高中圆锥曲线解题技巧

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1 1 圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如 （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．

421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）

； （2

）

方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左

支）

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心

圆锥曲线的解题技巧

一、常规七大题型：

（1）中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(x1,y1)，

(x2,y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意

斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

x2y2如：（1）2?2?1(a?b?0)与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有

abx0y0?2k?0。 2abx2y2 （2）2?2?1(a?0,b?0)与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有

abx0y0?2k?0 2ab（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.

y2 典型例题 给定双曲线x?过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1 及P2，?1。

22求线段P1P2的中点P的轨迹方程。

（2）焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

x2y2 典型例题 设P(x,y)为椭圆2?2?1上任一点，F1(?c,0)，F2(c,0)为焦点，

ab?PF1F2??，?PF2F1

圆锥曲线解题方法技巧归纳

第一、知识储备： 1. 直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率k?tan?,??[0,?) ②点到直线的距离d?tan??k2?k11?k2k1Ax0?By0?CA?B22 ③夹角公式：

（3）弦长公式

直线y?kx?b上两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离：AB?1?k2x1?x2

?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] 或AB?1?1y1?y2 2k（4）两条直线的位置关系

①l1?l2?k1k2=-1 ② l1//l2?k1?k2且b1?b2 2、圆锥曲线方程及性质

(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）

x2y2 标准方程：??1(m?0,n?0且m?n)

mn 距离式方程：(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?2a 参数方程：x?acos?,y?bsin? (2)、双曲线的方程的形式有两种

x2y2 标准方程：??1(m?n?0)

mn 距离式方程：|(x?c)2?y2?(x?c)2?y2|?2a (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

2b22b22p

圆锥曲线的解题技巧

一、常规七大题型：

（1）中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(x1,y1)，

(x2,y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意

斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

x2y2如：（1）2?2?1(a?b?0)与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有

abx0y0?2k?0。 2abx2y2 （2）2?2?1(a?0,b?0)与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有

abx0y0?2k?0 2ab（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.

y2 典型例题 给定双曲线x?过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1 及P2，?1。

22求线段P1P2的中点P的轨迹方程。

（2）焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

x2y2 典型例题 设P(x,y)为椭圆2?2?1上任一点，F1(?c,0)，F2(c,0)为焦点，

ab?PF1F2??，?PF2F1

姓名 学科 数学 学生姓名 年级 高二 填写时间 教材版本 第（ ）课时 共（ ）课时 2013-12-29 人教版 阶段 第（ 1 ）周 观察期：□ 维护期：□ 课题圆锥曲线解题方法技巧总结 名称 教学大纲教学目标 目标 个性化教学目标 课时计划 上课时间 2014-1-3 圆锥曲线知识点及题型回顾整理 培养学生分析能力和逻辑思维能力． 教学圆锥曲线知识点的综合应用 重点 教学 掌握圆锥曲线的综合问题的处理方法 难点 第一部分：知识梳理 名 称 椭圆 图 象 双曲线 定 义 教学过程 平面内到两定点常数（大于圆即的距离的和为平面内到两定点对值为常数（小于迹叫双曲线即的距离的差的绝）的动点的轨 ）的动点的轨迹叫椭 当2﹥2时，轨迹是 当2﹤2时，轨迹是 当2＝2，轨迹是 当2﹤2时，轨迹 当2＝2时，轨迹是 当2﹥2时，轨迹 焦点在轴上时： 标准方 程 注：根据 判断焦点在哪一坐标

姓名 学科 数学 学生姓名 年级 高二 填写时间 教材版本 第（ ）课时 共（ ）课时 2013-12-29 人教版 阶段 第（ 1 ）周 观察期：□ 维护期：□ 课题圆锥曲线解题方法技巧总结 名称 教学大纲教学目标 目标 个性化教学目标 课时计划 上课时间 2014-1-3 圆锥曲线知识点及题型回顾整理 培养学生分析能力和逻辑思维能力． 教学圆锥曲线知识点的综合应用 重点 教学 掌握圆锥曲线的综合问题的处理方法 难点 第一部分：知识梳理 名 称 椭圆 图 象 双曲线 定 义 教学过程 平面内到两定点常数（大于圆即的距离的和为平面内到两定点对值为常数（小于迹叫双曲线即的距离的差的绝）的动点的轨 ）的动点的轨迹叫椭 当2﹥2时，轨迹是 当2﹤2时，轨迹是 当2＝2，轨迹是 当2﹤2时，轨迹 当2＝2时，轨迹是 当2﹥2时，轨迹 焦点在轴上时： 标准方 程 注：根据 判断焦点在哪一坐标

高中数学圆锥曲线解答题解法面面观

汇编：范文桥

圆锥曲线解答题中的十一题型：几乎全面版 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点的问题

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：向量问题 题型六：面积问题

题型七：弦或弦长为定值、最值问题 问题八：直线问题 问题九：对称问题 问题十、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系（简单题型未总结）

题型二：弦的垂直平分线问题

例题1、过点T(-1,0)作直线l与曲线N ：B两点，在x轴上是否存在一点E(x0,0)，使得?ABEy2?x交于A、是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线l:y?k(x?1)，k?0，A(x1,y1)，B(x2,y2)。 由??y?k(x?1)2222消y整理，得kx?(2k?1)x?k?0 ① 2?y?x由直线和抛物线交于两点，得??(2k2?1)2?4k4??4k2?1?0 即0?k?21

高中数学圆锥曲线解答题解法面面观

汇编：范文桥

圆锥曲线解答题中的十一题型：几乎全面版 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点的问题

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：向量问题 题型六：面积问题

题型七：弦或弦长为定值、最值问题 问题八：直线问题 问题九：对称问题 问题十、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系（简单题型未总结）

题型二：弦的垂直平分线问题

例题1、过点T(-1,0)作直线l与曲线N ：B两点，在x轴上是否存在一点E(x0,0)，使得?ABEy2?x交于A、是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线l:y?k(x?1)，k?0，A(x1,y1)，B(x2,y2)。 由??y?k(x?1)2222消y整理，得kx?(2k?1)x?k?0 ① 2?y?x由直线和抛物线交于两点，得??(2k2?1)2?4k4??4k2?1?0 即0?k?21

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点

高中数学圆锥曲线解答题解法面面观

汇编：范文桥

圆锥曲线解答题中的十一题型：几乎全面版 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点的问题

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：向量问题 题型六：面积问题

题型七：弦或弦长为定值、最值问题 问题八：直线问题 问题九：对称问题 问题十、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系（简单题型未总结）

题型二：弦的垂直平分线问题

例题1、过点T(-1,0)作直线l与曲线N ：B两点，在x轴上是否存在一点E(x0,0)，使得?ABEy2?x交于A、是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线l:y?k(x?1)，k?0，A(x1,y1)，B(x2,y2)。 由??y?k(x?1)2222消y整理，得kx?(2k?1)x?k?0 ① 2?y?x由直线和抛物线交于两点，得??(2k2?1)2?4k4??4k2?1?0 即0?k?21