三角恒等变形推导

第24讲 三角恒等变形及应用

一．【课标要求】

1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；

2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；

3．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。 二．【命题走向】

从近几年的高考考察的方向来看，这部分的高考题以选择、解答题出现的机会较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质

本讲内容是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题。历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力 三．【要点精讲】

1．两角和与差的三角函数

sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?； ；

tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?。

2．二倍角公式

sin2??2sin?cos

2008-2011外院为工程管理开设课程表

测绘学院

2008-2011学年 测绘学院为工程管理开设课程

城市建设与安全工程学院

2008-2011学年 城市建设与安全工程学院为工程管理开设课程

环境学院

2008-2011学年

环境学院为工程管理专业开设课程

电子与信息工程学院

2008-2011学年 电子与信息工程学院为工程管理专业开设课程

建筑学院

2008-2011学年 建筑学院为工程管理专业开设课程

交通学院

2008-2011学年 交通学院为工程管理专业开设课程

力学部

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图书馆

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经济与管理学院

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理学院

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外国语学院

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政治教育学院

2008-2011学年 政治教育学院为工程管理专业开设课程

自动化与电气工程学院

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龙文个性化辅导讲义

（2010 ~ 2011 学年 第 1 学期）

任教科目： 数 学

授课题目：三角恒等变换 年 级： 高 一 任课教师：谭 老 师

龙文师资培训部编制

主管签名：__________ 教务长签名：__________

日 期：__________ 日 期：__________

龙文教育网站：www.longwenedu.com

1

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龙文个性化辅导教案

授课教师 授课时间 课 型 谭婷汀 复习 授课对象 授课题目 使用教具 三角恒等变换 讲义、白纸、水笔 教学目标 1、 了解两角差。两角和的正弦、余弦、正切公式，掌握其公式并能利用它解决某些问题 2、

《三角恒等变换》

广州卓越教育集团教育学院2011级第三期数学班 沈荣春

开心哈哈

三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。 同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割。

制胜装备

（1） 和与差的三角函数公式

（a） 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；

（b） 能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式；

（c） 能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的

正弦、余弦、正切公式，了解他们的内在联系；

（2） 简单的三角恒等变换

能运用上述公式进行简单的恒等变换；

战前动员

失之毫厘，谬以千里

1967年8月23日，苏联的联盟一号宇宙飞船在返回大气层时，突然发生了恶性事故——减速降落伞无法打开。苏联中央领导研究后决定：向全国实况转播这次事故。当电视台的播音员用沉重的语调宣布，宇宙飞船在两小时后将坠毁，观众将目睹宇航员弗拉迪米·科马洛夫殉难的消息后，举国上下顿时被震撼了，人们都沉浸在巨大的悲痛之中。

在电视上，观众们看到了宇航员科马洛夫镇定自若的形象。他面带微笑叮嘱女儿说：“你学习时，要认真对待每一个小数点。联盟一号今天发生的一切，就是因为地面检查时

《三角恒等变换》

广州卓越教育集团教育学院2011级第三期数学班 沈荣春

开心哈哈

三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。 同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割。

制胜装备

（1） 和与差的三角函数公式

（a） 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；

（b） 能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式；

（c） 能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的

正弦、余弦、正切公式，了解他们的内在联系；

（2） 简单的三角恒等变换

能运用上述公式进行简单的恒等变换；

战前动员

失之毫厘，谬以千里

1967年8月23日，苏联的联盟一号宇宙飞船在返回大气层时，突然发生了恶性事故——减速降落伞无法打开。苏联中央领导研究后决定：向全国实况转播这次事故。当电视台的播音员用沉重的语调宣布，宇宙飞船在两小时后将坠毁，观众将目睹宇航员弗拉迪米·科马洛夫殉难的消息后，举国上下顿时被震撼了，人们都沉浸在巨大的悲痛之中。

在电视上，观众们看到了宇航员科马洛夫镇定自若的形象。他面带微笑叮嘱女儿说：“你学习时，要认真对待每一个小数点。联盟一号今天发生的一切，就是因为地面检查时

三角函数及三角恒等变换

任意角和弧度制及任意角的三角函数

1.A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=（填序号）. 答案④ ①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}③{第一象限的角} ④以上都不对 2.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是. 答案

?3

3.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角的弧度数是. 答案 1或4 4.已知角?终边上一点P的坐标是（2sin2,-2cos2)，则sin?=. 答案 -cos2 5.?是第二象限角，P（x，5）为其终边上一点，且cos?=

例1 若?是第二象限的角，试分别确定2?,

?224x,则sin?=. 答案

104

,

?2的终边所在位置.

解 ∵?是第二象限的角，∴k2360°+90°＜?＜k2360°+180°（k∈Z）.

（1）∵2k2360°+180°＜2?＜2k2360°+360°（k∈Z）∴2?是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上. （2）∵k2180°+45°＜

?2 ＜k2180°+90°（k∈Z），

?2当k=2n（n∈Z）时，n2360°+45°＜＜n2360°+90°；

?2当k=2n+1（n∈Z）时

课题：三角恒等变换

三倍角公式

sin3??3sin??4sin? cos3??4cos??3cos? 半角公式 sin33?2??1?cos??1?cos??1?cos?sin?1?cos? cos?? tan?? ??22221?cos?1?cos?sin? 万能公式

2tan sin???2，cos??1?tan21?tan2??2，tan??22tan?2

1?tan2 积化和差

?21?tan2?21?sin??????sin??????， cos?sin??1?sin??????sin??????， 2211 cos?cos???cos??????cos??????， sin?sin????cos??????cos??????

22 sin?cos?? 和差化积

sin??sin??2sin???2222????????????cossin cos??cos??2cos cos??cos???

.

学案22 简单的三角恒等变换

导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．

(

(

(

(

自主梳理

1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝________________；

(2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________；

kπππ

(3)tan 2α＝________________________ (α≠＋且α≠kπ＋)．

242

2．公式的逆向变换及有关变形

sin 2α

(1)sin αcos α＝____________________?cos α＝；

2sin α

22

(2)降幂公式：sinα＝________________，cosα＝________________； 升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________；

22

变形：1±sin 2α＝sinα＋cosα±2sin αcos α＝________________________. 自我检测

1．(2010·陕西)函数f(x)＝2sin xcos x是

杨辉三角的规律以及定理

1 二项式定理与杨辉三角

与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。

杨辉三角我们首先从一个二次多项式 (a+b) 2 的展开式来探讨。

由上式得出： (a+b) 2 2+2ab+b 2 ＝a

此代数式的系数为： 1 2 1

则(a+b) 3 3+3a 2b+3ab 2+b 3 的展开式是什么呢？答案为： a

由此可发现， 此代数式的系数为： 1 3 3 1

但 4

似乎没有什么规律，所以让我们再来看看 (a+b)

的展开式。

展开式为： a 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4

由此又可发现，代数式的系数为： 1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：

1 (11 0)

1 1 (11 1)

1 2 1 (11 2)

1 3 3 1 (11 3)

1 4 6 4 1 (11 4)

1 5 10 10 5 1 (11 5

)

1 6 15 20 15 6 1 (11 6)

杨辉三角形的系数分别为： 1,（1,1 ）,（1,2,1 ）,（1,3,3,1 ）,（1,4,6,4,1 ）（1,5,10

三角恒等变换讲义

3.1 两角差的余弦公式

1．两角和与差的余弦公式

C(α－β)：cos(α－β)＝________________________________. C(α＋β)：cos(α＋β)＝________________________________.

2．两角和与差的正弦公式

S(α＋β)：sin(α＋β)＝________________________________. S(α－β)：sin(α－β)＝________________________________.

3. 两角和与差的正切公式

(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝__________________. (2)T(α－β)：tan(α－β)＝__________________.

4．两角和与差的正切公式的变形： tan α＋tan β＝__________________.

tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝______________. tan α·tan β＝__________________.

考点一 给角求值

例1 求下列各式的值． (1)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋cos(α＋