数值计算方法课后题答案

习题一

1

1．设x>0相对误差为2%，求x，x4的相对误差。 解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：

?(f(x))??(f(x))f(x)?xf(x)f'(x)?(x)得

（1）f(x)?x时

?(x)?xx(x)'?(x)?12?(x)?12*2%?1%；

（2）f(x)?x4时

?(x4)?xx4(x4)'?(x)?4?(x)?4*2%?8%

2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。

（1）x??12.1；（2）x??12.10；（3）x??12.100。 解：由教材P9关于?x??a1a2?am.b1b2?bn?型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，5

3．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）

哪个较精确？

解：（1）31.97+2.456+0.1352 ?fl(fl(0.3197?102?0.2456?101)?0.1352) =fl(0.3443?102?0.1352)

=0.3457?102

（2）31.97+（2.456

数值计算方法配套答案

第一章 绪论

一 本章的学习要求

（1）会求有效数字。

（2）会求函数的误差及误差限。 （3）能根据要求进行误差分析。

二 本章应掌握的重点公式

（1）绝对误差：设x为精确值，x为x的一个近似值，称e??x??x为x的绝对误

差。

??e?（2）相对误差：er??。

x?（3）绝对误差限：??e?x?x。 （4）相对误差限：?r???????x??x??xx?。

??df??（5）一元函数的绝对误差限：设一元函数f?x??0,则??f??? ????x?。?dx??df??（6）一元函数的相对误差限：?r?f???1?????x?。 ??f?dx????f???（7）二元函数的绝对误差限：设一元函数f?x,y??0,则??f??? ??y。?????y????f??1?（8）二元函数的相对误差限：?r?f????????x????f???x??????f???????y??。

???y???

第 - 1 - 页

数值计算方法配套答案

三 本章习题解析

1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，（1）试指出它们有几位有效数字，（2）分别

X2?估计A1?XX2X及A2?的相对误差限。

X4??1??3x1??1.

《数值计算方法》

邹昌文编

2009年10月

上机实验指导书

“数值计算方法”上机实验指导书

实验一 误差分析

实验1.1（病态问题）

实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。

数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。

问题提出：考虑一个高次的代数多项式

p(x) (x 1)(x 2) (x 20) (x k)

k 120

(1.1)

显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动

p(x) x19 0

(1.2)

其中 是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中x19的系数作一个小的扰动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。

实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个MATLAB函数：“roots”和“poly”。

u roots(a)

其中若变量a存储n+1维的向量，则该函数的输出u为

湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案

1

习题一

1．设x>0相对误差为2%

4

x的相对误差。

解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：

(())

(())'()()

()()

f x x

f x f x x

f x f x

δδ

?

=≈得

（1

）()

f x=

11

()()*2%1%

22

x x

δδδ

≈===；

（2）4

()

f x x

=时

44

4

()()'()4()4*2%8%

x

x x x x

x

δδδ

≈===

2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。

（1）12.1

x =；（2）12.10

x =；（3）12.100

x =。

解：由教材

9

P关于

1212

.

m n

x a a a bb b

=±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，5

3．用十进制四位浮点数计算

（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）

哪个较精确？

解：（1）31.97+2.456+0.1352

≈21

((0.3197100.245610)0.1352)

fl fl?+?+

=2

(0.3443100.1352)

fl?+

=0.34572

10

?

（2）31.97+（2

第一章 绪论（12）

1、设x 0，x的相对误差为 ，求lnx的误差。

[解]设x* 0为x的近似值，则有相对误差为 r*(x) ，绝对误差为 *(x) x*，从而lnx的误差为 *(lnx) (lnx*) (x*) 相对误差为 (lnx)

*

r

1*

x ， x*

*(lnx)

lnx*

lnx*

。

2、设x的相对误差为2%，求xn的相对误差。

[解]设x*为x的近似值，则有相对误差为 r*(x) 2%，绝对误差为 *(x) 2%x*，从而x的误差为 (lnx) (x) 相对误差为 (lnx)

*

r

n

*n

x x*

(x) n(x)

**n 1

2%x 2n% x

*

*n

，

*(lnx)

(x)

*n

2n%。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：

*****x1 1.1021，x2 0.031，x3 56.430，x5 385.6，x4 7 1.0。

***[解]x1 1.1021有5位有效数字；x2 0.0031有2位有效数字；x3 385.6有4**位有效数字；x4 56.430有5位有效数字；x5 7 1.0有2位有效数字。

****4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中x1均为第3

数值计算方法 黄云清编

数值计算方法

Project II solutions:

1.Give the formula of the following methods: Langerange Interpolation、Piecewise Linear Langerange Interpolation and Cubic Spline Interpolation

(1)Langerange Interpolation formula：

Ln(x) yili(x),

i 0n

li(x) (x x0)...(x xi 1)(x xi)...(x xn),i 0,1,...,n(xi x0)...(xi xi 1)(xi xi 1)...(xi xn)

其中基函数满足：

1,i j li(xj) 0,i j,i,j 0,1,...n

Piecewise Linear Langerange Interpolation formula： In yjlj(x),

j 0n

x xj 1,xj 1 x xj x xj 1 j x xj 1lj(x) ,xj x xj 1 xj x 0,x

Cubic Spline Interpolation：

S(x

数值计算方法试题一

一、填空题（每空1分，共17分）

31、如果用二分法求方程x?x?4?0在区间[1,2]内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。

2x?x??(x?2)局部收敛的充分条件是?取值在（ ）k?1kk2、迭代格式。 ?x30?x?1?S(x)??1(x?1)3?a(x?1)2?b(x?1)?c1?x?3??23、已知是三次样条函数，则

a=( )，b=（ ），c=（ ）。

4、l0(x),l1(x),?,ln(x)是以整数点x0,x1,?,xn为节点的Lagrange插值基函数，则

?lk?0nk(x)?( )，k?0?xlnkj(xk)?( )，当n?2时k?0?(xn4k2?xk?3)lk(x)?( )。

7425、设f(x)?6x?2x?3x?1和节点xk?k/2,k?0,1,2,?,则f[x0,x1,?,xn]? 7?和f0? 。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。

????(x)k?0是区间[0,1]上权函数?(x)?x的最高项系数为7、k1的正交多项

数值计算方法

?随着科学技术的飞速发展，科学计算愈来愈显示出其重要性。科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如：气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。因此，作为科学计算的数学工具数值计算方法已成为各咼輕院校数学、物理和井算*几应用专 ?工科本科生的专业基础课，也是工科矗究生

的学位必修课。

?数值分析或数值计算方法主要是研

究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和方法?对那些在经典数学中，用解析方法在理论上已作出解的存在，但要求出他的解析解又十分困难，甚至是不可能的这类数学问题，数值解法就显得不可缺少，同时有十分

?计算机解决科学计算问题时经历的几个过 程

-实际问题——> 数学模型——> 数值计算方

法——> 程序设计——> 上机运行求出解

-实际问题——〉数学模型：由实际问题应用科

学知识和数学理论建立数学模型的过程，是应

-数值计算方法——> 程序设计——> 计算结果

:

根据数学模型提出求解的数值计算方法，直到编出

程序上机算出解，是计算数学的任务。

?数值计算方法重点研究：求解的数值方法及与此有关的理论

-包括：方法的收敛性，稳定性，误差分析，计 q寸间的最小（也就是计算费用），占用内存空

数学问题的数值解法例示

?例仁1

数值计算方法思考题

第一章 预篇

1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？

3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。

4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？

5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？ 6．判断如下命题是否正确：

（1）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。 （2）无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。 （3）解对数据的微小变化高度敏感是病态的。 （4）高精度运算可以改善问题的病态性。

（5）用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （6）用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （7）两个相近数相减必然会使有效数字损失。

（8）计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。 7．考虑二次代数方程的求解问题

ax2 + bx + c = 0.

下面的公式是熟知的

?b?b2?4acx?.

2a

与之等价地有

x?

对于

2c?b?b?4ac2.

a = 1, b = -100 000 000 , c

数值计算方法思考题

第一章 预篇

1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？

3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。

4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？

5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？ 6．判断如下命题是否正确：

（1）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。 （2）无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。 （3）解对数据的微小变化高度敏感是病态的。 （4）高精度运算可以改善问题的病态性。

（5）用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （6）用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （7）两个相近数相减必然会使有效数字损失。

（8）计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。 7．考虑二次代数方程的求解问题

ax2 + bx + c = 0.

下面的公式是熟知的

?b?b2?4acx?.

2a

与之等价地有

x?

对于

2c?b?b?4ac2.

a = 1, b = -100 000 000 , c