高等代数二次型化为标准型

第五章

二次型

一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形 五、惯性定理 六、正(负)定二次型的概念 七、正(负)定二次型的判别1

一、二次型及其标准形的概念定义1 含有n个变量 x1 , x 2 , , x n的二次齐次函数2 2 2 f x1 , x2 , , xn a11 x1 a22 x2 ann xn

2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an 1, n xn 1 xn

称为二次型.当aij是复数时 , f称为复二次型 ; 当aij是实数时 , f称为 实二次型 .

只含有平方项的二次型 2 2 2 f k1 y1 k2 y2 kn yn 称为二次型的标准形(或法式). 例如2 2 2 f x1 , x2 , x3 x1 4 x2 4 x3

为二次型的标准形. 只含有平方项的且形如以下二次型 2 2 2 2 f y1 y p y p 1 yr 称为二次型的规范形3

二、二次型的表示方法1.用和号表示 对二次型 2 2 2 f x1

第五讲二次型

一、二次型的概念及标准形 1、 二次型的概念及几种表述

数域F上的n元二次齐次函数称为数域F上的n元二次型。有以下几种表述方式： （1）f(x1,x2,?,xn)???axxijii?1j?1nnj；

222（2）f(x1,x2,?,xn)?a11x1?a22x2???annxn?2?axxijii?jj；

T（3）f(x1,x2,?,xn)?XTAX，其中XT?(x1,x2,?,xn)，A?(aij)n?n，且A?A，并称A为二次型的矩阵。 2、矩阵合同

（1） 设A,B?Fn?n,若存在可逆矩阵T?Fn?n，使B?TAT，则称A与B是合同的。

T（2） 合同是矩阵间的一种等价关系。

（3） 二次型经过非退化的线性替换仍变为二次型，且新老二次型的矩阵是合同的。

3、 标准形

222（1） 二次型f(x1,x2,?,xn)?d1x1称为标准形。 ?d2x2???dnxn（2） 任何二次型都可以通过非退化线性替换化成标准形。 （3） 任何对称矩阵都合同于一个对角阵。

4、 复数域上二次型的规范形

222（1） 复二次型f(x1,x2,?,xn)?d1x1，其中di?1或0，称为复?d2x2???dnxn数域上的规范形。

（2） 任

第六节 用配方法化二次型成标准形

拉格朗日配方法的具体步骤 小结

第五章 相似矩阵及二次型

一、拉格朗日配方法的具体步骤 其特点是保持 用正交变换化二次型为标准形， 几何形状不变. 问题 有没有其它方法也可以把二次型化为标准形？ 问题的回答是肯定的。 下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日 配方法.© 2009, Henan Polytechnic University §6 用配方法化二次型成标准

2 2

第五章 相似矩阵及二次型

拉格朗日配方法的步骤1.若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 x i 的乘

积项集中，然后配方， 再对其余的变量同样进行， 直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换， 就得到标准形; 2.若二次型中不含有平方项， 但是aij 0 ( i j ),则先作可逆线性变换 x i yi y j x j yi y j k 1,2, , n且k i , j x y k k 化二次型为含有平方项的二次型，再按1中方法配方.© 2009, Henan Polytechnic University §6 用配方法化二次型成标准

3 3

第五章 相

二次型习题

一．填空题

1． 二次型f(x1,x2,x3)?(a1x1?a2x2?a3x3)2的对应矩阵是_______。

322． 三阶矩阵A是实对称矩阵，且A?7A?16A?10E?0，则二次型XAX经正交

T变换可化为标准形为_________。

3． 若二次曲面x2?4y2?2z2?2txy?2xz?1是椭球面，则t的取值范围是_________。 4． 二次型f(x1,x2,x3)?(x1?ax2?2x3)2?(2x2?3x3)2?(x1?3x2?ax3)2是正定二次型的充要条件是a必须满足__________。 二．选择题

?12?1???1． 已知A??a?b50?是正定矩阵，则

????10c???（A）a=1，b=2，c=1 （B）a=1，b=1，c=?1

（C）a=3，b=?1，c=2 （D）a=?1，b=3，c=8 [ ]

?110???2．已知矩阵A??110?，则与A既相似又合同的矩阵是

???002????1???2（A）?? ?2????1???1（C）?? ?0???T

?2???1（B）?? ?0????2???

2（D）?? ?0???

T

第六章 二 次 型

I 重要知识点

一、二次型及其矩阵表示

1、二次型的定义：以数域P中的数为系数，关于x1，x2，…，xn的二次齐次多项式f(x1，x2，…，xn)=a11x12+2a12x1x2+ … +2a1nx1xn

+a22x22+ … +a2nx2xn + … (3) +annxn2

称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型。

2、二次型的矩阵表示 设n阶对称矩阵

?a11?a12A=?????a?1na12a22?a2n?a1n???a2n? ?????ann??则n元二次型可表示为下列矩阵形式：

?a11?a12f(x1，x2，…，xn)=( x1，x2，…，xn) ?????a?1na12a22?a2n?a1n??x1?????a2n??x2?T

=XAX

????????????ann???xn?其中 X=( x1，x2，…，xn)T。对称矩阵A称为二次型的系数矩阵，简

二次型理论与代数学在中国的传播

论文题目作者姓名班级学号学科专业所在学院任课教师提交日期《高等代数学》

二次型理论与代数学在中国的传播

2014年11月20日

二次型理论与代数学在中国的传播

摘 要：高等代数是历史悠久、内容丰富的一门基础学科。二次型作为高等代数的重要内容, 已被广泛应用到很多实际问题中。二次型在中国的传播为代数学得发展奠定了基础。

关键词：二次型；代数学；传播

1 二次型的研究背景及近况

二次型的研究是从18世纪开始的，它是对二次曲线和二次曲面的分类问题进行讨论研究，将二次曲线和二次曲面的方程进行变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。更进一步来看，随着科学技术的迅速发展以及电子计算机的普及使用，线性代数

二次型理论与代数学在中国的传播

论文题目作者姓名班级学号学科专业所在学院任课教师提交日期《高等代数学》

二次型理论与代数学在中国的传播

2014年11月20日

二次型理论与代数学在中国的传播

摘 要：高等代数是历史悠久、内容丰富的一门基础学科。二次型作为高等代数的重要内容, 已被广泛应用到很多实际问题中。二次型在中国的传播为代数学得发展奠定了基础。

关键词：二次型；代数学；传播

1 二次型的研究背景及近况

二次型的研究是从18世纪开始的，它是对二次曲线和二次曲面的分类问题进行讨论研究，将二次曲线和二次曲面的方程进行变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。更进一步来看，随着科学技术的迅速发展以及电子计算机的普及使用，线性代数

线性代数 课件

第六章 二次型及其标准型§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准型

§6.3 正定二次型与正定矩阵

线性代数 课件

§6.1 二次型其次标准形引言 判别下面方程的几何图形是什么？2x2

3 xy y

2

10

(1 )

作旋转变换~ ~ x cos( ) x sin( ) y ~ ~ y sin( ) x cos( ) y ,

6

代入(1)左边，化为：~2 ~2 5 ~2 1 ~2 x y x y 10 1 2 2 4 20

见下图

线性代数 课件

y

~ y

x

~ x

线性代数 课件

定义 含有n个变量

x1 , x 2 , , x nn

的二次齐次函数(aji

f x 1 , x 2 , , x n

a ij x i x ji, j 1

a ij )

称为n维(或n元)的二次型. 关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行！

线性代数 课件

例如： f ( x , y ) x 2 4 x y 5 y 2

2 2 f ( x , y , z ) 2 x y xz yz 都是二次型。 f ( x

MATF系列为标准型的分体式超声波物位计, 由物位计主机(转换器)和超声波探头(传感器)构成,超声波探头通过引出电缆与主机相连接,使用直流24v或交流220v供电, 具有DC4-20mA输出, 高低位继电器输出, 液晶显示.

分体式超声波物位计（标准型）

分体式超声波物位计的说明

MATF系列为标准型的分体式超声波物位计, 由物位计主机（转换器）和超声波探头（传感器）构成，超声波探头通过引出电缆与主机相连接，使用直流24v或交流220v供电, 具有DC4-20mA输出, 高低位继电器输出, 液晶显示.

分体式超声波物位计的产品特点

● 最大量程可达40m 料位测量可达25米

● 最小分辨率1mm

● LCD/LED大显示屏

● 智能信号处理技术

● 全塑料防腐外壳 防护等级IP67

● 专利的换能器结构

● 简单的按键设定参数 无需等待容器排空或加满，无需附加的遥控器 ● 灵活的安装方式 螺纹（法兰） 固定孔（支架）

● 交流或直流供电形式可选

●

若尔当标准形的研究

中文摘要：

矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相识变换得到。矩阵的若尔当标准型理论在数学、力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛的应用。

每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可以通过相似变换化为对角形。 本文主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P的求法，以及若尔当标准形的几种求解方法，对若尔当标准形进行探讨。 关键字：

若尔当标准形、相似矩阵、初等因子、循环向量

1

目 录

目 录 ........................................................................................................................ 2

第一章：绪论 ......................................................................