复变函数与积分变换修订版课后答案

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

习题 七

1.证明：如果f(t)满足傅里叶变换的条件，当f(t)为奇函数时，则有

f(t)?解:

a(?)???2π2???0f(t)?cos?tdt?21?π?2π?2π?10t?cos?tdt?22π???10?cos?tdt???0b(?)?sin?td?

2π?π2π?210t?cos?tdt?2?1010td(sin?t)2其中b(?)?当f(t)?????t?sin?t10

?0f?t??sin?tdt

?sin?t?2tdtf(t)为偶函数时，则有

???2sin?4??2π???2sin?π?2sin???42?10t?d(cos?t)10???0a(w)?cos?td?

2?t?cos?t????4cos???10cos?tdt???其中a(?)?证明： 因为f(t)?????0f(t)?cos?tdt

????2?4sin???3?sint,t?6π3.计算函数f(t)??的傅里叶变换. ?2π?1????G(?)ei?td?其中G(?)为f(t)

??0,t?6π解:

F的傅里叶变换

G(?)???????????f(t)e?i?tdt???????f?(?)?????

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复变函数与积分变换

（修订版）

主编：马柏林

（复旦大学出版社）

——课后习题答案

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习题一

1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数

π/43513

;;(2)(43);711i i e i i i i i -++++++.

①解i π

ππe cos isin 44-??

????=-+- ? ? ? ???????

②解： ()()()()35i 17i 35i 1613

i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-

③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13

35

=i i i 1i 222-+-+=-+

2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )

(z a a z a -∈+

); 33

311;;;.22n z i ??-+-- ????

① ：∵设z =x +iy

则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y

z a z a x y a x a y x a y -++-?

???+--+-????

===++

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（修订版）

主编：马柏林

（复旦大学出版社）

——课后习题答案

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习题一

1. 用复数的代数形式a+ib表示下列复数

e?iπ/4;3?5i137i?1;(2?i)(4?3i);i?1?i.

①解πe?4i?cos???π???isin??π??22?????2?4???4??i??2???2?2i ?22②解： 3?5i?3?5i??1?7i?16137i?1??1+7i??1?7i???25?25i

③解： ?2?i??4?3i??8?3?4i?6i?5?10i ④解：

13?1?i?35i?31?i=?i?2?2?2i

2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)

z?a33z?a(a?); z3;???1?i3??2??;???1?i3??2??;in. ①

：∵设z=x+iy

则z?a??x?iy??a??x?a??iy?????x?a??iy??y??a??x?a??iy?a?x?i?x?a??iy??z? ∴Re?x?a?2?y2?z?a?x

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习题一

1. 用复数的代数形式a+ib表示下列复数

e?iπ/4

?18?8?0i??1

??1?i3?Im??0． ???2??;3?5i7i?1;(2?i)(4?3i);1i?31?i.

∴Re????1?i3??1, ??2?? ①解e?π4i④解：

2?2?π??π??cos????isin????????22?4??4???22i???i?22?∵

3

②解：

3?5i7i?1??3?5i??1?7i??1+7i??1?7i???1625?1325i

??1?i3??????2????1?3?3???1???3??22??3???1????3??3?3?i??8

?18?8?0i??1

3??1, ???③解： ?2?i??4?3i??8?3?4i?6i?5?10i ④解：

1i?31?i=?i?3?1?i?2?32?52i

?1?i∴Re????2??1?i3?Im??0???2??．

2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)

????(a?); z;??1?i3?;??1?i3?;in. z?a?2

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习题 七

1.证明：如果f(t)满足傅里叶变换的条件，当f(t)为奇函数时，则有

f(t)?解:

a(?)???2π2???0f(t)?cos?tdt?21?π?2π?2π?10t?cos?tdt?22π???10?cos?tdt???0b(?)?sin?td?

2π?π2π?210t?cos?tdt?2?1010td(sin?t)2其中b(?)?当f(t)?????t?sin?t10

?0f?t??sin?tdt

?sin?t?2tdtf(t)为偶函数时，则有

???2sin?4??2π???2sin?π?2sin???42?10t?d(cos?t)10???0a(w)?cos?td?

2?t?cos?t????4cos???10cos?tdt???其中a(?)?证明： 因为f(t)?????0f(t)?cos?tdt

????2?4sin???3?sint,t?6π3.计算函数f(t)??的傅里叶变换. ?2π?1????G(?)ei?td?其中G(?)为f(t)

??0,t?6π解:

F的傅里叶变换

G(?)???????????f(t)e?i?tdt???????f?(?)?????

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习题一

1. 用复数的代数形式a+ib表示下列复数

e?iπ/4

?18?8?0i??1

??1?i3?Im??0． ???2??;3?5i7i?1;(2?i)(4?3i);1i?31?i.

∴Re????1?i3??1, ??2?? ①解e?π4i④解：

2?2?π??π??cos????isin????????22?4??4???22i???i?22?∵

3

②解：

3?5i7i?1??3?5i??1?7i??1+7i??1?7i???1625?1325i

??1?i3??????2????1?3?3???1???3??22??3???1????3??3?3?i??8

?18?8?0i??1

3??1, ???③解： ?2?i??4?3i??8?3?4i?6i?5?10i ④解：

1i?31?i=?i?3?1?i?2?32?52i

?1?i∴Re????2??1?i3?Im??0???2??．

2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)

????(a?); z;??1?i3?;??1?i3?;in. z?a?2

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习题 七

1.证明：如果f(t)满足傅里叶变换的条件，当f(t)为奇函数时，则有

f(t)?解:

a(?)???2π2???0f(t)?cos?tdt?21?π?2π?2π?10t?cos?tdt?22π???10?cos?tdt???0b(?)?sin?td?

2π?π2π?210t?cos?tdt?2?1010td(sin?t)2其中b(?)?当f(t)?????t?sin?t10

?0f?t??sin?tdt

?sin?t?2tdtf(t)为偶函数时，则有

???2sin?4??2π???2sin?π?2sin???42?10t?d(cos?t)10???0a(w)?cos?td?

2?t?cos?t????4cos???10cos?tdt???其中a(?)?证明： 因为f(t)?????0f(t)?cos?tdt

????2?4sin???3?sint,t?6π3.计算函数f(t)??的傅里叶变换. ?2π?1????G(?)ei?td?其中G(?)为f(t)

??0,t?6π解:

F的傅里叶变换

G(?)???????????f(t)e?i?tdt???????f?(?)?????

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主编：马柏林

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（复旦大学出

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习题一

1. 用复数的代数形式a+ib表示下列复数

e?iπ/4z??x?iy???x?iy??x?x?y232332?x?iy???x2?y?2xyi??x?iy?2??2xy22222??y?x?y??2xy?i??3?x?3xy??3xy?y2?i3

∴

Im?z3Re?z??x3?3xy2,

??3x2y?y3．

;3?5i7i?1;(2?i)(4?3i);1i?31?i.

③解： ∵

?1?i3??1?i3??????28??3 ①解e?π4i??3?1??1?3???1???8???3?22???3???1??????3??3?3????

2?2?π??π??cos????isin????????22?4??4???22i???i?22?

?18?8?0i??1

??3??1?

重庆大学《复变函数与积分变换》（理工班）课程试卷 第 1 页 共 5 页

重庆大学 复变函数与积分变换（理工班） 课程试卷

s26．函数f(s)?2的拉氏逆变换L?1[f(s)]? 【 】

s?1A．?(t)?cost B．?(t)?cost

2009 ~2010学年 第 1 学期

课程号命题人： 名姓 密 弊号学作 绝 拒 、 纪 考 肃 严 级、年信 守 实封 诚 、 争 竞 平班、公业专 线 院学开课学院： 数理学院 ：10020930

考试日期： 201001

考试方式：

考试时间： 120 分钟 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得 分

一、单项选择题(每小题2分，共16分)

1．设z为复数，则方程z?z?2?i的解是 【 】 A．?34?i

复变函数与积分变换解

读

Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

复变函数与积分变换

课程名称：复变函数与积分变换

英文译名：Complex Function and Integral Transformation

课程编码：070102B06

适用专业：信息与计算科学

课程类别：专业必修

学时数：48 学分：3

编写执笔人：韩仲明审定人：刘晓华

编写日期：2005年4月

一、本课程的内容、目的和任务：

复变函数与积分变换是高等师范院校数学专业的基础课程之一，是数学分析的后续课程，其任务是使学生获得复变函数与积分变换的基本理论与方法。它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，其方法是自动控制、自动化、信号处理的常用方法之一，本课程主要讨论复变函数和积分变换。内容主要包括：复数运算，解析函数，初等函数，复变函数积分理论，级数展开及留数理论，保形映射，拉普拉斯变换，富里叶变换。复变函数与积分变换是微积分学在复数域上的推广和发展，通过本课程的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。复变函数与积分变换在联系和指导中