等差×等比数列求和方法

等比数列的前n项和（第一课时）

各位老师，下午好！

今天我说课的内容是《等比数列的前n项和》第一课时。 首先，我对本节教材进行分析。 一、 教材分析

等比数列的前n项和是高中必修5第二章第五节内容。它是等差数列和等比数列的延续，与前面学习的函数也有着密切的联系。它是从实际问题中抽离出来的数学模型，在分期付款等实际问题中有广泛地应用。同时，在公式推导过程中蕴含着分类讨论等丰富的数学思想。

二、教学目标

依据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，制定如下教学目标： 1、

知识与技能目标：理解等比数列前n项求和公式的推导方法，

能够利用公式解决一些简单问题。 2、

过程与方法目标：通过公式推导，提高数学建模意识，体会特

殊到一般的思维方式。 3、

情感与态度价值目标：同过经历对公式地探索，激发学生求知

欲，鼓励学生大胆尝试，并从中获得成功的体验。

三、教学重点与难点

本着课程标准，在吃透教材的基础上，我确立如下教学重点与难点： 重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用。此推导过程中蕴含了分类讨论，递推、转化等重要思想，是解决一般数列求和问题的关键，所以非常重要。为此，我给出了三种方法来推导公式，加深学生理解，突出重点。

难点：等比数

§3.3 等比数列及其求和

一、典型例题：

1.(1) 若x,2x?2,3x?3成等比数列，则x的值为__________ . ?4

(2) 在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为________ . 2. 如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（ B ）

（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在 3. 设等比数列?an?的前n项和为Sn，前n项的倒数之和为Tn，则

a1anSnTnn?13

的值为（ A ）.

（A）a1an （B）

（C）(a1an)n （D）(a20a10a1an)n

4. 在等比数列{an}中，a7?a11?6,a4?a14?5,则2332?（ C ）.

3223232332 A． B． C．或 D．－或－

125. 等比数列?an?的首项a1??1，前n项和为Sn，若

S10S5?3132,Sn?_________ . ?(1?(?))

n6. 已知数列?an?是公比q?1的等比数列，给

数列教案

1．数列的概念

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项， ，序号为n 的项叫第n项（也叫通项）记作an； 数列的一般形式：a1，a2，a3， ，an， ，简记作 an 。

例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;

(2)2010年各省参加高考的考生人数。

（2）通项公式的定义：如果数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个

公式就叫这个数列的通项公式。

例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，

②：1

数列①的通项公式是an= n（n 7，n N ）， 数列②的通项公式是an= 说明：

① an 表示数列，an表示数列中的第n项，an= f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an= ( 1)=

n

1111

2345

1

（n N ）。 n

1,n 2k 1

(k Z)；

1,n 2k

③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，

（3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4

高中数学第一轮复习学案 数 列

第01讲 数列的概念和简单表示法

广东高考考试大纲说明的具体要求：

① 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）; ② 了解数列是自变量为正整数的一类函数.

（一）基础知识回顾：

1.数列的概念:按照一定______排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的______.

数列的第一项a1也称为_______项，an是数列的第n项，也叫数列的_______项。

如果数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式来表示，即an?f(n)，那么这个式子就叫做这个数列的___________.数列的通项公式就是相应函数的解析式。

数列{an}中，Sn?a1?a2???an，叫做数列{an}的_____________.

2.数列的分类：项数有限的数列称为_________数列，项数无限的数列称为_________数列。

递增数列：对于任意的n?1,n?N，都有an?1?an； 递减数列：对于任意的n?1,n?N，都有an?1?an； 常数列：对于任意的n?1,n?N，都有an?1?an。 3.常见数列：分别写出以下几个数列的一个通项公式：

（1）1,2,3,4,5

等差数列的性质总结

1.等差数列的定义：an?an?1?d（d为常数）（n?2）；

2．等差数列通项公式：

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*) ， 首项:a1，公差:d，末项:an 推广： an?am?(n?m)d． 从而d?

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A?a?b或2an?am；

n?m2A?a?b

（

2

）

等

差

中

项

：

数

列

?an?是等差数列

?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2

4．等差数列的前n项和公式：

Sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数2n?1时，an?1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数

乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1） 定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列．

?（2） 等差中项：数列

?a

前言：

这是06年陈孟伟老师在教材分析时提供的一份案例。老师们可以参考。 希望老师们能将教学中的得意之处用叙事的方式记录下来，共其他教师借鉴，这是目前教学研究中常用的方式，也是非常有意义的事情，其中的内容完全可以作为教学科研的重要铸成部分。

------------------闻岩

一节课的教学设计： 《数列》教学建议

北京八中 陈孟伟

1

《等比数列前n项和》课堂实录(浙江省优质课一等奖) 师：同学们，你们喜欢动漫吗？ 生：(异口同声)喜欢！

师：那我们就来看一段最新版的西游记后传。(漫画演示) 话说猪八戒自西天取经回到高老庄，从高员外手里接下高老庄集团，摇身变成了CEO。可好景不长，因资金周转不灵而陷入窘境，急需大量资金投入，于是就找孙悟空帮忙。悟空一口答应：“行！我每天投资100万元，连续一个月(30天)，但有一个条件作为回报，从投资的第一天起必须返给我l元，第二天返还2元，第三天返还4元?即后一天返还数为前一天的2倍。”八戒听了，心里打起了小算盘：“第一天：支出l元，收入100万；第二天：支出2元，收入100万，第三天：支出4元，收入100万元?哇，发财了！”他越想越美。再看看悟空的表

专题9 等差数列与等比数列

一、高考考点

1.等差数列或等比数列定义的应用：主要用于证明或判断有关数列为等差（或等比）数列. 2.等差数列的通项公式，前几项和公式及其应用：求问题.

3.等比数列的通项公式，前n项和及其应用：求 4.等差数列与等比数列的（小）综合问题.

5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作用：解决有关问题时，提高洞察能力，简化解题过程.

6.数列与函数、方程、不等式以及解析几何等知识相互结合的综合题目：以高中档试题出现，重点考察运用有关知识解决综合问题的能力。

二、知识要点 （一）、等差数列

1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.

认知：｛

－

｝为等差数列

－

※

；求 ；解决关于 或 的

；求 ；解决有关 或 的问题.

=d (n∈N且d为常数)

※

=d (n 2, n∈N且d为常数)

｝为等差数列的主要依据.

此为判断或证明数列｛

2.公式

（1）通项公式： 引申： 认知：｛

)

=

=

+（n－1）d：

+（n－m）d （注意：n=m+(n－m

万智春季高考数学一轮复习

5.4等差等比数列的综合应用

知识梳理

数列应用题常见模型

（1） 等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差 （2） 等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比， 生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加（或减少），同时又以一个固定的具体量增加（或减少）如：分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等。 典型例题

题型一 等差数列模型

例1. 为了减少沙尘暴对本城市环境的影响，某市政府决定在城市外围构筑一道新的防护林，计划从2011年起每年都植树20000

棵，2011年底发现防护林内损失了1000棵，假设以后每一年损失的树都比上一年多300棵，照此计算： （1）2020年这一年将损失多少棵？

（2）到2020年底，该防护林内共存活多少棵树？

题型二 等比数列模型

例2.某人于2000年1月在银行存入10000元，2001年1月再次存入10000元，此后，每年1月份都存入10000元，设银行利率为a，该人于2010年1月将本息和全部取出，问本息和共多少？

题型三 涉及等差、等

高二数学等差和等比数列的通项及求和公式

高二数学等差和等比数列的通项及求和公式

高二数学等差和等比数列的通项及求和公式

高二数学等差和等比数列的通项及求和公式

高二数学等差和等比数列的通项及求和公式

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高二数学等差和等比数列的通项及求和公式

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等差数列等比数列综合练习题

一．选择题

1. 已知an?1?an?3?0，则数列?an?是 （ ）

A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列 2.等比数列{an}中，首项a1?8，公比q?，那么它的前5项的和S5的值是（ ） A．

31333537 B． C． D． 2222123. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7=35，则a4=( ) A. 8 B.7

C.6

D.5

4. 等差数列{an}中，a1?3a8?a15?120,则2a9?a10?（ ） A．24

B．22

C．20

D．-8

5. 数列?an?的通项公式为an?3n2?28n，则数列?an?各项中最小项是 （ ） A. 第4项 B.第5项 C. 第6项 D. 第7项

2a?b等于（ ） 2c?d111 A．1 B． C． D．

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