矩阵求特征值和特征向量
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15章 求矩阵特征值和特征向量
第15章 求矩阵特征值和特征向量
幂 法
幂法规范化算法
1. 输入矩阵A、初始向量u,误差eps 2. k?1
3. 计算V(k) ?Au(k-1)
4. mk ?max(V), mk-1 ?max(V) 5. uk ? V(k)/mk
(1)
6. 如果| mk - mk-1|
注:如上算法中的符号max(V)表示取向量V中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。
(k)
(k-1)
(0)
规范化幂法程序
Clear[a,u,x];
a=Input[\系数矩阵A=\;
u=Input[\初始迭代向量u(0)=\; n= Length[u];
eps= Input[\误差精度eps =\;
nmax=Input[“迭代允许最大次数nmax=”]; fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2},
Do[m1=Abs[x[[k]]];
If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1], {k,1,Length[x]}]; m2] v=a.u; m0=fmax[
第五章 求矩阵特征值和特征向量
第五章 求矩阵特征值与特征向量
n阶方阵A的n个特征值就是其特征方程
det(A??I)?0
的n个根,方程A属于特征值?的特征向量x是线性方程组
Ax??x
的非零解。本章讨论求方阵A的特征值和特征向量的两个常用的数值方法。以及求实对称矩阵特征值的对分法。
5.1 幂 法
在实际问题中,矩阵的按模最大特征根起着重要的作用。例如矩阵的谱半径即矩阵的按模最大特征根的值,它决定了迭代矩阵是否收敛。本节先讨论求实方阵的按模最大特征根的常用迭代法:幂法。
5.1.1幂法的基本思想
幂法是求实方阵A按模最大特征值及其特征向量的一种迭代方法。它的基本思想是:先任取非零初始向量x0,然后作迭代序列
xk?1?Axk,k?0,1,??? (5。1)
再根据k增大时,xk各分量的变化规律:按模最大的特征向量会愈来愈突出,从而可求出方阵A的按模最大特征值及其特征向量。
先看一个计算实例。 例1 设矩阵
?1A???22?? 1?用特征方程容易求得A的两个特征值为
?1??1,?2?3
下面用幂法来计算,取初始向量x0??1,0?,计算向量序列 xk?1?Axk,k
第3.1次矩阵的特征值与特征向量
方阵的特征值与特征向量
第三章 矩阵的特征值与特征向量3.1 方阵的特征值与特征向量 3.2 矩阵的对角化
方阵的特征值与特征向量
第一节 方阵的特征值与特征向量3.1.1 特征值与特征向量的概念 3.1.2 特征值与特征向量的性质
方阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量定义
设 A是 n阶 方 阵 。 如 果 n维 非 零 向 量 ξ 和 数 λ 满 足
Aξ = λξ称 λ是 矩 阵 的 特 征 值 , 称 ξ 是 矩 阵 A的 对 应 特 征 值 λ 的 特 征 向 量
方阵的特征值与特征向量
例
2 1 1 A = 4 0 2 3 2 4
1 ξ1 = 2 1
2 ξ2 = 1 3
验证ξ1,ξ 2是否为A的特征向量。解
2 1 1 1 3 1 Aξ1 = 4 0 2 2 = 6 = 3 2 = 3ξ1 3 3 2 4 1 1
2 1 1 2 6 Aξ 2 =
2.5 特征值与特征向量
苏教版选修4-2完美教案学案,知识点全面,题型丰富,贴近考纲
2.5 特征值与特征向量
1.特征值与特征向量的定义
设A是一个二阶矩阵,如果对于实数λ,存在一个非零向量α,使得Aα=λα,那么λ称为A的一个特征值,而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量.
2.特征多项式的定义
a
设A=
c
λ-a -b 2
是一个二阶矩阵,λ∈R,我们把行列式f(λ)= =λ-(a+d)λd -c λ-d
b
+ad-bc称为A的特征多项式.
3.特征值与特征向量的计算 设λ是二阶矩阵A=
a
c
d
b
的特征值,α为λ的特征向量,求λ与α的步骤为:
λ-a -b 2
第一步:令矩阵A的特征多项式f(λ)= =λ-(a+d)λ+ad-bc=0,求出λ
-c λ-d
的值.
第二步:将λ的值代入二元一次方程组
x0 x0 λ-a x-by=0, 得到一组非零解 ,于是非零向量 即为矩阵A的属于特征
y0 y0 -cx+ λ-d y=0,
值λ的一个特征向量.
4.Anα(n∈N*)的简单表示 (1)设二阶矩阵A= λnα(n∈N*).
(2)设λ1,λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值,α,β是矩阵A的分别属于特征值λ1,λ2
a
c
,α是矩阵A的属于
第3.1次矩阵的特征值与特征向量
方阵的特征值与特征向量
第三章 矩阵的特征值与特征向量3.1 方阵的特征值与特征向量 3.2 矩阵的对角化
方阵的特征值与特征向量
第一节 方阵的特征值与特征向量3.1.1 特征值与特征向量的概念 3.1.2 特征值与特征向量的性质
方阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量定义
设 A是 n阶 方 阵 。 如 果 n维 非 零 向 量 ξ 和 数 λ 满 足
Aξ = λξ称 λ是 矩 阵 的 特 征 值 , 称 ξ 是 矩 阵 A的 对 应 特 征 值 λ 的 特 征 向 量
方阵的特征值与特征向量
例
2 1 1 A = 4 0 2 3 2 4
1 ξ1 = 2 1
2 ξ2 = 1 3
验证ξ1,ξ 2是否为A的特征向量。解
2 1 1 1 3 1 Aξ1 = 4 0 2 2 = 6 = 3 2 = 3ξ1 3 3 2 4 1 1
2 1 1 2 6 Aξ 2 =
第四章 矩阵的特征值和特征向量
第四章 矩阵的特征值和特征向量
60??4??并判断它能否相似对角化。
例1 求下列矩阵的特征值与特征向量A??3?50,若能,
?????3?61??求可逆阵P,使PAP??(对角阵)。
例2 已知三阶方阵A的三个特征值为?2,3,4,则A的特征值为_______,A的特征值为_______,A 的特征值为_______,A?3A?2E的特征值为_______
*?1T?12?001???例3 设矩阵A?x1y 有三个线性无关的特征向量,则x,y应满足条件_______ ????100???200??200?????例5 已知矩阵A?002与B?0y0相似,则x?______y?______ ???????00?1???01x??例6 设n阶方阵A满足A?3A?2I?0,求A的特征值
2?211????1例7 已知向量??(1,k,1)T是矩阵A?121的逆矩阵A的特征向量,求常数k
????112??例8 设A为非零方阵,且A?0 (m为某自然数),证明:A不能与对角阵相似 例9 设n阶方阵A满足A?7A?10I?0,求证:A相似于一个对角矩阵
结
2m论 总结
1
关于矩阵AB和BA的特征值与特征向量的讨论
关于矩阵AB和BA的特征值与特征向量的讨论
福建农林大学 尤天革
一、特征值与特征向量的概念
1、特征值与特征向量定义:设V是数域F上的n维向量空间,?为其线性变换,A是?在基??i?下的方阵表示。若λ∈F及非零向量?∈V使
??=λ? 或Ax=λx
(x是?在基??i?下的坐标列),则称λ为?或A的特征值或特征根,?称为?的属于λ的特征
向量,x称为A的特征向量。
2、结论:设?是数域F上的线性变换,A是线性变换?在基?1,?2,…,?n下的矩阵,则线性
变换?与其对应的n阶矩阵A有相同的特征值,且n阶矩阵A的特征向量X是?的特征向量在基?1,?2,…,?n下的坐标。
特征值与特征向量是本书教学的一个中心,它是本书前面所学知识的一个应用,有关
特征值与特征向量的一些习题的证法或求法应当是前面所学的总结。下面举6个例子说明。
二、特征值与特征向量的几个例子
例1 试证:当n阶方阵A、B均为对称阵时,AB与BA有相同的特征值。
证明1:由特征多项式︱AB-λE︱=︱(AB??E)'︱=︱B'A'??E︱=︱BA-λE︱ 于是AB与BA有相同的特征多项式,从而它们有相同的特征值。 证明2:已证明过,方阵与它的转置方阵有相同的特征
关于矩阵AB和BA的特征值与特征向量的讨论
关于矩阵AB和BA的特征值与特征向量的讨论
福建农林大学 尤天革
一、特征值与特征向量的概念
1、特征值与特征向量定义:设V是数域F上的n维向量空间,?为其线性变换,A是?在基??i?下的方阵表示。若λ∈F及非零向量?∈V使
??=λ? 或Ax=λx
(x是?在基??i?下的坐标列),则称λ为?或A的特征值或特征根,?称为?的属于λ的特征
向量,x称为A的特征向量。
2、结论:设?是数域F上的线性变换,A是线性变换?在基?1,?2,…,?n下的矩阵,则线性
变换?与其对应的n阶矩阵A有相同的特征值,且n阶矩阵A的特征向量X是?的特征向量在基?1,?2,…,?n下的坐标。
特征值与特征向量是本书教学的一个中心,它是本书前面所学知识的一个应用,有关
特征值与特征向量的一些习题的证法或求法应当是前面所学的总结。下面举6个例子说明。
二、特征值与特征向量的几个例子
例1 试证:当n阶方阵A、B均为对称阵时,AB与BA有相同的特征值。
证明1:由特征多项式︱AB-λE︱=︱(AB??E)'︱=︱B'A'??E︱=︱BA-λE︱ 于是AB与BA有相同的特征多项式,从而它们有相同的特征值。 证明2:已证明过,方阵与它的转置方阵有相同的特征
特征值定义与求法-特征值性质-不同值特征向量无关定义
特别说明
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5.1_方阵的特征值与特征向量
第 五 章 相 似 矩 阵
第五章 相似矩阵§5.1 方阵的特征值与特征向量 §5.2 矩阵相似对角化 * §5.3 Jordan标准形介绍
§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 §5.1 方阵的特征值与特征向量 五 章 一、问题的引入 相 似 矩 阵二、基本概念 三、特征值与特征向量的求解方法 四、特征值的性质
五、特征向量的性质
§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 一、问题的引入 五 矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用, 章如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题,数学领域
相 似 矩 阵
中方阵的对角化、微分方程组的求解、线性方程组的迭
代法求解等问题都会用到该理论。
§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 一、问题的引入 五 引例 种群增长模型 (工业增长模型) 章 设 x 代表某种群 C 的数量, (某国的工业增长水平) 相 似 矩 阵y 代表某种群 D 的数量, (该国的环境污染程度)
初态为 ( x0 , y0 )T , x1 x0 2 y0 , y1 2 x0 y0 ,
一年后的状态为: x0 x1 1 2 x0