线性系统能控性判据

线性系统的能控性判据分析

摘要：能控性是线性系统的一个基本结构特征，它的出现对于系统控制和系统估计问题的研究具有重要意义。本文主要讨论线性系统的能控性判据。其中，能控性的判据分析有很多种方法，最常用的及时约旦标准型方法。

一：问题的提出

设计一个线性系统，我们总是希望所施加的控制u(t)能完全控制系统的运动状态，而不希望出现失控现象。因此，判断一个系统能控性问题就显得尤为重要。能控性是从状态的控制能力方面来揭示了控制系统的一个基本属性。现代控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性为存在条件的。 1. 能控性定义 能控性的直观讨论

从状态空间的角度进行讨论：输入和输出构成系统外部变量,状态为系统内部变量。能控性主要看其状态是否可由输入影响。每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,由任意的始点到达原点,为能控,反之为不完全能控。具体来说就是指外加控制作用u(t) 对受控系统的状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。 二：问题的解决

我们利用线性系统的能控性判据来判断其能控性。

设线性定常系统状态方程为：

??Ax?Bu,xx为n维状态向量x(0)?x0,t?

用约当规范形判别线性系统的能控性

赛耀樟

控制科学与工程学院 检测技术与自动化装置 2009010189

摘要：

60年代初期卡尔曼提出了能控性和能观测性概念。能控性和能观测性分别是从状态的控制能力和状态的测辨能力两个方面揭示了控制系统的两个基本属性。现代控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性和能观测性为存在条件的。

一 能控性约当规范形判据内容

线性定常系统的能控性约当规范形判据

??Ax?Bu,xx(0)?x0,t?0(3) 线性定常系统状态方程

x为n维状态向量,u为p维输入向量,A,B为n?n,n?p常阵.

??1? （1）当矩阵A的特征值两两互质时 ?? ?2?x?Bu???x ?????

?n??

中,B不包含元素全为零的行.

(2)当矩阵A的特征值为?1(?1重),?2(?2重),?,?l(?l重),

且?1??2?????n时,由?3?导出的约当规范形 ??x?u??A??Bx

???B?J1? 1?????J2 ??????B2??其中:AB n?nn?p?????????? ?J?l?,??Bl??

第三章 线性系统的能控性和能观测性3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 线性系统能控性和能观测性的概念 线性定常连续系统的能控性 线性离散系统的能控性 线性定常系统的输出能控性 线性定常连续系统的能观测性 线性定常离散系统的能观测性 对偶原理 能控性和能观测性与传递函数的关系 线性定常系统结构分解 最小实现

教学要求： 1.正确理解定常和离散系统可控性与可观测 性的基本概念与判据。 2.熟练掌握能控标准型与能观测标准型。 3.掌握对偶原理，规范分解方法。 4.理解传递函数的实现问题， 重点内容： 能控、能观测的含义和定义。 定常系统的能控、能观测的各种判据。 线性变换的不变性。 实现与最小实现的特点和性质。2

3.1

线性系统能(可)控性和能(可)观测性的概念 研究系统的目的:更好地了解系统和控制系统。 含义1: 控制作用: 对状态变量的支配 能控性。 系统输出能否反映状态变量 能观测性。 含义2: 能控性:能否找到使任意初态 确定终态。 能观测性:能否由输出量的测量值 反映各状 态。

多变系统两个基本问题: ① 在有限时间内,控制作用能否使系统从初始 状态转移到要求的状态? ② 在有限时

韶 关 学 院

学 生 实 验 报 告 册

实验课程名称：现代控制理论 实验项目名称：能控能观判据及稳定性判据

实验类型（打√）：（基础 、综合 、设计 ）

院系： 物理与机电工程学院 专业班级： 08自动化（1）班 姓名 李世文 学号： 08101101027 指导老师： 宁宇

韶关学院教务处编制

一、实验预习报告内容

预习日期： 年 月 日 实验预习报告内容原则上应包含实验目的、实验所用主要仪器药品、实验原理与公式、 实验预习疑问等项目。 [实验目的] 1、利用MATLAB分析线性定常及离散系统的可控性与可观性。 2、利用MATLAB进行线性定常及离散系统的李雅普诺夫稳定性判据。 [实验原理] ①设系统的状态空间表达式 ??Ax?Bu?x??y?Cx?Dx?Rnu?Rmy?Rp （3.1） 系统的能控分析是多变量系统设计的基础，包括能控性的定义和能控性的判别。 系统状态能控性的

Cahn Hilliard的论文

Free Energy of a Nonuniform System. I. Interfacial Free EnergyJohn W. Cahn and John E. Hilliard Citation: The Journal of Chemical Physics 28, 258 (1958); doi: 10.1063/1.1744102 View online: /10.1063/1.1744102 View Table of Contents: /content/aip/journal/jcp/28/2?ver=pdfcov Published by the AIP Publishing Articles you may be interested in Lennard-Jones systems near solid walls: Computing interfacial free energies from molecular simulation methods J. Chem. Phys. 139, 084705 (2013); 10.1063/1.4819061 Bcc crysta

线性系统的可控性和可观性

摘要：线性系统的可控性和可控性是线性系统最基本的概念。本文从这个基本概念着手，介绍了线性系统的可控标准形和可观标准形，并且对系统可控性和可观性的判据做了详细的介绍。本文的研究有利于对线性系统可控性和可观性的知识体系有一个比较好的了解，对进一步学习现代控制理论提供一个扎实的基础，同时通过对相关知识的归纳总结，为以后的学习研究提供了一个好的方法。通过对其中大量高等数学的学习与应用，可以提高应用高等数学解决相关问题的意识与能力。 关键词:线性系统；可控性；可观性

Linear system controllability and observability

Hou Shibo Liu Yingrui Wang linlin Lin Huan

Abstact: Controllability of linear systems and control is the most basic concepts of linear systems. This paper started from this basic concept, introduced the form of linear system controll

现代控制理论的讲义,从介绍现代控制理论的基础出发,详细介绍控制理论中的常用方法。最后有控制理论的习题和解决问题的专题讨论

第三章 线性控制系统 的能控性与能观性

现代控制理论的讲义,从介绍现代控制理论的基础出发,详细介绍控制理论中的常用方法。最后有控制理论的习题和解决问题的专题讨论

例

分析下列系统的能观测性y (t ) 0 4 5 x (t )

7 x (t ) x ( t ) 5 ( 1) 1 7 x (t ) x ( t ) 5 ( 2) 1

3 2 0 y (t ) x (t ) 0 3 1

现代控制理论的讲义,从介绍现代控制理论的基础出发,详细介绍控制理论中的常用方法。最后有控制理论的习题和解决问题的专题讨论

( 3) 3 1 0 0 3 1 (t ) 0 0 3 x (t ) x 2 1 0 2 2 1 0 2 x (t ) (t ) ( 4) x 3 3 0 3

1 1 1 1 0 y (

三、 多输入多输出系统的标准形

旺纳姆（Wonham）标准形和龙伯格（Luenberger）标准形。 1.多输入多输出系统的能控标准形

考虑线性定常系统

Σ:??Ax?Buxy?Cx

x为n维状态向量，u为p输入向量，y为q维输出向量

如果系统能控，则系统的能控性矩阵的秩为n，即Q中有n个线性无关列。

cQc?[b1b2?bp?Ab1Ab2?Abp???An?1b1An?1b2?An?1bp]

对多输入系统，p?1，Qc中有np列，所以，在Qc中可以找出很多种n个线性无关列的情况。这里介绍两种寻找

n个线

性无关列的方法，以构成状态变换阵，将状态空间描述形式变换为旺纳姆能控标准形和龙伯格能控标准形。

定理 [旺纳姆能控标准形]对完全能控的线性定常系统，存在线性非奇异变换

?1x?Px?Qx

使状态空间表达式转化为旺纳姆能控标准形

ΣcW:式中

??Ax?Buxccy?Ccx

?A11?0Ac?Q?1AQ??????0?

A12?A22

第三章 广义系统的能控性和能观性

能控性和能观性是从控制和观测角度表征系统结构的两个基本特性。自卡尔罗(R.E.Kalman)

在20世纪60时代初，引入这两个概念以来，已经证明了他们对于系统控制和系统估计问题的研究具有基本的重要性。在正常系统中，能控性问题是研究系统的内部状态能否由控制输入

完全影响的问题，而能观性问题是研究系统的输入和输出是否完全反映系统状态的问题。

本章将正常系统中的能控性和能观性概念推广到广义系统，较为系统地讨论广义系统的能控性和能观性的基本概念和基本属性，主要包括能达、能控和能观的定义、判据及规范型，系统的结构分解以及实现问题。如同在正常系统中一样，它们刻画了广义系统的结构性质，并因此构成了广义系统设计的理论基础。

3.1 能达性

在状态空间方法中，一个系统的状态向量完全刻画了系统的运动，因而简单地说，要掌握系统的运动规律，只要把握其所有状态就可以了。

一个状态能达性：对连续时间线性时变系统 x?A(t)x?B(t)u,t?J和指定初始时刻

t0?J，如果存在一个时刻,以t1?J,t1?t0及一个无约束的容许控制u(t),t?[t0,t1],使系统状态由x(t0)?0转移到x(t1)?xf，则称非零状态xf在时刻t0为

实验八 线性系统串联校正

一、实验目的

1．熟练掌握用MATLAB语句绘制频域曲线。 2．掌握控制系统频域范围内的分析校正方法。 3．掌握用频率特性法进行串联校正设计的思路和步骤。 二、基础知识

控制系统设计的思路之一就是在原系统特性的基础上，对原特性加以校正，使之达到要求的性能指标。最常用的经典校正方法有根轨迹法和频域法。而常用的串联校正装置有超前校正、滞后校正和超前滞后校正装置。本实验主要讨论在MATLAB环境下进行串联校正设计。

1．基于频率法的串联超前校正

超前校正装置的主要作用是通过其相位超前效应来改变频率响应曲线的形状，产生足够大的相位超前角，以补偿原来系统中元件造成的过大的相位滞后。因此校正时应使校正装置的最大超前相位角出现在校正后系统的开环截止频率

?c处。

例5-1：单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?K，试确定串联校正装

s(s?1)置的特性，使系统满足在斜坡函数作用下系统的稳态误差小于0.1，相角裕度

r?450。

解：根据系统静态精度的要求，选择开环增益

1s2k1?s(s?1)ess?LimsE(s)?Lims?s?0s?0?0.1?K?10

取K?12，求原系统的相角裕度。 >>num0=12; den0=[2,