线性代数中拉普拉斯定理

拉普拉斯变换

基本要求

拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。

知识要点

1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换

??[f(t)]?F(s)??f(t)edt

0??st逆变换

?[F(s)?]ft(?)2?j???j?1??j?Fse(ds)

st双边拉普拉斯变换： 正变换

FB(s)??f(t)?1???f(t)edt

?st逆变换

2?j???j???j?FB(s)eds

?0则f(t)e??tst（2） 定义域 若???0时，limf(t)et????t在?积分???0的全部范围内收敛，

??0?f(t)edt?st存在，即f(t)的拉普拉斯变换存在。?数f(t)的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若

??0就是f(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域。?0与函

?[f1(t)]?F1(S),

?[f2(t)

六．拉普拉斯变换 ㈠选择

㈡填空

1.f(t)?2?(t)的拉普拉斯变换是_______________ 2.f(t)?u(t?1)的拉普拉斯变换是_________________. 3.f(t)?u(t?2)的拉普拉斯变换是_________________. 4.f(t)?t2?e2t的拉普拉斯变换是_______________. 5.f(t)?e2t?5?(t)的拉普拉斯变换是_______________ 6.f(t)?e2tu(t?2)的拉普拉斯变换是________________. 7.f(t)?tnekt(k为实数)的拉普拉斯变换是__________________. 8.f(t)?e?2tsin3t的拉普拉斯变换是__________________. 9.f(t)?e?2t的拉普拉斯变换是_________________. 10.f(t)?e2t的拉普拉斯变换是__________________。 11.f(t)?t的拉普拉斯变换是________________ 12.f(t)?te的拉普拉斯变换是____________________. 13.f(t)?cos2t的拉普拉斯变换是_____________

成 绩 评 定 表

学生姓名 中国好学长 专 业 通信工程 班级学号 课程设计题目 典型信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换 评 语 组长签字： 成绩 日期

1

2016 年 7 月 日

课程设计任务书

学 院 学生姓名 课程设计题目 信息科学与工程学院 专 业 班级学号 通信工程 典型信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换 实践教学要求与任务: 1、 学习Matlab软件及应用； 2、 学习并研究拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换有关理论； 3、利用Matlab编程，完成拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换分析与处理； 4、写出课程设计报告，打印程序，给出运行结果。 工作计划与进度安排: 第1-2天： 1、学习使用Matlab软件、上机练习 2、明确课题内容，初步编程 第3-5天： 1、上机编程、调试 2、撰写课程设计报告书 3、检查编程、运行结果、答辩 4、上交课程设计报告 指导教师： 专业负责人： 学院教学副院长： 2016 年 7月 6 日 2016 年7 月 6日 2016 年 7 月 6 日

2

目录

1.Matlab介绍 ..........

2.3 拉普拉斯方程和分离变量法一、拉普拉斯方程在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的. 在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的. ① 例如： 例如： 电容器内部的电场是由作为电极的两个 导体板上所带电荷决定的。 导体板上所带电荷决定的。 ② 电子光学系统的静电透镜内部，电场是 电子光学系统的静电透镜内部， 由分布于电极上的自由电荷决定的。 由分布于电极上的自由电荷决定的。 这些问题的特点是： 这些问题的特点是： 自由电荷只出现在一些导体的表面上， 自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间 中没有其他自由电荷分布。 中没有其他自由电荷分布。

如果我们选择这些导体的表面作为区域V的边界， 如果我们选择这些导体的表面作为区域 的边界， 的边界 则V 内部自由电荷密度ρ=0,电势所满足的泊松方程化 内部自由电荷密度 = , 为比较简单的情形： 为比较简单的情形：

=02

拉普拉斯方程。 拉普拉斯方程。

注意：求解区域内 = , 注意：求解区域内ρ=0,产生电场的电荷全部分布 的边界上，他们的作用通过边界条件反映出来。 于V 的边界上，他们的作用通过边界条件反映出来。所 以，这类问题可归结为求拉普拉斯方程满足边界条件的 这类问题可归结为求拉普

2.3 拉普拉斯方程和分离变量法一、拉普拉斯方程在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的. 在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的. ① 例如： 例如： 电容器内部的电场是由作为电极的两个 导体板上所带电荷决定的。 导体板上所带电荷决定的。 ② 电子光学系统的静电透镜内部，电场是 电子光学系统的静电透镜内部， 由分布于电极上的自由电荷决定的。 由分布于电极上的自由电荷决定的。 这些问题的特点是： 这些问题的特点是： 自由电荷只出现在一些导体的表面上， 自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间 中没有其他自由电荷分布。 中没有其他自由电荷分布。

如果我们选择这些导体的表面作为区域V的边界， 如果我们选择这些导体的表面作为区域 的边界， 的边界 则V 内部自由电荷密度ρ=0,电势所满足的泊松方程化 内部自由电荷密度 = , 为比较简单的情形： 为比较简单的情形：

=02

拉普拉斯方程。 拉普拉斯方程。

注意：求解区域内 = , 注意：求解区域内ρ=0,产生电场的电荷全部分布 的边界上，他们的作用通过边界条件反映出来。 于V 的边界上，他们的作用通过边界条件反映出来。所 以，这类问题可归结为求拉普拉斯方程满足边界条件的 这类问题可归结为求拉普

第十二章 拉普拉斯变换及逆变换

拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。

第一节 拉普拉斯变换

在代数中，直接计算

N?6.28?357819.8是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为

?20?(1.164)

235然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N。

这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。

13lgN?lg6.28?(lg5781?lg9.8?2lg20)?lg1.16435

一、拉氏变换的基本概念

定义12.1 设函数f(t)当t?0时有定义，若广义积分

???0f(t)e?ptdt在P的某一区域内

收敛，则此积分就确定了一个参量为P的函数，记作F(P)，即

0 （12.1）

称（12.1）式为函数f(t)的拉氏变换式，用记号L[f(t)]?F(P)表示。函数F(P)称为f(t)

实验六 拉普拉斯变换

一、实验目的

掌握系统零极点求法, 理解其含义; 并能利用零极点分析系统的时域和频域特性; 掌握系统的复频域和频域之间的关系；掌握求系统频率响应的方法。

二、实验内容

1、利用mesh函数画出信号f(t)=sin(t)u(t)的拉普拉斯变换的曲面图。

2、利用meshgrid、mesh、surf函数画出信号f(t)= u(t)-u(t-2)的拉普拉斯变换的曲面

图，观察曲面图在虚轴剖面上的曲线，并将其与信号傅里叶变换F(j?)绘制的振幅频谱进行比较。 3、画出H(s)?2(s?3)(s?3)的曲面图，观察拉普拉斯变换的零极点。 2(s?5)(s?10)s2?44、利用roots函数求根，画出F(s)?4和32s?2s?3s?2s?15s(s2?4s?5)F(s)?3的零极点图。

s?5s2?16s?305、已知拉普拉斯变换F(s)?6、已知系统函数为H(s)?2s?4，利用residue函数求其拉普拉斯逆变换。 s3?4ss?4，利用residue函数求该系统的冲击响应

s3?3s2?2sh(t)，并利用impulse函数画出其时域波形，判断系统的稳定性。

7、设H(j?)?1，利用freqs函数画出系统幅频特性曲线和相

0.

第5章 无穷级数与拉普拉斯变换

【学习目标】

无穷级数与拉普拉斯变换部分是电子信息类数学中另一个重要的基础内容，无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行近似计算的重要工具，而拉普拉斯变换在电学、力学、控制论等工程技术与科学领域均有着广泛的应用．掌握这些理论和方法，为以后专业课程中的电路分析、信号处理等打下扎实的数学基础. 【基本要求】

要求通过学习，掌握级数的概念、性质以及级数收敛的条件，熟练掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，掌握交错级数收敛性的莱布尼兹判别法，理解绝对收敛和条件收敛的概念，掌握幂级数的概念和运算，熟悉常用函数的幂级数展开，并会用间接法将一些简单函数展成幂级数，求出其收敛半径和收敛域，掌握傅立叶级数的概念和性质，会将周期为2?的函数进行傅立叶级数展开，理解周期为T的函数的傅立叶级数展开，了解拉氏变换及其逆变换的概念和性质，并知道其在求解微分方程和分析电路中的应用.

5.1 无穷级数的概念与基本性质

5.1.1 引例

引例１ 半径为R的圆的面积A，是通过计算其内接正多边形的面积得到的．具体做法是：先作圆的内接正六边形，算出它的面积a1，可以用a1作为A的近似值；再以这个正六边形的每一边为底边，分别作一个顶点在圆周上

一傅里叶变换在应用上的局限性

在第三章中，已经介绍了一个时间函数f?t?满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变换。即

F?j?????f?t?e?j?tdt??? (正变换) (5.1)

f?t??

12?????F?j??ej?td? (反变换) (5.2)

但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号U?t?，斜变信号

tU?t?，单边正弦信号sin?tU?t?等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅

里叶变换。

at还有一些信号，例如单边增长的指数信号eU?t??a?0?等，则根本就不存在傅里叶变

换。

另外，在求傅里叶反变换时，需要求?从??到?区间的广义积分。求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。

利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。

由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。所以，当今在研究线性系统问题时，拉普拉

一傅里叶变换在应用上的局限性

在第三章中，已经介绍了一个时间函数f?t?满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变换。即

F?j?????f?t?e?j?tdt??? (正变换) (5.1)

f?t??

12?????F?j??ej?td? (反变换) (5.2)

但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号U?t?，斜变信号

tU?t?，单边正弦信号sin?tU?t?等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅

里叶变换。

at还有一些信号，例如单边增长的指数信号eU?t??a?0?等，则根本就不存在傅里叶变

换。

另外，在求傅里叶反变换时，需要求?从??到?区间的广义积分。求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。

利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。

由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。所以，当今在研究线性系统问题时，拉普拉