一元二次方程总结归纳
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一元二次方程教案
学大教育个性化辅导教案
等于 0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解. (3)配方法: 例 3
x2 6 x 4 0
解:x 2 6 x 4 x 2 6 x 32 4 32 ( x 3) 2 5 x 3 5 x1 5 3, x2 5 3.就是把一元二次方程转化为可以直接直接开平方的方法。 教师提问三:那同学们又能说说步骤吗? 用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0
的一般步骤是: ①化二次项系数为 1, 即方程两边同时除以二次
项系数;②移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项;③配方,即方程两边都加上一次项系数一半的 平方;④化原方程为 ( x m) n 的形式;⑤如果 n 0 ,就可以用直接开平方求出方程的解,如果 n<0,则原方2
程无解. (4)公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后公式计算。 一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的求根公式是:2
x
b b 2 4ac 2 (b 4ac 0). 2a
例4 解:
x2 x
一元二次方程复习
用于期末复习
杨家中学2010-2011年度九年级上之一元二次方程复习
一、选择题 1.(2010江苏苏州)下列四个说法中,正确的是 A
.一元二次方程x2 4x 5
2有实数根;
B
.一元二次方程x2 4x 5 2 C
.一元二次方程x2 4x 5 3
有实数根;
D.一元二次方程x2+4x+5=a(a≥1)有实数根.
3.(2010安徽芜湖)关于x的方程(a -5)x2-4x-1=0有实数根,则a满足( )
A.a≥1 B.a>1且a≠5 C.a≥1且a≠5 D.a≠5 4.
5.(10湖南益阳)一元二次方程ax2
bx c 0(a 0)有两个不相等...
的实数根,则b2
4ac满足的条件是
A.b2 4ac=0 B.b2 4ac>0 C.b2 4ac<0 D.b2 4ac≥0
6.(2010山东日照)如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2,x2=1,那么p,q的值分别是
(A)-3,2 (B)3,-2 (C)2,-3 (D)2,3 7.(2010四川眉山)已知方程x2 5x 2 0的两个解分别为x1、x
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法 一元二次方程的解法
一、知识要点:
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基
础,应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2
的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解
法:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。
二、方法、例题精讲:
1、直接开平方法:
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程,其解为x=m± .
例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11
分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以
此方程也可用直接开平方法解。
(1)解:(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
(2)解: 9x2-24x
一元二次方程总复习
十一)、几何类题 (2)动态几何问题
图2
图3 B
Q
CP
图4 http://www.77cn.com.cn
例:如图4所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动,点Q从C
点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
(1)如果P、Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为8平方厘米?
(2)点P、Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在,求出运动的时间;若不存在,说明理由.
解:因为∠C=90°,所以AB=10(cm).
(1)设xs后,可使△PCQ的面积为8cm2,所以 AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm. 则根据题意,得
1
·(6-x)·2x=8.整理,得x2-6x+8=0,解这个方程,得x1=2,x2=4. 2
所以P、Q同时出发,2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2. (2)设点P出发x秒后,△PCQ的面积等于△ABC面积的一半. 则根据题意,得
2
111(6-x)·2x=××6×8.整理,得x2-6x+12=0. 222
-6 4 1
一元二次方程教材分析
一元二次方程教材分析
新墩中心学校
一.本章内容分析
本章主要介绍了一元二次方程及有关概念,一元二次方程的解法,运用一元二次方程分析和解决实际问题。其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。
方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备.
数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固. 二.课时安排: 2.1 花边有多宽 2课时
2.2 配方法 3课时 2.3 公式法 2课时 2.4 分解因式法 2课时 2.5 为什么是0.618 2课时 回顾与思考 2课时 三、本章知识结构图 四.单元内容分析
2.1 花边有多宽
本小节分两课时,以实际问题为背景,引出一元二次方程的概念,归纳出
一元二次方程的一般形式,给出一元二次方程根的概念。
⒈教学目标:(1)通过实际问题了解一元二次方程的定义及一般形式;
(2)会将一个整式方程化为一元二次方程的一般形式,并能指
出二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项。
教学重点:一元二次方程及有关概念的理解.
教学难点:准
一元二次方程经典例题
一元二次方程应用题经典题型汇总
一 几何图形转换问题
例1、(2013?昆明)如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644米,则道路的宽应为多少米?设道路的宽为x米,则可列方程为( )
2
A. 100×80﹣100x﹣80x=7644 C. (100﹣x)(80﹣x)=7644
考由实际问题抽象出一元二次方程. 点: 专几何图形问题. 题: 分把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩下的草坪是一个长方析: 形,根据长方形的面积公式列方程. 解解:设道路的宽应为x米,由题意有 答: (100﹣x)(80﹣x)=7644, 故选C. 点此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,把中间修建的两条道路分别平移评: 到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键. B. (100﹣x)(80﹣x)+x=7644 D. 100x+80x=356 2练习: 将一块长18米,宽15米的矩形荒地修建成一个花园(阴影部分)所占的面积为原来荒地面积的三分之二.(精确到0.1m)
(1)设计方案1(如图2)花园是两个互相垂直且宽度相等的矩形. (2)设计方案2(如图3)花园
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法 一元二次方程的解法
一、知识要点:
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基
础,应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2
的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解
法:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。
二、方法、例题精讲:
1、直接开平方法:
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程,其解为x=m± .
例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11
分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以
此方程也可用直接开平方法解。
(1)解:(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
(2)解: 9x2-24x
一元二次方程学案_1
一元二次方程学案
3.1
学习目标:
会根据具体问题列出一元二次方程,体会方程的模型思想,提高归纳、分析的能力。
理解一元二次方程的概念;知道一元二次方程的一般形式;会把一个一元二次方程化为一般形式;会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
课堂研讨:
探究新知
【例1】小明把一张边长为10c的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子,如果要求长方体的底面积为81c,那么剪去的正方形的边长是多少?
设剪去的正方形的边长为xc,你能列出满足条件的方程吗?你是如何建立方程模型的?
合作交流
动手实验一下,并与同桌交流你的做法和想法。
列出的方程是.
自主学习
【做一做】根据题意列出方程:
一个正方形的面积的2倍等于50,这个正方形的边长是多少?
一个数比另一个数大3,且这两个数之积为这个数,求这个数。
一块面积是150c长方形铁片,它的长比宽多5c,则铁片的长是多少?
观察上述四个方程结构特征,类比一元一次方程的定
义,自己试着归纳出一元二次方程的定义。
【我学会了】
只含有个未知数,并且未知数的最高次数是,这样的方程,叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式:,其中二次项,是一次项,
是常数项,二次项系数,一次项系数。
展示反馈
【挑战自我】判
一元二次方程根的分布情况归纳总结(2013.07.22)
2ax bx c 0根的分布情况 一元二次方程
设方程ax bx c 0 a 0 的不等两根为x1,x2且x1 x2,相应的二次函数为f x ax2 bx c 0,
2
方程的根即为二次函数图象与x轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)
表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况)
需满足的条件是
根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间 m,n 外,即在区间两侧x1 m,x2 n,(图形分别如下)
f m 0 f m 0
(1)a 0时, ; (2)a 0时,
f n 0 f n 0
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在 m,n 内有以下特殊情况:
1 若f m 0或f n 0,则此时f m f n 0不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n,
可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间 m,n 内,从而可以求出参数的值。如方程mx m 2 x 2 0
2
在区间 1,3 上有一根,因为f 1 0,所以mx2 m 2 x 2 x 1 mx 2 ,另一根为得
22
,由1 3mm
2
m 2即为所求; 3
2 方程有且只有一根,且这个根在区间 m,n
一元二次方程导学案(2)
班级:九 科目:数学 教研组长审核: 姓名:杨智雄 认识一元二次方程导学案 学习目标
1. 知道一元二次方程的定义,能熟练地把一元二次方程整理成一般形式 ( ≠0) 2. 在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具,增加对一元二次方程的感性认识。
3. 会用试验的方法估计一元二次方程的解。 【重点难点】:
1.一元二次方程的意义及一般形式,会正确识别一般式中的“项”及“系数”。 2. 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。 教学过程 一、情境引入:
(1)正方形桌面的面积是2m ,求它的边长? 解:设正方形桌面的边长是xm, 根据题意,得
(2)矩形花圃一面靠墙,另外三面所围的栅栏的总长度是19米。如果花圃的面积是24m2,求花圃的长和宽?
解:设花圃的宽是 xm则花圃 的长是(19-2x)m
根据题意,得x(19-2x)=24 整理的
(3)我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册,平均每年增长的百分率是多少?
解:设平均每年增长的百分率是x 根据题意,得
整理,得
(4)长5米的梯子斜