高等数学下复习资料

《高等数学复习》教程

第一讲 函数、连续与极限

一、理论要求

1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）

2.极限 3.连续

二、题型与解法 A.极限的求法 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）

极限存在性与左右极限之间的关系

夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限

函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）

（1）用定义求

（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法 （4）两个重要极限法

（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法

（7）洛必达法则与Taylor级数法

（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

1.limarctanx?xarctanx?x1（等价小量与洛必达） ?lim??33x??0ln(x??061?2x)2xsin6x?xf(x)6?f(x)?0，求lim 32x??0x??0xx2.已知limsin6x?xf(x)6cos6x?f(x)?xy'?limx??0解：x??0 x33x2lim?36sin6x?2y'?xy''?216cos6x?3y''?xy'''?limx??0

第一章极限和连续

第一节极限

[复习考试要求]

1.了解极限的概念（对极限定义

等形式的描述不作要求）。

会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必

要条件。

2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。

4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

第二节函数的连续性

[复习考试要求]

1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。

3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。

第二章一元函数微分学 第一节导数与微分

[复习考试要求]

1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数

第一章极限和连续

第一节极限

[复习考试要求]

1.了解极限的概念（对极限定义

等形式的描述不作要求）。

会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必

要条件。

2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。

4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

第二节函数的连续性

[复习考试要求]

1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。

3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。

第二章一元函数微分学 第一节导数与微分

[复习考试要求]

1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数

第八章 多元函数微分法及其应用

一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法

在求

?z?z时，应将y看作常量，对x求导，在求时，应将x看作常量，对y求导，所运用的是一元函?x?y数的求导法则与求导公式.

2、复合函数的偏导数的求法

设z?f?u,v?，u???x,y?，v???x,y?，则

?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v????，???? ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y几种特殊情况：

1）z?f?u,v?，u???x?，v???x?，则

dzdz?u?zdv???? dxdu?x?vdx?f?v2）z?f?x,v?，v???x,y?，则?x??x??v??x，

?z?f?z?f?v?? ?y?u?y3）z?f?u?，u???x,y?则

?zdz?u?zdz?u????， ?xdu?x?ydu?y3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况

设z?z?x,y?是由方程F?x,y,z??0唯一确定的隐函数，则

F?z??x?xFz?Fz?0?，

Fy?z???yFz?Fz?0?

或者视z?z?x,y?，由方程F?x,y,z??0两边同时对x(或y)求导解出

?z?z(或). ?x?y2）方程组的情况

由方程组??F?x,y,u,

《高等数学》（专科升本科）复习资料

一、复习参考书：全国各类专科起点升本科教材

高等数学（一）第3版 本书编写组 高等教育出版社 二、复习内容及方法：

第一部分 函数、极限、连续

复习内容

函数的概念及其基本性质，即单调性、奇偶性、周期性、有界性。数列的极限与函数的极限概念。收敛数列的基本性质及函数极限的四则运算法则。数列极限的存在准则与两个重要的函数极限。无穷小量与无穷大量的概念及其基本性质。常见的求极限的方法。连续函数的概念及基本初等函数的连续性。函数的间断点及其分类与连续函数的基本运算性质，初等函数的连续性。闭区间上连续函数的基本性质，即最值定理、介值定理与零点存在定理。

复习要求

会求函数的定义域与判断函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性。掌握数列极限的计算方法与理解函数在某一点极限的概念，同时会利用恒等变形、四则运算法则、两个重要极限等常见方法计算函数的极限。掌握理解无穷小量与无穷大量的概念及相互关系，在求函数极限的时候能使用等价代换。理解函数连续性的定义，会求给定函数的连续区间及间断点；；能运用闭区间上连续函数的性质证明一些基本的命题。

重要结论

1. 两个奇（偶）函数之和仍为奇（偶）函数；两个奇（偶）函数之积必为偶函数

专升本高等数学复习资料

一、函数、极限和连续 1．函数

y?f(x)的定义域是（ ）

y?f(x)的表达式有意义的变量x的取值范围

A．变量x的取值范围 B．使函数

C．全体实数 D．以上三种情况都不是 2．以下说法不正确的是（ ）

A．两个奇函数之和为奇函数 B．两个奇函数之积为偶函数 C．奇函数与偶函数之积为偶函数 D．两个偶函数之和为偶函数 3．两函数相同则（ ）

A．两函数表达式相同 B．两函数定义域相同

C．两函数表达式相同且定义域相同 D．两函数值域相同 4．函数

y?4?x?x?2的定义域为（ ）

A．(2,4) B．[2,4] C．(2,4] D．[2,4) 5．函数

f(x)?2x3?3sinx的奇偶性为（ ）

A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．无法判断

1?x,则f(x)等于( )

2x?1xx?21?x2?x A． B． C．

《高等数学》（专科升本科）复习资料

一、复习参考书：全国各类专科起点升本科教材

高等数学（一）第3版 本书编写组 高等教育出版社 二、复习内容及方法：

第一部分 函数、极限、连续

复习内容

函数的概念及其基本性质，即单调性、奇偶性、周期性、有界性。数列的极限与函数的极限概念。收敛数列的基本性质及函数极限的四则运算法则。数列极限的存在准则与两个重要的函数极限。无穷小量与无穷大量的概念及其基本性质。常见的求极限的方法。连续函数的概念及基本初等函数的连续性。函数的间断点及其分类与连续函数的基本运算性质，初等函数的连续性。闭区间上连续函数的基本性质，即最值定理、介值定理与零点存在定理。

复习要求

会求函数的定义域与判断函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性。掌握数列极限的计算方法与理解函数在某一点极限的概念，同时会利用恒等变形、四则运算法则、两个重要极限等常见方法计算函数的极限。掌握理解无穷小量与无穷大量的概念及相互关系，在求函数极限的时候能使用等价代换。理解函数连续性的定义，会求给定函数的连续区间及间断点；；能运用闭区间上连续函数的性质证明一些基本的命题。

重要结论

1. 两个奇（偶）函数之和仍为奇（偶）函数；两个奇（偶）函数之积必为偶函数

关于高等数学复习资料

归纳大全

Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

《高等数学复习》教程

第一讲函数、连续与极限

一、理论要求

1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）

几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）

2.极限极限存在性与左右极限之间的关系

夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限

3.连续函数连续（左、右连续）与间断

理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）

二、题型与解法

的求法（1）用定义求

（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）

（3）变量替换法

（4）两个重要极限法

（5）用夹逼定理和单调有界定理求

（6）等价无穷小量替换法

（7）洛必达法则与Taylor级数法

（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

1.612arctan lim )21ln(arctan lim

3030-=-=+->->-x

x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2

030)(6lim 0)(6sin lim x x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin lim x

专升本高等数学复习资料

一、函数、极限和连续 1．函数

y?f(x)的定义域是（ ）

y?f(x)的表达式有意义的变量x的取值范围

A．变量x的取值范围 B．使函数

C．全体实数 D．以上三种情况都不是 2．以下说法不正确的是（ ）

A．两个奇函数之和为奇函数 B．两个奇函数之积为偶函数 C．奇函数与偶函数之积为偶函数 D．两个偶函数之和为偶函数 3．两函数相同则（ ）

A．两函数表达式相同 B．两函数定义域相同

C．两函数表达式相同且定义域相同 D．两函数值域相同 4．函数

y?4?x?x?2的定义域为（ ）

A．(2,4) B．[2,4] C．(2,4] D．[2,4) 5．函数

f(x)?2x3?3sinx的奇偶性为（ ）

A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．无法判断

1?x,则f(x)等于( )

2x?1xx?21?x2?x A． B． C．

华南理工大学网络教育学院 《高等数学（上）》辅导

一、 求函数值 例题：

1、若f(x)?x2，?(x)?ex，则f(?(x))? ． 解：f(?(x))?f(e)??exx2??e2x

2、若f(x?1)?2x?1，则f(x)? ． 解：令x?1?t，则x?t?1 所以f(t)?2(t?1)?1?2t?3

即 f(x)?2x? 3

二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小：

x?0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx

x~ln(1?x)~ex-1

1211?cosx~x,1?x?1~x

22第1页 共23页

无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用

相应的等价无穷小替换

例题：

sin33x?？ 1、lim2x?0x解：当x?0，sin3x~3x，

(3x)3原式=lim2?lim27x?0

x?0x?0x

sin3x2、lim?？

x?0x解：原式=lim 3、lim3x?3

x?0x1-cosx?？ 2x?0x12解：当x?0，1-cosx~x

212x12 原式=lim2?

x?0x2

第2页 共23页

4、limln(1