数学分析教案华东师大

第一章实数集与函数

单选题：

1.y?xsinx是

A. 偶函数. B. 奇函数. C. 非奇非偶函数. D. 以上都不对. 2. 设f(x)为R上的奇函数,g(x)为R上的偶函数, 则

A. g[f(x)]与f[g(x)]都是奇函数. B. g[f(x)]与f[g(x)]都是偶函数. C. g[f(x)]与f[g(x)]都是非奇非偶函数. D. g[f(x)]为奇函数, f[g(x)]为偶函数. y?ln(1?x)333.

x?1的定义域是

B.x?1,或x??1.x??2?2?x?2x?2A.?1?x?1.2?x?f(x)??x?9x?2?4. 设

C.x??1或x?1.D.x?1且x??1.

则下列各式中不成立的是 ( )

f(1?)f( 4f(0?)f?( 3) A. C.f(?2?)f(?1?)f(2 ) B.f(. 3 ) D.132?3

5. f(x)?tan(3?x?1)?5的周期是 ( )

A.?.x1?x2B.3C.D.6. 函数是 ( )

A. 无界函数.

《数学分析选论》习题解答

第 一 章 实 数 理 论

１．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S有下确界，且??infS?S，试证： （１）存在数列{an}?S,使liman??；

n??（２）存在严格递减数列{an}?S,使liman??．

n??证明如下：

（１） 据假设，?a?S,有a??；且???0,?a??S,使得??a?????．现依 次取?n?1,n?1,2,?,相应地?an?S,使得 n??an????n,n?1,2,?．

因?n?0(n??)，由迫敛性易知liman??.

n??（２） 为使上面得到的{an}是严格递减的，只要从n?2起，改取

?1??n?min?,??an?1?,n?2,3,?，

?n?就能保证

an?1???(an?1??)????n?an,n?2,3,?． □

２．证明§1.3例６的（ⅱ）．

证 设A,B为非空有界数集，S?A?B，试证：

infS?min?infA,infB?．

现证明如下．

由假设，S?A?B显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何x?S,有x?A或x?B，由此推知x?infA或x?infB，从而

《数学分析选论》习题解答

第 一 章 实 数 理 论

１．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S有下确界，且??infS?S，试证： （１）存在数列{an}?S,使liman??；

n??（２）存在严格递减数列{an}?S,使liman??．

n??证明如下：

（１） 据假设，?a?S,有a??；且???0,?a??S,使得??a?????．现依 次取?n?1,n?1,2,?,相应地?an?S,使得 n??an????n,n?1,2,?．

因?n?0(n??)，由迫敛性易知liman??.

n??（２） 为使上面得到的{an}是严格递减的，只要从n?2起，改取

?1??n?min?,??an?1?,n?2,3,?，

?n?就能保证

an?1???(an?1??)????n?an,n?2,3,?． □

２．证明§1.3例６的（ⅱ）．

证 设A,B为非空有界数集，S?A?B，试证：

infS?min?infA,infB?．

现证明如下．

由假设，S?A?B显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何x?S,有x?A或x?B，由此推知x?infA或x?infB，从而

数学分析教案 (华东师大版)第十章定积分的应用

第十章 定积分的应用

教学要求：

1. 理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；

2. 熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等

教学时数：10学时

§ 1 平面图形的面积 （ 2 时 ）

教学要求：

1. 理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；

2. 熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积

一、组织教学：

二、讲授新课：

（一）直角坐标系下平面图形的面积 ：

1.简单图形：

型和

型平面图形 .

型和

2.简单图形的面积 : 给出

型平面图形的面积公式.

数学分析教案 (华东师大版)第十章定积分的应用

对由曲线和

围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图 形的几何特征简化计算.

例1 求由曲线

围成的平面图形的面积. 例2 求

第一章 实数集与函数

§1 实 数

数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数 .为此, 我们先简要叙述 实数的有关概念 .

一 实数及其性质

在中学数学课程中, 我们知道实数由有理数与无理数两部分组成 .有理数可 p ( p、q 为整数, q≠0 ) 表示, 也可用有限十进小数或无限十进循环 q

小数来表示; 而无限十进不循环小数则称为无理数 .有理数和无理数统称为实 数 . 用分数形式

为了以下讨论的需要,我们把有限小数(包括整数)也表示为无限小数.对此 我们作如下规定:对于正有限小数(包括正整数)x,当x= a0 .a1 a2 an 时,其 中0?ai?9,i=1,2, ,n,an≠0,a0 为非负整数,记

x = a0 .a1 a2

而当 x = a0 为正整数时 , 则记

x = ( a0 - 1 ) .9999

,

例如2 .001 记为2.000 999 9 ; 对于负有限小数( 包括负整数) y , 则先将 - y 表 示为无限小数, 再在所得无限小数之前加负号, 例如 -8 记为 -7.999 9 ; 又规 定数 0 表示为 0.000 0 .于是 , 任何实数都可用一个

数学分析第六章微分中值定理及其应用§3 泰勒公式一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式三、在近似计算中的应用*点击以上标题可直接前往对应内容多项式函数是最简单的函数.用多项式来逼近一般的函数是近似计算的重要内容,也是数学的研究课题之一.带有佩亚诺型余项的泰勒公式

设f(x)在x?x0处可导, 由有限增量公式

§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式

带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?o(x?x0).当|x?x0|充分小时, f(x)可以由一次多项式

f(x0)?f?(x0)(x?x0)近似地代替,其误差为o(x?x0).但在许多情况下,误差仅为o(x?x0)是不够的, 而要考虑用较高次的多项式来逼近f, 使得误差更小,如o((x?x0)).数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社后退

前进

目录

退出

n§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式

带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用

问题: 是否存在一个n次多项式Pn(x),使得

f(x)?Pn(x)?o((x?xo))?答案: 当f (x)在点x0有n 阶导数时, 这样的n 次多项式是存在的.现在来分析这样的多

数学分析第十四章幂级数一般项为幂函数a(x?x)的函数项级数称为幂级数,这是一类最简单的函数项级数.幂级数在级数理论中有着特殊的地位,在函数逼近和近似计算中有重要应用,特别是函数的幂级数展开为研究非初等函数提供了有力的工具.nn0§1 幂级数一、幂级数的收敛区间二、幂级数的性质三、幂级数的运算*点击以上标题可直接前往对应内容§1 幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算

幂级数的收敛区间

幂级数的一般形式为

?a(x?x)n0n?0?n?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)???an(x?x0)??n2(1)为方便起见,下面将重点讨论x0?0的情形.即

?an?0?nx?a0?a1x?a2x???anx??.n2n(2)因为只要把(2)中的x 换成x?x0,就得到(1).首先讨论幂级数(2)的收敛性.

除了x=0之外, 幂级数(2)还有其他收敛点吗？

数学分析第十四章幂级数高等教育出版社后退

前进

目录

退出

§1 幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算

?an?0?nx?a0?a1x?a2x???anx??定理14.1（阿贝尔定理）n2n(2)若幂级数(2)在x?x?0收敛,则对满足不等式|x|?|x|的任何x,幂级数(2)收敛而且绝对收

数学分析第十一章反常积分§1 反常积分概念反常积分讨论的是无穷区间上的积分和无界函数的积分，是定积分概念的推广.一、反常积分的背景二、两类反常积分的定义*点击以上标题可直接前往对应内容§1 反常积分概念反常积分的背景两类反常积分的定义

反常积分的背景

积分区间在讨论定积分时有两个最基本的条件：

的有穷性; 被积函数的有界性.

但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间上的“积分”或无界函数的“积分”.

例1 (第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v0至少要多大？

解设地球半径为R,火箭质量为m,地面上的重力加速度为g,按万有引力定理, 在距地心x(?R)数学分析第十一章反常积分高等教育出版社后退

前进

目录

退出

§1 反常积分概念反常积分的背景两类反常积分的定义

mgR处火箭所受的引力为F?,2x于是火箭从地面上升到距地心为r(?R)处需作功

2rmgR1?2?1dx?mgR?.??2?Rx?Rr?当r???时,其极限mgR就是火箭无限远离地球需作的功．于是自然把这一极限写作上限为??的积分2???RmgRdx?lim2r???x22?mgRdx?mgR.2Rxr2由机械能守恒定律初速度v0至少应使mv?mg

数学分析第三章函数极限在本章,我们将讨论函数极限的基本概念和重要性质.作为数列极限的推广,函数极限与数列极限之间有着密切的联系,它们之间的纽带就是归结原理.§1 函数极限概念一、x趋于?时的函数极限二、x趋于x0时的函数极限三、单侧极限*点击以上标题可直接前往对应内容§1 函数极限概念x趋于?时的函数极限

x趋于x0时的函数极限

单侧极限

x趋于?时的函数极限

设函数f(x)定义在?a,???上,当x沿着x轴的正向无限远离原点时,函数f (x)也无限地接近A,我们就称f(x)当x 趋于??时以A为

OyAf(x)极限.

x数学分析第三章函数极限高等教育出版社后退前进目录退出

§1 函数极限概念x趋于?时的函数极限

x趋于x0时的函数极限

单侧极限

π例如函数y?arctanx,当x趋于??时,以为极限.

2yπ21

0.5O10203040x数学分析第三章函数极限高等教育出版社§1 函数极限概念x趋于?时的函数极限

x趋于x0时的函数极限

单侧极限

定义1设f为定义在?a,???上的一个函数.A 为常数.存在M(?a)，使得若对于任意正数??0，当x?M时,f(x)?A??,则称函数f(x)当x趋于??时以A为极限.记为x???limf(x)?A或者f(x)?A(x???

一、选择题（每小题3分，共15分） 1．设函数

?x3y?f(x,y)??x6?y2?0?(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)，则它在点 (0, 0) 处是（ ）

(A) 连续的； (B) (C) 二重极限不存在； (D)

(x,y)?(0,0)limf(x,y)?f(0,0)

f(x,y)存在，但f(0,0)不存在

?z?y(x,y)?(0,0)lim2．z?f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数

?z?x及存在且连续是f(x,y)在该点可微

的（ ）

(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 以上都不是 3．设u?2xy?z2，则u在点 ( 2, -1, 1 ) 处的方向导数的最大值为（ ） (A) 26 (B) 4 (C) (-2, -4, -2) (D) 6 4．设z?x3?3x?y2，则它在点 (1, 0) （ ） (A) 取得极大值； (B) 不取得极值；

(C) 取得极小值； (D) 不能确定是否取得极值 5．设有空间区域V1?{(x,y,z)|x2?y2?z2?R2,z?0}，

V2?{