线性代数逆矩阵例题及答案

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模块四逆矩阵与初等矩阵

Ⅰ教学规划

【教学目标】

1、全面复习逆矩阵的基本概念和常用性质、公式

2、系统掌握矩阵可逆性的讨论及逆矩阵的计算方法

3、系统掌握伴随矩阵的概念、性质和常用公式

4、掌握初等矩阵与初等变换的基本关系

5、理解初等矩阵与逆矩阵的本质联系

【主要内容】

1、逆矩阵的概念和性质

2、伴随矩阵的概念、性质和常用公式

3、矩阵可逆性的讨论

4、逆矩阵的计算

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中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料 5、矩阵方程的求解

6、初等变换与初等矩阵

【重难点】

1、伴随矩阵相关的计算与证明

2、矩阵可逆性的讨论

3、矩阵方程的求解

Ⅱ 知识点回顾

一．逆矩阵

1.定义

对于一个n 阶方阵A ，如果存在一个n 阶方阵B ,使得AB =

线性代数

第一章 行列式

典型例题

一、利用行列式性质计算行列式

二、按行（列）展开公式求代数余子式

12343344??6，试求A41?A42与A43?A44.

15671122 已知行列式D4?三、利用多项式分解因式计算行列式

1112?x21．计算D?1313xbcbxc2．设f(x)?bcxbcd2323.

1519?x2dd，则方程f(x)?0有根x?_______. dx四、抽象行列式的计算或证明

1.设四阶矩阵A?[2?,3?2,4?3,?4],B?[?,2?2,3?3,4?4]，其中?,?,?2,?3,?4均为四维列向量，且已知行列式|A|?2,|B|??3,试计算行列式|A?B|. 2.设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，且|A|??(3A)?1?2A*O?2??.

OA??1，试计算行列式23.设A是n阶(n?2)非零实矩阵，元素aij与其代数余子式Aij相等，求行列式|A|.

?210??,矩阵B满足ABA*?2BA*?E,则|B|?_____. 1204.设矩阵A??????001??5.设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵

A?(?1,?2,?3),B?(?1??2??3,?1?2?24?3,?1?3?2?

第一章 线性代数复习与引深

第一节 行列式性质与矩阵求逆

一、 行列式性质

1、 若行列式A的某行（或列）为零，则行列式A为零； 2、 ?A??nA,?为常数；

3、 若行列式A的某两行（或某列）对应成比例，则行列式A为

零；

4、 若行列式A的某两行（或某列）互换，则所得行列式=—A； 5、

AT?A；

6、 若行列式A的某一行（或某一列）乘上一个常数加到另一行

（或列）相应的元素上，则所得行列式=A； 7、 若A1,A2,?,Ak是n阶方阵，则A1A2?Ak??Ai；

i?1k8、

A110A12A22?A11A210A22?A11A22，其中A11,A22为方阵；

9、 若ATA?AAT?I，则A??1；

10、 若A为三角阵（上三角、下三角），则A??aii；

i?1n11、 A??aijAij??aijAij；

j?1i?1nn12、 设Ap?q,Bq?p，Ip?AB?Iq?BA。 证 Ip?AB?IqIp?AB?注

1?a1?a。 ?b101?abIpB?AIq?IqIP?BA?Iq?BA

二、矩阵求逆

1、定义 AB?BA?I； 2、判定 A?0； 3、求逆 A?1?1*1A?(Aij)T； AA (A?I

《数学实验》在线习题3

Matlab程序设计部分 一. 分

析

向

量

组

a1?[1T2a23?]?,?T[a31T?2，0],a4?[1?2?1]T，a5?[246]T的线性相关性，找出它们的最大无关组，并将其

余向理表示成最大无关组的线性组合。

解， a1=[1 2 3]';

a2=[-1 -2 0]'; a3=[0 0 1]'; a4=[1 -2 -1]'; a5=[2 4 6]'; A=[a1,a2,a3,a4,a5] ; [R,S]=rref(A) r=length(S)

R =

1.0000 0 0.3333 0 2.0000 0 1.0000 0.3333 0 0 0 0 0 1.0000 0 S =

1 2 4 r =

3

线性相关 a1,a2,a3,a4,a5 最大无关组是a1,a2,a4

其余向量的线性组合是a3=1/3a1+1/3a2 a5=2a1

二. 计算行列式

第2章 矩阵

授课序号01 a ??

，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为()n a ??.

12n n nn a a a ??

11212212

000n n nn a a a a a a ?? ? ???与上三角矩阵00nn a ??2000n λλ??????，n 阶对角矩阵也常记为12diag(,,,)Λ=λλλ.

0000a a a ??????

，简记为10

001

01? ??)?ij m n a ，若当>i j 时，恒有行数增大而增多，则称该矩阵为上梯形矩阵；若当，而关于主对角线对称的元素互为相反数

授课序号02 ()a =A 122

m m m mn mn b a b a b ?+++?矩阵，则

mn n

a x ++经过线性计算得到了m 线性变换的系数a

sj b ???第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数,两个矩阵的乘法才有意义，即应有A B C =次多项式.

1

2m m mn a a a ??12n n mn a a a ??

A 的转置矩阵,记作T A . 2．矩阵的转置满足的运算规律：设以下运算都有意义(1)()T T A A =； (2)(A +12m m A A A =?为非奇异矩阵，否则称为奇异矩阵. 12n n

nn A A A ?

《数学实验》在线习题3

Matlab程序设计部分 一. 分

析

向

量

组

a1?[1T2a23?]?,?T[a31T?2，0],a4?[1?2?1]T，a5?[246]T的线性相关性，找出它们的最大无关组，并将其

余向理表示成最大无关组的线性组合。

解， a1=[1 2 3]';

a2=[-1 -2 0]'; a3=[0 0 1]'; a4=[1 -2 -1]'; a5=[2 4 6]'; A=[a1,a2,a3,a4,a5] ; [R,S]=rref(A) r=length(S)

R =

1.0000 0 0.3333 0 2.0000 0 1.0000 0.3333 0 0 0 0 0 1.0000 0 S =

1 2 4 r =

3

线性相关 a1,a2,a3,a4,a5 最大无关组是a1,a2,a4

其余向量的线性组合是a3=1/3a1+1/3a2 a5=2a1

二. 计算行列式

线性代数《矩阵》相关习题

《线性代数》第二章练习题

102

9、设A是4 3矩阵且r(A) 2，B 020

，则r(AB)

103

一、填空题

10、设A 100

220

，则(A ) 1 1、设A 12 3 2 T

13 ，B 21

，则；；B 345

300 2、设矩阵A 15 13 B 31

则3A B ，11、设A 140

，则(A 2I) 1

， 20 ，

A 1B

。

003

3、设A为三阶矩阵，且A 2，则2A* A 1

5200

4、设矩阵A为3阶方阵，且|A|=5，则|A*|=______，|2A|=_____

12、设A 2

100

001 2 ，则A 1

3、设A 120 340 23 1 ABT

00

11

，B 121

240

，则= 13、已知A为四阶方阵，且A

1

112

，则(3A) 1 2A 4、设A 1 225

，且r(A) 2，则t

11t 214、设 A

3

,A2 _________，An=_________

1233 03 12 4

5、若

一、单项选择题（共20题）

1.λ≠（ ）时，方程组A.1 B.2 C.3 D.4

【正确答案】B

【您的答案】B 【答案正确】

只有零解。

2.已知三阶行列式D中的第二列元素依次为1，2，3，它们的余子式分别为-1，1，2，D的值为（ ） A.-3 B.-7 C.3 D.7

【正确答案】A

【您的答案】A 【答案正确】

3.设某3阶行列式︱A︱的第二行元素分别为-1,2,3,对应的余子式分别为-3,-2,1，则此行列式︱A︱的值为（ ）. A.3 B.15 C.-10

D.8

【正确答案】C

【您的答案】C 【答案正确】

4.行列式D如果按照第n列展开是（ ）。 A.a1nA1n+a2nA2n+...+annAnn B.a11A11+a21A21+...+an1An1 C.a11A11+a12A21+...+a1nAn1 D.a11A11+a21A12+...+an1A1n 【正确答案】A

【您的答案】A 【答案正确】

5.行列式中元素g的代数余子式的值为（ ）。

A.bcf-bde B.bde-bcf C.acf-ade D.ade-acf

【正确答案】B

【您的答案】B 【答案正确】

6.行列式A.abcd B

高数选讲线性代数部分作业

1．已知n阶方阵满足A2+2A-3I＝O，则(A+4I)-1为 .

2．设n阶方阵满足Am?I,m为正整数，又矩阵B?(Aij)n?n,其中Aij为行列式|A|中元素ａij 的代数余子式，则Bm为（ ）。

3．已知n阶方阵

?2??0A??0????0?22?2??11?1?01?1?，则A中所有元素的代数余子式之和为（ ）。

??????00?1??

4．设Ax?[?1,?2,?3,?4]x?b有通解k[1,-2,1,3]T+[2,1,1,4]T,其中k是任意常数，则方程组Bx?[?5,?2,?3,?4]x?b必有一个特解是（ ）

5．设A与B是n阶方阵，齐次线性方程组Ax＝0与Bx＝0有相同的基础解系?1,?2,?3，则在下列方程组中以?1,?2,?3为基础解系的是（ ） (A) (A?B)x?0 (B) ABx?0 (C) BAx?0 (D) ??B??x?0

?A???6．设A、B为四阶方阵，r(A)?4,r(B)?3,则r[AB]为( )

（A）1． （B）2.

（试卷一）

一、 填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。 2. 若

a11a21a12a22a11?1，则a213a123a22600? 103. 已知n阶矩阵A、其中E为n阶单位矩阵，则B和C满足ABC?E，

B?1?CA。

4. 若A为m?n矩阵，则非齐次线性方程组AX?b有唯一解的充分要条件是 _________

5. 设A为8?6的矩阵，已知它的秩为4，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。 6. 设A为三阶可逆阵，A?1?100?????210?，则A*? ?321???7.若A为m?n矩阵，则齐次线性方程组Ax?0有非零解的充分必要条件是

12345304128.已知五阶行列式D?11111，则A41?A42?A43?A44?A45? 11023543219. 向量??(?2,1,0,2)T的模（范数）______________。 10.若???1k1?T与???1?21?T正交，则k?

二、选择题（本题总计10分，每小题2分）

- 1 -

1. 向量组?1,?2,?,?r