高三解题达人答案数学

水木艾迪考研辅导教学与命题研究中心

清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 葛余博 谭泽光

数学(三)试题答案与解题分析

一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分，把答案填在题中横线上）

（ 1 ）设 f ?x? 在 ??? ? ,? ? 内可导，当 x ? 0 时， f ?x? ? 0 ，已知 f ?0? ? 0 ，

f ??0? ? 2 ，则

1 f ?x?ln ?1? x ? ? ? lim 1 ?? 2x?? 0

? ?1

。

?

【解】由标准极限

f x ? ?lim 1 ??? 1 x??0 2

? ? 1 ?ln 1 ? ? x??

?

2 ?f ???1 ? ( x ) ? ?? lim 1 ??? f x????x??0 2 ?? ??

?

? ??1 ??f ? x ?? 2 ln ?1? x ? ，

根据复合极限定理，只需求极限

?? f ( x) 1 f ( x) ? ?? limlimx ??0 2 0 ln(1 ? x) 2 x ??x

由于 f 到

? ,? ?内可导，所以由导数定义得?x ?在???

1

??1 f ( x) 11 ln 1 ? x

基于数学解题变式的高三教学主张

江志杰

【专题名称】高中数学教与学 【专 题 号】G312 【复印期号】2013年06期

【原文出处】《中学数学教学》(合肥)2013年1期第54～58页 【作者简介】江志杰，福建省惠安第三中学（362100）.

【编 者 按】新课改实施以来，新的教学模式、教学方法层出不穷，在我们关注新教法的同时，也不应忘记那些“传统”而有效的教学方式.变式教学是我国双基教学的一个重要特征，有的学者认为变式教学是“促进有效的数学学习的中国方式”，因此，我们有必要继承和发扬这种有特色的数学教学方法.本期专题文章就如何设计变式、开展变式教学的时机等问题展开探讨，着重介绍如何在复习课中运用变式教学，希望能对教师朋友们的教学实践工作有所助益.

一、高三数学解题教学现状

当前我们的高三数学课堂常存在着这种现象：老师讲解多，学生思考少；一问一答多，研讨交流少；操练记忆多，鼓励创新少；强求一致多，发展个性少；照本宣科多，探究活动少；应付任务多，精神乐趣少等.高三数学教学离不开以解题训练来加深和巩固已获知识，但怎样的问题训练可以既帮助学生提高数学素质和思维能力，而又不重蹈“题海”呢？关键是我们教师要引领学生学会变式.通过对适

高三历史文史常识加解题方法

谥号是帝王、诸侯与大臣等具有一定地位的人死去之后，朝廷根据他们的生平事迹与品德修养，所给予的带有褒贬性质的称号。帝王将相之谥在西周时已出现，秦时曾一度废除，汉代恢复，直至清末。表褒的称号有文、景、武、明、穆等，如晋文公、秦穆公、汉武帝；表贬的称号有灵、厉、炀、哀等，如周厉王、隋炀帝。后世帝王谥号多用一字，如汉武帝（武，威强睿德曰武）、隋炀帝（炀，好内远礼曰炀）；其余人（非帝王者）大多用两字，如文忠公（文忠，欧阳修）、忠烈公（忠烈，史可法）等。 庙号是封建帝王死后，在太庙立室奉祀，特立名号，叫庙号。庙号始于西汉，止于清朝。开国皇帝一般被称为“祖”，如汉高祖、唐高祖、宋太祖、明太祖等；开国皇帝之后的嗣君一般称为“宗”，如唐太宗、宋太宗、明神宗等。 年号是中国古代封建皇帝用以纪年的名号。从汉武帝开始有年号，新君即位必须改变年号，称为改元。同一皇帝在位时也可以改元。有的皇帝只有一个年号，如唐太宗年号“贞观”、明太祖年号“洪武”、明成祖年号“永乐”；有的皇帝有两个年号，如宋高宗年号“建炎” “绍兴”、元世祖年号“中统” “至元”；有的皇帝有多个年号，如唐高宗有14个年号、武则天有17个年号。

大体上来说，唐代以前的殁世帝王一般简

专题九 极限与探索性问题的解题技巧

【命题趋向】

综观历届全国各套高考数学试题，我们发现对极限的考查有以下一些知识类型与特点： 1．数学归纳法

①客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)．

②解答题大多以考查数学归纳法内容为主，并涉及到函数、方程、数列、不等式等综合性的知识，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目

③数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主要思想方法. 在由n=k时命题成立，证明n=k+1命题也成立时，要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、组合、添项、减项、分解、化简等技巧，这一点要高度注意． 2. 数列的极限

①客观性试题主要考查极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，直接运用四则运算法则求极限．

②解答题大多结合数列的计算求极限等，涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目. ③数列与几

每当上数学课时，总能看到他积极踊跃的身影，他就是我们班的数学小达人周睿远。

周睿远戴着一副眼镜，显得他更加有学问。记得有一次，戴老师提出一个很难的问题，难得我们抓耳挠腮，怎么也想不出来。就在这时，我们都目瞪口呆，小达人举起手来，心想：这可是难倒了全班55个人了耶，你能回答得出吗？我幸灾乐祸地想看他的笑话，同时也充满敬佩的心情，因为他数学成绩一直很优秀。只见他推了推眼镜，不急不慢地说：我们可以画个图来表示烧掉的部分”，看着戴老师脸上露出欣慰的表情，果然，他并没有答错。

当作文他回答完时，我们都被他思维方式惊呆了，直接是恍然大悟，茅塞顿开，并说道：哦噢！原来是这样解的呀”，厉害，真不愧是数学小达人。

他的获奖证书有三好学生、计算小能手，而且他也是体育小达人哦，几次在学校运动会给班级争光呢，真是文武双全啊！

他的脑筋很灵活，做题时也不是死板的。就说上次吧，做作业时，我一看题目老师在课上没讲过，我急忙跑去问周睿远他先是皱了皱眉头，然后对我说：你把半径调个位置就行了”。我这被他这一点也看通了，我点了点头，说了声谢谢。

怎么样，数学小达人名不虚传吧！

第1练 三角恒等变换与解三角形

π1.

32.

56 653.

7 244. -1

3π5. - 46. 1+3 7.

5π 128. 43 34,AP=5,AQ=2, 59. (1) 因为∠A是钝角,cos A=-

在△APQ中,由余弦定理得PQ2=AP2+AQ2-2AP2AQcos A, 所以PQ2=52+22-235323-所以PQ=35. 125(2) 由cos α=,得sin α=.

131334又sin(α+β)=sin A=,cos(α+β)=-cos A=,

554=45, 5所以sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sin αcos(α+β)+cos αsin(α+

β)=

41235652+2=. 135135652

10. (1) 由2sin

2

B?C2-

12cos 2A=

74及A+B+C=180°,得

72[1-cos(B+C)]-2cosA+1=,

24(1+cos A)-4cos2A=5,

所以4cos2A-4cos A+1=0.所以cos A=因为0°

b2?c2-a2(2) 由余弦定理,得cos A=.

2bc1b2?c2-a21因为cos A=,所以=,

222bc1. 2所以(b+c)2-a2=3bc.

将a

第1练 三角恒等变换与解三角形

π1.

32.

56 653.

7 244. -1

3π5. - 46. 1+3 7.

5π 128. 43 34,AP=5,AQ=2, 59. (1) 因为∠A是钝角,cos A=-

在△APQ中,由余弦定理得PQ2=AP2+AQ2-2AP2AQcos A, 所以PQ2=52+22-235323-所以PQ=35. 125(2) 由cos α=,得sin α=.

131334又sin(α+β)=sin A=,cos(α+β)=-cos A=,

554=45, 5所以sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sin αcos(α+β)+cos αsin(α+

β)=

41235652+2=. 135135652

10. (1) 由2sin

2

B?C2-

12cos 2A=

74及A+B+C=180°,得

72[1-cos(B+C)]-2cosA+1=,

24(1+cos A)-4cos2A=5,

所以4cos2A-4cos A+1=0.所以cos A=因为0°

b2?c2-a2(2) 由余弦定理,得cos A=.

2bc1b2?c2-a21因为cos A=,所以=,

222bc1. 2所以(b+c)2-a2=3bc.

将a

1 2018届高三数学复习平面向量

平面向量线性运算

1.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )

A.AD →＝－13AB →＋43AC →

B.AD →＝13AB →－43AC →

C.AD →＝43AB →＋13AC →

D.AD →＝43AB →－13AC →

2.设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )

A.AD →

B.12AD →

C.BC →

D.12

BC →

3.在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．

4.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →，若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y

＝________.

5.设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23

BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

2 6.已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12

(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．

7.设a

2010-2011学年高三数学(理)夯实基础练习系列三(三)答案

一、选填题（每题8分，共56分）

1. A 2.C 3. A 4．1 5．? 6．2 ；10 7．

；84.

二、解答题（共44分，8题、9题各14分，10题16分）

8．解：（Ⅰ）设等差数列?an?的公差为d，由a2?a4?6,S4?10，

?2a1?4d?6 可得??4?3 ，

??4a1?2d?10 ………………………2分

即?a?1?2d?3?2a1?3d?5，

解得?a?1?1?1，

?d ………………………4分

∴an?a1??n?1?d?1?(n?1)?n， 故所求等差数列?an?的通项公式为an?n.

………………………5分

（Ⅱ）依题意，b?2n?n?2nn?an，

∴Tn?b1?b2???bn

?1?2?2?22??33?2??n?(?1n?)1?2n?n， 2 ………………………7分

.....

四川省2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练

统计与概率

一、选择、填空题

1、（2018全国III卷高考）某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX?2.4，P?X?4??P?X?6?，则p?（ ）

A．0.7

B．0.6

C．0.4

D．0.3

2、（2017全国III卷高考）

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

2014年 2015年 2016年

根据该折线图，下列结论错误的是（） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

3、（2016全国III卷高考）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气

温和平均最低气温的雷达图。

图中A点表示十月的平均最高气温约为15C，B点表示四月的平均最低气温约为