常微分方程解题方法钱祥征

北京理工大学

微积分-常微分方程解法

常微分方程各种解题方法

程功 2011/2/16

1.几个基本定义

（1）微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.

实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.

分类1: 常微分方程： 未知函数为一元函数 偏微分方程： 未知函数为多元函数

分类2:

微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之. 一阶微分方程F(x,y,y?)?0,y??f(x,y);

高阶?n?微分方程F(x,y,y?,?,y(n))?0,y(n)?f(x,y,y?,?,y(n?1)).

分类3: 线性与非线性微分方程.y??P(x)y?Q(x),x(y?)2?2yy??x?0;

?dy?3y?2z,??dx分类4: 单个微分方程与微分方程组.?

?dz?2y?z,??dx（2）微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.

微分方程的解的分类：

① 通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.

例y??y,通解y?Cex;

y???y?0,通解y?C1sinx?C2cosx;

② 特解: 确定了通解中任意常数以后的解. （

常微分方程中常用的解题方法

1、变量分离法，一阶常微分方程求解有两个重要的方法：一是变量分离方法，

二是全微分方程及积分因子的方法。其中前者是通过适当的变形及变换，将自变量、自变量的微分和因变量的微分分别置于方程的两端，然后分别进行积分即可得方程的通解后者则是寻求适当的积分因子，将方程化为通解的恰当方程，进一

d步得通解。如求方程

的通解。 ddyy=0是解，若y?0，分离变量，得所以原方程通解

(c?R) ?，两端分别积分，得ln|y|=x^2+c。y2、积分因子的方法 ，形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 的一阶微分方程，因为其

dy中X和Y的地位对等性，所以较之于一阶微分方程的常见形式

?dx ??更具有一般性。若该方程中有

? 则存在u(x,y)，使得 ?du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy，此时，该方程称为恰当微分方程，其通解为u(x,y) =c。

当然大部分的方程并不是恰当微分方程，但是我们可以寻求与其通解的恰当微分方程，即可以寻求积分因子?(x,y) ，使得通解方程?M(x,y)dx+?N(x,y)dy=0为恰当方程。积分因子的方法为求解一般的一阶微分方程提供了一种全新的思路。例

?m?y??如求解ydx+(y-x)d

第二章 微分方程方法

在应用数学方法解决实际问题的过程中，很多时候，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，在这种情况下，就需要我们建立微分方程模型来研究。事实上，微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在物理、工程技术、经济管理、军事、社会、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用.下面我们就介绍如何应用微分方程模型来解决实际问题.

利用微分方程解决的问题通常可以分为两类：一类问题要求把未知变量直接表示为已知量的函数，这时，有些问题可以求出未知函数的解析表达式，在很多情况下只能利用数值解法；另一类问题只要求知道未知函数的某些性质，或它的变化趋势，这时可以直接根据微分方程定性理论来研究.

2.1 微分方程的一般理论

2.1.1微分方程简介

所谓微分方程就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程?若未知函数是一元函数的微分方程? 叫常微分方程?而未知函数是多元函数的微分方程? 叫偏微分方程? 例如

y?4??4y'''?10y''?12y'?5y?sin2x （2.1.1） x2y''?12xy'?5y?0 (y')2?xy?0

同济大学五版高等数学学习资料

第六章 常微分方程

一． 求解下列微分方程： 1. y' ex y

+ex=0.

解.

dydx=ex(e y 1), dye y 1

=exdx ln1 ey

=ex, 1 ey=cee xc

y=ln(1 ce

e x

).

2. dy dx

=(1 y2

)tanx

y(0)=2

解.

dy

1 y

2

=tanxdx

11+12lncy1 y= lncosx, y(0) = 2, 2lnc1+21 2=0, ln

1+y13+cos2x

3(1 y)=lncos2x, y=3 cos2x

二. 求解下列微分方程：

1. x x

1+ey 1 x

dx+ey

y dy=0 xey

x

1 解. dx y dy

=x

. 1+ey

令

x

y

=u,x=yu.(将y看成自变量) dxdy=u+ydudy

, 所以 u+ydudy=eu(u 1)

1+eu duueu euudy1+eu u= +eu

y=1+eu

c= 1

3

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u+eu 1dyd(u+eu)dy1+eu

ln= ln=ln= , = , ydu c yu+euyyu+eu

x

cc1u+euy

常 微 分 方 程

试卷（一至十） 试 卷（一）

一、填空题（3′×10＝30′）

1、以y1＝e2x，y2=exsinx，y3=excosx为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程是 。

2、微分方程4x3y3dx+3x4y2dy=0的通积分是 。 3、柯西问题

dy?x，y（0）=1的解是 。 dx4、方程ydx-xdy=0的积分因子可取 。

5、证明初值问题的毕卡定理所构造的毕卡序列是 。 6、微分方程F(x，y，p)=0若有奇解y=? (x)，则y=? (x) 满足的P-判别式是 。 7、线性微分方程组

dY，Y2（x）…，Yn（x）?A(x)Y的解组Y1（x）

dx在某区间上线性无头的充分必要条件是 。 8、设A＝

1 0 1 0 0 -1 0 0 2 ，则矩阵指数函数exA＝ 。

9、方程y???y??y?0的通解是 。

10、由方程y????3ay???3ay??y?0的通解是 。 二、解下列各方程（7′×4＝28） 1、求方程

dyx?y?1?的通解： dxx?y?32、 (1+x2)y

南京理工大学《常微分方程》期末试卷

姓名 共 ----- 页

学号 南京理工大学 专业应用数学、统计 使用教材 （通编、讲义、自编） 修读性质 初修 、 重期末考试分数占总分数的百分比 % 考试方法 （闭、开）卷 考试时间 判卷人 讲授总学时 学分 教研室主任 密封线题人 题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 核分人 一． 求下列一阶微分方程的通解：（28分）

1．

dy?1?x?y2?xy2 dx

2. (x3?xy2)dx?(x2y?y3)dy?0dy?dy?3. ???x?y?0

dx?dx?dyyy2??2 4．

dxxx二. 设连续函数f(x)满足：三. 利用逐次逼近法求方程

2?x0（10分） f(t)dt?x??tf(x?t)dt，求函数f(x)。

0xdy?y2?x2满足初值条件y(0)?1的近似解： dx（8分） ?0(x),?1(x

第八章

常微分方程数值解法

摘要：对显式Euler方法来说,当解二阶连续可导时,其局部...(3.10)有解但解不唯一.不论如何选择这八个参数,不可能...算法8.1 经典Runge-Kutta方法本算法用经典Runge-... 关键词：导,论,算法 类别：专题技术

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常微分方程数值解法

教学目的 1. 掌握解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法；2. 掌握解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；3. 了解单步法的收敛性、相容性与稳定性；多步法的稳定性。

教学重点及难点 重点是解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法和解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；难点是理

常微分期终考试试卷(1)

一、 填空题（30%）

1、方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有只含x的积分因子的充要条件是（ ）。有只含y的积分因子的充要条件是______________。 ２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。 ３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。 ４、若X1(t),X2(t),?,Xn(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。 ５、形如___________________的方程称为欧拉方程。

６、若?(t)和?(t)都是x'?A(t)x的基解矩阵，则?(t)和?(t)具有的关系是_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（６０％） 1、ydx?(x?y3)dy?0 ２、x???x?sint?cos2t

??1??21??３、若A??试求方程组x?Ax的解?(t),?(0)?????并求??

1.求下列方程的通解。

dydx?4ey?ysinx?1.

解：方程可化为

dedx??e?4sinx?1

y 令z?ey，得

dzdx??z?4sinx

由一阶线性方程的求解公式，得 z?e?(?1)dx(?4sinxe??(?1)dx)dx?c?e?x?2(sinx?cosx)?e?c?2(sinx?cosx)?cex?x所以原方程为：ey＝2(sinx?cosx)?ce?x

2.求下列方程的通解。

dy2?2?y?1?()??1.

dx??解：设

dydx?p?sint，则有y?sect， 1?sectdt?c?从而x??sinttgt?sec2tdt?t?tgt?c ，

故方程的解为(x?c)2?1?y2， 另外y??1也是方程的解 .

3.求方程

解：?0(x)?0 ?1(x)? ?2(x)? ?3(x)??dydx?x?y通过(0,0)的第三次近似解.

2?x0xxdx?(x?1412x

42?0x)dx?12x?2120x

x5?x012152??x?(x?x)?dx??220??x?2?014117??10x?x?x?x?dx ?440020??x

812120x?514

常微分方程 小论文 关于一类方程系数与解的研究

课 程 小 论 文

论文名称： 关于y'' ay' b 0的系数与解的研究

所属课程: 常 微 分 方 程

授课教师: **********

学院(系): **********

姓 名: ******** 学号: **********

姓 名: ******** 学号: **********

姓 名: ******** 学号: **********

2010年1月

常微分方程 小论文 关于一类方程系数与解的研究

[摘要]

本文就关于方程y'' ay' b 0的解的相关性质与其系数的关系进行了研究，选取了4道例题作为相关题型的代表。

[正文]

关于y'' ay' b 0的系数与解的研究

方程y'' ay' b 0是在解高阶线性微分方程中经常遇到的一类方程，而关于其系数与解的题型也非常多。本文独辟蹊径，并不是给定系数，去计算其解的性质，而是针对各种对解的要求，来计算其系数。从这种观点来思考问题或许会对今后解这类题型有所帮助。

[例１]当a和b取何值时，方程y'' ay' b 0的所有解在整条数轴 x 上是有界

的？

a[解] 首先求出特征方程 b

0的根。有