基本不等式知识点总结

基本不等式

【教学目标】

1、掌握基本不等式，能正确应用基本不等式的方法解决最值问题

2、用易错问题引入要研究的课题，通过实践让同学对基本不等式应用的二个条件有进一步的理解

3、会应用数形结合的数学思想研究问题 【教学重点难点】

教学重点: 基本不等式应用的条件和等号成立的条件 教学难点：基本不等式等号成立的条件 【教学过程】

一、设置情景，引发探究 问题一：x?1有最小值吗？ x2问题二：x?3?1x?32?2正确吗？

二、合作交流，研究课题

R中，a+b≥2ab，a+b≥?2ab，当且仅当a=b时取到等号。

2

2

2

2

a2?b2a?b2 R中，当且仅当a=b时取到等号。 ??ab?，1122?ab?注意：1、公式应用的条件 2、等号成立的条件 三、实例分析，深化理解 例1、求所给下列各式的最小值 （1）y?a?

1(a?3) a?31(a?3)?3?2?3?5,a?3

1当且仅当a?3??a?3?1?a?4时，ymin?5。a?3x2?2x?2(?1?x?1) （2）y?2x?2y?a?3?(x?1)2?1x?11 y???2(x?1)22(x?1)在(-1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增， 当且仅当

x?11

基本不等式

【教学目标】

1、掌握基本不等式，能正确应用基本不等式的方法解决最值问题

2、用易错问题引入要研究的课题，通过实践让同学对基本不等式应用的二个条件有进一步的理解

3、会应用数形结合的数学思想研究问题 【教学重点难点】

教学重点: 基本不等式应用的条件和等号成立的条件 教学难点：基本不等式等号成立的条件 【教学过程】

一、设置情景，引发探究 问题一：x?1有最小值吗？ x2问题二：x?3?1x?32?2正确吗？

二、合作交流，研究课题

R中，a+b≥2ab，a+b≥?2ab，当且仅当a=b时取到等号。

2

2

2

2

a2?b2a?b2 R中，当且仅当a=b时取到等号。 ??ab?，1122?ab?注意：1、公式应用的条件 2、等号成立的条件 三、实例分析，深化理解 例1、求所给下列各式的最小值 （1）y?a?

1(a?3) a?31(a?3)?3?2?3?5,a?3

1当且仅当a?3??a?3?1?a?4时，ymin?5。a?3x2?2x?2(?1?x?1) （2）y?2x?2y?a?3?(x?1)2?1x?11 y???2(x?1)22(x?1)在(-1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增， 当且仅当

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一. 教材分析

1、教材地位和作用

本节是选自人教社普通高中课程实验标准 数学（必修5）《不等式》一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．同时也是为了以后学习（选修4—5）《不等式选讲》中的几种重要不等式，以及不等式的证明作铺垫，起着承上启下的作用。

本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节课可以培养学生应用数学知识灵活解决实际问题的能力，是学数学用数学的好素材。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质。

“基本不等式”在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值是高考的热点。它在科学研究、经济管理、工程设计上都有广泛的作用。

2、教学目标 A．知识目标：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的

不等号“≥”取等号的条件.

B．能力目标：通过实例探究基本不等式；

C．情感目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

3、教学重点、难点： a?b重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab?的证明过程；

2a?b难点：用基本不等式求最大最小值，

不等式的知识要点

1.不等式的基本概念 2.不等式的基本性质 （1）a（2）a（3）a（4）a（5）a?b?b?a（对称性）

?b,b?c?a?c（传递性）

?b?a?c?b?c（加法单调性）

?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加） ?b,c?d?a?c?b?d（异向不等式相减）

（6）a.?（7）a（8）ab,c?0?ac?bc

?b,c?0?ac?bc（乘法单调性）

?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）

ab（异向不等式相除） ?cd(9)a?b?0,0?c?d?(10)a?b,ab?0?（11）a11（倒数关系） ?ab?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法则）

?0(n?N*)（开方法则）

（12）2na3.几个重要不等式

（1）非负式：若a?R,则|a|?0,a2?0；若a?0,则a?0. （2）若a、b?R?,则a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（当仅当a=b时取等号）

（3）二元均值不等式：如果a,b都是正数，那么

ab?a?b（当仅当a=b时取等号）

.2常用为：a?b?2，ab?(a?b)2（当仅当a=b时取等号） ab（当仅当a=b时取等号）

2? 极值定理：若

篇一：获奖说课稿-基本不等式

《基本不等式》说课稿

各位评委老师，大家好，我说课的题目是《基本不等式》，本节课选自人教A版数学

必修5第三章第四节第一课时，我将从以下五个方面阐述我对这节课的设计： 一、教材分析

作为高中阶段必修的最后一部分内容，基本不等式具有丰富的实际背景．不但可以用来求某些函数的最值，同时也是证明不等式的理论依据，是高考考查的重点内容之一. 二、目标分析

教学目标：（1）探索基本不等式的证明过程；

（2）应用基本不等式解决简单最大（小）值问题

依据教学目标确定如下的重点、难点

重点: 应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。

难点:利用基本不等式求最大值和最小值。 三、教学设计

1.引用2002年北京国际数学家大会会标并介绍弦图背景资料 设计意图：激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性

探究1：图中有哪些相等关系和不等关系？

正方形ABCD中,AE⊥BE,BF⊥CF,CG⊥DG,DH⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=_,Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三角形，它们的面积之和是S’=＿

从图形中易得，s>s’,即 a?b?2ab

问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？（学

不等式导学案

教学目标：（1）学会推导不等式ab?a?b，理解不等式的几何意义。 2 （2）知道算术平均数、几何平均数的概念 （3）会用不等式求一些简单的最值问题 教学重点：基本不等式ab?a?b的推导及应用。 2教学难点：理解“当且仅当a?b时取等号” 的意义。 教学过程：

如图所示，这时我国古代数学家赵爽的弦图。在北京召开的24届国际数学家大会

上作为会标。你知道这其中含有哪些数学因素吗？

设小直角三角形的两条直角边为a、b，

则正方形的边长为 ，正方形的面积为 。

四个直角三角形的面积和为 。 4?S三角形?S正方形? < 。

思考：当中间的小正方形面积为0的时候，此时直角三角形是 , (4?S三角形?S正方形) 概念: 一般的,对于任意的实数a,b,我们有 ，当且仅当 时,等号成立.

特别的,如果a?0,b?0 ,我们用a、b

不等式总结

一、不等式的主要性质：

(1)对称性：a b b a (2)传递性：a b,b c a c (3)加法法则：a b a c b c； a b,c d a c b d (4)乘法法则：a b,c 0 ac bc； a b,c 0 ac bc

a b 0,c d 0 ac bd

(5)倒数法则：a b,ab 0

11 ab

(6)乘方法则：a b 0 an bn(n N*且n 1) (7)开方法则：a b 0 a (n N*且n 1)

二、一元二次不等式ax2 bx c 0和ax2 bx c 0(a 0)及其解法

注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式

1.均值不等式：如果a,b是正数，那么

a b

ab(当且仅当a b时取" "号). 2

2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等

3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数），即

a b2（当

112 ab

a = b时取等）

四、含有绝对值的不等式

1．绝对值的几何意义：|x|是指数轴上点x到原点的距离；|x1 x2

题型1 基本不等式正用a＋b≥2ab

1

例1：(1)函数f(x)＝x＋(x>0)值域为________；

x1

函数f(x)＝x＋(x∈R)值域为________；

x1

(2)函数f(x)＝x2＋2的值域为________．

x＋11

解析：(1)∵x >0，x＋≥2

x

1x·＝2， x

∴f(x)(x >0)值域为[2，＋∞)；

当x∈R时，f(x)值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x2＋≥211

＝(x2＋1)＋2－1 x＋1x＋1

21?x2＋1?·2－1＝1，

x＋1

当且仅当 x＝0 时等号成立．

答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞)

4

4．(2013·镇江期中)若x>1，则x＋的最小值为________．

x－1

44

解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.

x－1x－14

当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．

x－1答案：5

4

[例1] (1)已知x＜0，则f(x)＝2＋＋x的最大值为________．

x (1)∵x＜0，∴－x＞0， 44

∴f(x)＝2＋＋x＝2－?－x＋?－x??.

x??

44

∵－＋(－x)≥24＝4，当且仅当－x＝，即x＝－2时等号成立．

x－x4

∴f(x)＝2

3.4基本不等式（第一课时）

一、教学目标

1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；

2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；

3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；

4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式ab?a?b的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解2决问题的能力，体会方法与策略．

以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．

二、教学重点和难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式ab?明过程；

难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式． 三、教学过程： 1．动手操作，几何引入

如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互

为什么把

a?b≥ab（a，b＞0）叫做“基本不等式” 21．从“数及其运算”的角度看，a?b是两个正数a，b的“平均数”；2从定量几何的角度看，ab是长为a、宽为b的矩形面积，ab就叫做两个非负数a，b的“几何平均”。因此，不等式中涉及的是代数、几何中的“基本量”。

2．有多种等价形式：

代数——涉及两个正数的运算，也就是通过加、减、乘、除、乘方、开方等运算而产生的变化。在对运算结果之间的大小关系比较中就可以得到各种表现形式；

几何——周长相等的矩形中，正方形的面积最大；或者，以a+b为斜边的直角三角形中，等腰直角三角形的高最长；或者，更直观地，等圆中，弦长不大于直径；……

函数——本质上是函数凹凸性的反映。例如，可以直接通过函数

y?

1

，y?x，y?x2等学生最熟悉的函数的凹凸性导出公式；或者，x

利用函数图像的切线（本质上是“以直代曲”），例如，过点(1,1)作曲线y?x的切线，切线方程为y??x?1?，曲线y?x总位于切线的下方，故有，x≤?x?1?。令x?，代入化简即得重要不等式。

也可以这样考虑：在一个平面内固定一条直线x+y=2A，考察曲线族xy=c（这里c是参数），画个图就可以看出，和给定直线有公共点，且使c取最大值的曲线，是和直