数列求和的应用

数列求和及综合应用

解答题

1. (2014·湖北高考文科·T19)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式.

(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由. 【解题指南】(1)由2,2+d,2+4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列{an}的通项. (2)根据{an}的通项公式表示出{an}的前n项和公式Sn,令Sn>60n+800,解此不等式. 【解析】(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)=2(2+4d),

2

化简得d-4d=0,

2

解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2;

当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,

从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2. (2)当an=2时,Sn=2n. 显然2n<60n+800,

此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立. 当an=4n-2时,Sn=

2

n[2?(4n?2)]2

=2n.

22

令2n>60n+800,即n-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去),

此时存在正整数n,使得Sn>60

数列求和及综合应用

解答题

1. (2014·湖北高考文科·T19)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式.

(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由. 【解题指南】(1)由2,2+d,2+4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列{an}的通项. (2)根据{an}的通项公式表示出{an}的前n项和公式Sn,令Sn>60n+800,解此不等式. 【解析】(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)=2(2+4d),

2

化简得d-4d=0,

2

解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2;

当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,

从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2. (2)当an=2时,Sn=2n. 显然2n<60n+800,

此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立. 当an=4n-2时,Sn=

2

n[2?(4n?2)]2

=2n.

22

令2n>60n+800,即n-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去),

此时存在正整数n,使得Sn>60

数列求和及其综合应用

1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n－1)

2. 数列是特殊的函数，这部分内容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握．

－

1、 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n1·(3n－2)，则a1＋a2＋?＋a10＝________.

An7n＋5a72.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则＝________

Bnn＋3b7

a2n＋1

3.若数列{an}满足2＝p(p为正常数，n∈N*)，则称{an}为“等方比数列”．则“数列{an}

an是等方比数列”是“数列{an}是等比数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)

4.已知函数

数列及其数列求和

数

学

数列及其数列求和

专题1：数列及其数列求和

解读考纲

（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．

（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的问题．

重点、考点精读与点拨

一、基本知识

1．定义：

(1) .数列：按一定次序排序的一列数

(2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列

(3) 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一

个常数，则这个数列叫做等比数列

2． 通项公式与前n项和公式

{an}为等差数列： an a1 (n 1)d

{bn}为等比数列：

Sn na1

n(a1 an)n(n 1)d 22

bn b1q

n 1

(q 1)

a1(1 qn)a1 anq

（q 1) Sn

1 q1 q

3． 常用性质

{an}为等差数列，则有

数列及其数列求和

（1） 从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，an （2） an am (n m)d

an 1 an 1

（n

二项式定理在数列求和中的应用

【摘要】 本文利用二项式定理和杨辉三角的内在联系，结合组合不等式，推导出形如

an?na(a?2,3,4)的前n项和的公式,并给出求更高次求和公式的一般方法。

【关键词】 二项式定理 组合数 方程的根 系数 一， 二项式定理和杨辉三角介绍：

0n01n?112n?221,二项式定理： (a?b)n?Cnab?Cnab?Cnab?rn?rr?Cnab?n0nCnab

其中Cn叫做二项式系数。 2,杨辉三角：

r 二，

重要组合恒等式:

r?1rr（1）,Cn?1?Cn?1?Cn

证明：

r?1rCn?1?Cn?1?(n?1)!(n?1)!?(r?1)!(n?r)!r!(n?1?r)!

=

(n?1)!n!r[r?(n?r)]??Cn（证 毕）

r!(n?r)!r!(n?r)!rr?1?Cn?C?1n(n?r)

rrr （2），Cr?Cr?1?Cr?2?证明（数学归纳法）：

r?1当n?r?1时 上式 左边=1 右边是Cr?1?1，所以是正确的。 rrr假设上式对n?k(k?r)正确 即Cr?Cr?1?Cr?2?rrr那么就有Cr?Cr?1?Cr?2??Ckr?1?Ckr?1

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［中国高考数学母题］(第141号)

数列求和的性质与求和技巧

求数列｛a n｝的通项a n和前n项和S n,是研究数列的两大主题，课标全国卷数列试题具有浓郁的数列求和“情结”；其中, 数列求和的性质与两个求和技巧，值得关注.

［母题结构］：(I )(求和性质)若数列gn｝,｛b n｝的前n项和分别为S n,T n,则数列g n+tb n｝的前n项和=kS n+tT n；

(II )(并项求和)若数列｛a n｝的a n中含(-1) n,令bn=a2n-l+a2n,并求数列｛b n｝的前n项和T n,然后由Sn=T n,S 2n-1=T n￡ 2n求S^g；

(山)(分段求和)若数列｛a n｝:a n=f(n)(n < m),a n=g(n)(n>m),则：①当n w m时,S n 由a“=f(n)求出；②当n>m时，先由a“=f(n) 求S m 再由a n=g(n)求S-S M然后由S=S+(S n-Sj,求S n.

［母题解析］:略.

1.求和性质

子题类型I :(2016年北京高考试题)已知｛a n｝是等差数列,｛b n｝是等比数列，且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.

(I )求｛a n｝的通项公式；(I )设C n=a n+b n,求数

二项式定理在数列求和中的应用

【摘要】 本文利用二项式定理和杨辉三角的内在联系，结合组合不等式，推导出形如

an?na(a?2,3,4)的前n项和的公式,并给出求更高次求和公式的一般方法。

【关键词】 二项式定理 组合数 方程的根 系数 一， 二项式定理和杨辉三角介绍：

0n01n?112n?221,二项式定理： (a?b)n?Cnab?Cnab?Cnab?rn?rr?Cnab?n0nCnab

r其中Cn叫做二项式系数。

2,杨辉三角：

二，

重要组合恒等式:

r?1rr（1）,Cn?1?Cn?1?Cn

证明：

r?1rCn?1?Cn?1?(n?1)!(n?1)!?(r?1)!(n?r)!r!(n?1?r)!

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（2），Cr?Cr?1?Cr?2?证明（数学归纳法）：

rr?1当n?r?1时 上式 左边=1 右边是Crr?1?1，所以是正确的。

假设上式对n?k(k?r)正确 即Crr?Crr?1?Crr?2?那么就有Crr?Crr?1?Crr?2??Ckr?1?Ckr?1

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教学设计

《数列求和》教学设计

四川省金堂中学校 杨 聪

【课例解析】

1、 教材的地位和作用

本节课是人教A版《数学（必修5）》第2章数列学完基础知识后的一节针对数列求和方法的解题课。通过本节课的教学让学生感受倒序相加、裂项相消、错位相减等求和法在数列求和中的魅力，并把培养学生的建构意识和合作、探究意识作为教学目标。

2、 学情分析

在此之前，学生学习了数列的一般概念，又对等差、等比数列从定义、通项、性质、求和等方面进行了深入的研究。在研究过程中，数列求和问题重点学习了通过转化为等差、等比数列求和的方法，在推导等差、等比数列求和公式时分别用到了倒序相加法、错位相减法，本节课在此基础上进一步对上述数列求和方法做深入的研究、应用。本节课的内容和方法正处于学生的认知水平和知识结构的最近发展区，学生能较好地完成本节课的教学任务。

【方法阐释】

本节课的教学采用 “学力课堂”模式，分为“自学、互学、展学、导学、练学”五个教学环节，五个环节并不是简单的顺次递进，而是有机的相互融合。

本节课从学生回顾等差数列、等比数列求和公式推导过程中用到的倒序相加、错位相减求和法引入，从自主探究题组及问题探究入手展开教学，引导学生自主发现几种常见求和法，并很快进入深层次思维状态。接下

二项式定理在数列求和中的应用

【摘要】 本文利用二项式定理和杨辉三角的内在联系，结合组合不等式，推导出形如

an?na(a?2,3,4)的前n项和的公式,并给出求更高次求和公式的一般方法。

【关键词】 二项式定理 组合数 方程的根 系数 一， 二项式定理和杨辉三角介绍：

0n01n?112n?221,二项式定理： (a?b)n?Cnab?Cnab?Cnab?rn?rr?Cnab?n0nCnab

r其中Cn叫做二项式系数。

2,杨辉三角：

二，

重要组合恒等式:

r?1rr（1）,Cn?1?Cn?1?Cn

证明：

r?1rCn?1?Cn?1?(n?1)!(n?1)!?(r?1)!(n?r)!r!(n?1?r)!

=

(n?1)!n!r[r?(n?r)]??Cn（证 毕）

r!(n?r)!r!(n?r)!rrr?1?Cn?1?Cn(n?r)

（2），Cr?Cr?1?Cr?2?证明（数学归纳法）：

rr?1当n?r?1时 上式 左边=1 右边是Crr?1?1，所以是正确的。

假设上式对n?k(k?r)正确 即Crr?Crr?1?Crr?2?那么就有Crr?Crr?1?Crr?2??Ckr?1?Ckr?1

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二项式定理在数列求和中的应用

【摘要】 本文利用二项式定理和杨辉三角的内在联系，结合组合不等式，推导出形如

an?na(a?2,3,4)的前n项和的公式,并给出求更高次求和公式的一般方法。

【关键词】 二项式定理 组合数 方程的根 系数 一， 二项式定理和杨辉三角介绍：

0n01n?112n?22rn?rrn0n1,二项式定理： (a?b)n?Cnab?Cnab?Cnab???Cnab??Cnab

r其中Cn叫做二项式系数。

2,杨辉三角：

二，

重要组合恒等式:

r?1rr（1）,Cn?1?Cn?1?Cn

证明：

r?1rCn?1?Cn?1?(n?1)!(n?1)!?(r?1)!(n?r)!r!(n?1?r)!

=

(n?1)!n!r[r?(n?r)]??Cn（证 毕）

r!(n?r)!r!(n?r)!rr?1 （2），Crr?Crr?1?Crr?2???Cn?1?Cn(n?r)

证明（数学归纳法）：

?1当n?r?1时 上式 左边=1 右边是Crr?1?1，所以是正确的。 rr?1假设上式对n?k(k?r)正确 即Crr?Crr?1?Crr?2???Ck?C?1k

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