二次根式培优专题训练

知识点一：二次根式的概念

【知识要点】 1.二次根式的定义： 形如才有意义．

2. (a)2?aa(?0)．

的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，

a(a?0)? 3. 公式a2?与(a)2?aa(?0)的区别与联系. |a|???a(a?0)?（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数． （2）(a)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数． （3）a2和(a)2的运算结果都是非负的． 精典考题

类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围） 1、下列各式中，不是二次根式的是（ ） A．45 B．3?? C．14 D．

1 22、二次根式

2x?1有意义时的x的取值范围是 。 2x?43、已知： y?x?2??x?2?1，则(x?y)2001= 。

类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简） 4、代数式3?4?x2的最大值是 。

5、实数在数轴上的位置如图1所示，化简a?1?(a?2)2???。 6、把?43的根号外的因式移到根号内得 ；5?26的平方根是 。 7、化简：x?

一、填空题

1、(?9)2的算术平方根是 。

2、已知一块长方形的地长与宽的比为3：2，面积为3174平方米，则这块地的长为 米。 3、已知a?1?(b?1)2?0,则3a?1?x?2b? 。

4、已知y?x?1?42x?1,则(32)x?y= 。

5、设等式a(x?a)?a(y?a)?3x?xy?yx?xy?y222x?a?a?y在实数范围内成立，其中a、x、y是

两两不相等的实数，则

2的值是 。

6、已知a、b为正数，则下列命题成立的： 若a?b?2,则ab?1;若a?b?3,则ab?32；若a?b?6,则ab?3.

根据以上3个命题所提供的规律，若a+6=9，则ab? 。 7、已知实数a满足1999?a?8、已知实数a,b,c满足12a-b?a?2000?a,则a?1999? 。

2b?c?c?c?2214?0,则cab的算术平方根是 。

9、已知x、y是有理数，且x、y满足2x2?3y?y2?23?32，则x+y= 。 10、由下列等式：

3227?2327,33326?33326,344

《二次根式》提高测试

（一）判断题：（每小题1分，共5分）

1．2．3．

(?2)2ab＝－2ab．…………………（

（ 3－2的倒数是3＋2．

）【提示】

）【提示】

(?2)2＝|－2|＝2．【答案】×．

13?2＝＝－（3＋2）．【答案】×．

3?43?2(x?1)2＝|x－1|，(．两x?1)2＝x－1（x≥1）

(x?1)2＝(x?1)2．…（

2axb ）【提示】

式相等，必须x≥1．但等式左边x可取任何数．【答案】×． 4．

ab、

13a3b、?是同类二次根式．…（ ）【提示】

13a3b、?2axb化成最

简二次根式后再判断．【答案】√． 5．

8x，

12，9?x3都不是最简二次根式．（ ）

9?x2是最简二次根式．【答案】×．

（二）填空题：（每小题2分，共20分）

6．当x__________时，式子

1有意义．【提示】x何时有意义？x≥0．分式何时有意义？分母x?3＝_．【答案】－2a

【点评】注意除法法则和积的算术平方根性a．

不等于零．【答案】x≥0且x≠9． 7．化简－

1582

1025÷2712a3质的运用． 8．a－

2【提示】（a－a?1）（________）＝a2－a2?1的有理化因式是____________．

2【答案】a＋a?

二次根式培优测试卷

姓名： 得分：

一．选择题（每小题4分，共40分） 1．二次根式中x的取值范围是（ ）

A．x＞3 B．x≤3且x≠0 C．x≤3 D．x＜3且x≠0

2．计算：﹣

，正确的是（ ）

A．4

B．

C．2

D．

3．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2

和12cm2

的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）cm2．

A．16﹣8

B．﹣12+8

C．8﹣4 D．4﹣2

4．若1＜x＜2，则

的值为（ ）

A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 5．下列计算正确的是（ ） A．

=2

B．

=

C．

=x

D．

=x

6．已知x3?3x2＝－xx?3，则下列正确的是（ ） A.x≤0 B．x≤－3 C．x≥－3 D．－3≤x≤0 7．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A．

B．

C．

D．

8．化简+

﹣

的结果为（ ） A．0

B．2

C．﹣

课时6 二次根式

课前热身：

1.（07福州）当x___________时，二次根式x?3在实数范围内有意义 2.（07上海）计算：(3)2?__________． 3.（05北京）若无理数a满足不等式

____ ___。

，请写出两个符合条件的无理数_____ __、

4.（06长春）计算：4?5= _____________。 5．下列根式中与3同类二次根式的是（ ）． A．18 B．24C.12D.3 2知识整理：

1．二次根式的有关概念

⑴ 式子a(a?0) 叫做二次根式．注意被开方数a只能是 ．并且根式。 ⑵ 简二次根式

被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式，叫做最简二次根式． (3)同类二次根式

化成最简二次根式后，被开方数 几个二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质 ⑴ ⑵ ?a? ⑶

2a 0

? （a≥0） ⑶ a2? ；

ab? （a?0,b?0） a?

二次函数培优训练（五）

一．选择题：

1.在反比例函数y?

a

中，当时，y随x的增大而减小，则二次函数y?ax2?ax的图象大致是x

y O O x B．

C． y x y O x D．

下图中的（ ）【来源：21·世纪·教育·网】

y O A．

x 2.已知二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的图象经过点 A（－2，0）、O（0，0）、 B（－3，y1）、C（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系正确的是（ ） A. y1＜y2 B. y1＞y2 C.y1＝y2 D.不能确定

3．二次函数y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：

x y ﹣1 ﹣1 0 3 1 5 3 3 下列结论：（1）ac＜0； （2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．

（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0． 其中正确的个数为（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

4.下表中所列x，y的数值是某二次函数y

精品专题课程 · 初中数学

第十讲 二次根式

一、二次根式考点

考点： 1、二次根式的相关概念； 2、最简二次根式； 3、化简二次根式； 4、利用二次的性质进行运算； 5、求代数式的值； 6、比较二次根式的大小； 7、二次根式的开放性问题； 8、二次根式的应用。 二、知识梳理/提炼

1.二次根式的定义：式子 叫做二次根式. 2.二次根式的性质 （1）

、?a?＝a（a≥0）

2a2＝a，

（2）ab＝a·b（a≥0，b≥0），aa＝（a≥0，b＞0）. bb3.最简二次根式：符合条件（1）被开方式中不含有开得尽方的数或因式，（?2）被开方式中不含有分母，符合以上两个条件的二次根式叫最简二次根式.

4.分母有理化

（1）互为有理化因式：?两个带有二次根式的代数式相乘不再含有二次根式，则这两个代数式叫做互为有理化因式，常见的有理化因式有：a与±a，a+b与a－b，a+b与a－b，ma+nb与ma－nb；

（2）分母有理化：把分母中的根号化去过程，叫做分母有理化，?方法是在分子分母上同乘以分母的有理化因式.

5.二次根式的运算：（1）加减运算：化成同类

二次根式复习专题讲义

一、二次根式的概念：

1.二次根式：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“称为二次根号。

①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。

②.

a”

（a≥0）是一个非负数。

a③. （

）2＝a（a≥0）；a2=a（a≥0）

2.二次根式的乘： ①.一般的，有a2abb＝aab．（a≥0，b≥0） b②. 反过来，有＝3 ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 ) 3.二次根式的除：

①. 一般地，对二次根式的除法规定：

ab=abab（a≥0，b>0）， ab ②. 反过来，=（a≥0，b>0） 4. 二次根式的加减法则：

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

典型例题分析：

例1. 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

2、33、1、xx（x>0）、0、42、-2、1x?y、x?y（x≥0，

y?≥0）．

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；

第二，被开方数是正数或0。

解：二次根式有：2、

x（x>0）、30、-42、1x?y（x

≥0，y≥0）；不是二次根式的有：例2.当x是多少时， 分析：要使满足2x?32x

浙江版数学八年级下教案——第一章《二次根式》

§1.1二次根式

教学目标：

1、经历二次根式概念的发生过程； 2、了解二次根式的概念；

3、理解二次根式何时有意义，无意义，会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围； 4、会求二次根式的值。

重点与难点：本节教学的重点是二次根式的概念。例1的第（2），（3）题学生不容易理解，是本节教学的难点。

教学设想：课本在回顾算术平方根的基础上，通过“合作学习”的三个问题引出二次根式的概念，并说明以前学的数的算术平方根也叫二次根式，在例题和练习的安排上，着重体现三个方面的要求：一是求二次根式中字母的取值范围；二是求二次根式的值；三是用二次根式表示有关的问题。因此在教学中我采用基本按照教材的主体设计意图，按教材的步骤进行教学，让学生在自主学习的基础上，发现教材中的学习重点，概括学习所得，提升学生的学习能力。 教学过程：

一、引入（合作学习）：

根据图1—1所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空：

直角三角形的斜边长是____________； 正方形的边长是____________； 等边三角形的边长是_________。

首先是让学生进行自主学习，并在实际情境中写出表

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杨嘉敏 同学个性化教学设计

年级： 初二 教师： 丁诗雅 科目： 数学

班主任： 王卫卫 日期： 时段： 课题 二次根式 通过具体问题探求并掌握二次根式的基本性质：当a≥0时，个性质进行一些简单的计算与化简。 理解公式（a）=a（a≥0）, a?a，并能利用公式进行二次根式的化简 2教学目标 ?a?= a；能运用这22 重难点透析 二次根式的概念、基本性质以及二次根式的混合运算 知识点剖析 序号 1 2 3 知识点梳理 典型例题讲解 随堂练习巩固所学知识

课堂反馈： ○非常满意 ○满意 ○一般 ○差 学生签字： 主任签字： 日 期：

追 求 卓 越 崇 尚 完 美

知识点