组向量，它

第1节 平面向量的概念及线性运算

最新考纲 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

知 识 梳 理

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模). (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律：a＋b＝b加法 求两个向量和的运算 求a与b的相反向量－减法 b的和的运算叫做a与b的差 a－b＝a＋(－b) ＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方数乘 求实数λ与向量a的积向与a的方向相同；当λ的运算 ＜0时，λa的方向与a

2010年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版）

平面向量的概念及运算

一．【课标要求】

（1）平面向量的实际背景及基本概念

通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算

①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；

②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义；②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

二．【命题走向】

本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。

预测2010年高考：

（1）题型可能为1道选择题或1道填空题；

（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。

三．【要点精讲】

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整式的概念及加减运算讲义

一、知识点拨

知识点1、单项式的概念

式子3x,?a2,xy,?2.6t3,?m它们都是数或字母的积，象这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 注意：单项式是一种特殊的式子，它包含三种类型：一是数字与字母相乘组成的式子，如2ab;

?a,m。 二是字母与字母组成的式子，如xy;三是单独的一个数或字母，如2，

知识点2、单项式的系数

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

注意：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如2x的系数是2；数是

43ab的系31，2.7m的系数是2.7。 3 （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号，如－?2xy?的系数是－2

（3）对于只含有字母因素的单项式，其系数是1或－1，不能认为是0，如－xy的系数是－1；xy的系数是1。

（4）表示圆周率的?，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2?xy的系数就是2?

知识点3、单项式的次数

一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。 注意：（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不

一轮复习讲义

平面向量的概念及线性运算

要点梳理1.向量的有关概念 名称 向量

忆一忆知识要点

定义 既有 大小 又有方向的量； 向 量的大小叫做向量的长度 (或称为模) 长度为 0 的向量； 其方向 是任意的

备注 平面向量是自由向量

零向量

记作 0

单位向量

非零向量 a 的单位向量 长度等于1个单位 的向量 a 为± |a|

要点梳理平行向量 共线向量 相等向量 相反向量

忆一忆知识要点

方向 相同 或 相反 的非 零向量 0 与任一向量 平行 或 共线 两向量只有相等或不 等，不能比较大小 0 的相反向量为 0

方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 长度 相等 且方向 相同 的向量 长度 相等 且方向相反 的向量

忆一忆知识要点

2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律

(1)交换律： 加法 求两个向量 和的运算平行四边形 三角形

a+b=b+a (2)结合律： (a+b)+c=a+(b+c) .

要点梳理求 a 与 b 的相 减法 反向量-b 的 和的运算叫做 a 与 b 的差

忆一忆知识要点

a-b=a+(-b)

三角形 法则(1)|λa|= |λ||a| ;

(2)当 λ>0 时， 的方向 λ(μa)= λμa ; λa 求实数 λ

整式的概念及加减乘法运算讲义

一、知识点拨

知识点1、单项式的概念

式子3x,?a2,xy,?2.6t3,?m它们都是数或字母的积，象这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 注意：单项式是一种特殊的式子，它包含三种类型：一是数字与字母相乘组成的式子，如2ab;

?a,m。 二是字母与字母组成的式子，如xy;三是单独的一个数或字母，如2，知识点2、单项式的系数

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

注意：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如2x的系数是2；数是

43ab的系31，2.7m的系数是2.7。 3 （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号，如－?2xy?的系数是－2

（3）对于只含有字母因素的单项式，其系数是1或－1，不能认为是0，如－xy的系数是－1；xy的系数是1。

（4）表示圆周率的?，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2?xy的系数就是2?

知识点3、单项式的次数

一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。 注意：（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，

第三章 导数及其应用

命题探究

解答过程

(解法一)

(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).其中2ex+1>0恒成立.

(i)若a≤0,则f '(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减. (ii)若a>0,则由f '(x)=0得x=-ln a.

当x∈(-∞,-ln a)时, f '(x)<0;当x∈(-ln a,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增. (2)(i)若a≤0,由(1)知, f(x)至多有一个零点.

(ii)若a>0,由(1)知,当x=-ln a时, f(x)取得最小值,最小值为f(-ln a)=1-+ln a.

①当a=1时,由于f(-ln a)=0,故f(x)只有一个零点;

②当a∈(1,+∞)时,由于1-+ln a>0,即f(-ln a)>0,

故f(x)没有零点;

③当a∈(0,1)时,1-+ln a<0,即f(-ln a)<0.

又f(-2)=ae+(a-2)e+2>-2e+2>0,故f(x)在(-∞,-ln a)有一个零点.

-4

-2

-2

设正整数n0满足n0>ln

- ,则f(n0)= (a +a-2)-n0> -n0> -n0>0. 由于ln

- >-ln a,因此f

第四章一第一节

处世

?原文?一目之罗,不可以得鸟三 汉四刘安‘淮南子四说林训“

?微言大义?一个网眼的罗网是捕不到鸟的三比喻对贤人无礼,得不到贤者的支持,个人再能干也将一事无成三71一

第四章一平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节一平面向量的概念及其线性运算

一一完全与教材同步,主干知识精心提炼三素质和能力源于基础,基础知识是耕作 半亩方塘 的工具三视角从

?考纲点击?中切入,思维从?考点梳理?中拓展,智慧从?即时应用?中升华三科学的训练式梳理峰回路转,别有洞

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考纲点击 三年3考一高考指数:

内一容

知识要求

了解

(A)理解(B)掌握(C)

平面向量的相关概念?

平面向量的线性运算及其几何意义?

平面向量的线性运算的性质及其几何

意义?

考点梳理

1.向量的有关概念

(1)定义:既有一一一一一一又有一一一一一一的量叫做向量.

(2)表示方法:用一一一一一来表示向量.有向线段的长度表示

向量的一一一一,用箭头所指的方向表示向量的一一一一一.

用a,b,或用A B?,C D?来表示.

(3)模:向量的一一一叫做向量的模,记作|a|,|b|或|A B?|,|C D?|.

(1)判断下列命题的真假:(请在括号中填写 真 或 假 )

①向量