数论整除同余
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数论之同余定理
第六讲 数论之同余定理、个位律 射雕英雄传第29回写到,黄蓉给瑛姑出了三道算题.其中第三题是想 所谓的“鬼谷算题”:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七 挑七数之剩二,问物几何? 战 这个其实是我国古代比较有名的一道题.你能答出黄蓉的这道题 吗? 吗 ? 回顾
【例1】 (北大附中入学测试题)有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,这三个余数的和是25。这三个余数中最大的一个是多少?
【例2】 (人大附中入学测试题)一个两位数被它的各位数字之和去除,问余数最大是多少?
专题
题型一、余数规律
余数定理:
a:两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
实例:7÷3=?1,5÷3=?2,这样(7+5)÷3的余数就等于1+2=3,所以余0。 b: 两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。
实例:8÷3=?2,4÷3=?1,这样(8-4)÷3的余数就等于2-1=1,所以余1。 如果是(7-5)÷3呢? 会出什么问题?
c: 两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
实例:7÷3=?1,5÷3=?2,
数论之同余定理
第六讲 数论之同余定理、个位律 射雕英雄传第29回写到,黄蓉给瑛姑出了三道算题.其中第三题是想 所谓的“鬼谷算题”:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七 挑七数之剩二,问物几何? 战 这个其实是我国古代比较有名的一道题.你能答出黄蓉的这道题 吗? 吗 ? 回顾
【例1】 (北大附中入学测试题)有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,这三个余数的和是25。这三个余数中最大的一个是多少?
【例2】 (人大附中入学测试题)一个两位数被它的各位数字之和去除,问余数最大是多少?
专题
题型一、余数规律
余数定理:
a:两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
实例:7÷3=?1,5÷3=?2,这样(7+5)÷3的余数就等于1+2=3,所以余0。 b: 两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。
实例:8÷3=?2,4÷3=?1,这样(8-4)÷3的余数就等于2-1=1,所以余1。 如果是(7-5)÷3呢? 会出什么问题?
c: 两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
实例:7÷3=?1,5÷3=?2,
数论之同余问题
数论之同余问题
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富,题目难度较大的知识体系,也是各大杯赛小升初考试必
考的奥数知识点,所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义,三大余数定理(加法余数定理,乘法余数定理,和同余定理),
知识点拨:
三大余数定理:
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。 例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等 于4,即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如:23,19除以5的余数分别是3和4,故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数,即2.
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。 例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2. 3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m
数论之同余定理
第六讲 数论之同余定理、个位律 射雕英雄传第29回写到,黄蓉给瑛姑出了三道算题.其中第三题是想 所谓的“鬼谷算题”:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七 挑七数之剩二,问物几何? 战 这个其实是我国古代比较有名的一道题.你能答出黄蓉的这道题 吗? 吗 ? 回顾
【例1】 (北大附中入学测试题)有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,这三个余数的和是25。这三个余数中最大的一个是多少?
【例2】 (人大附中入学测试题)一个两位数被它的各位数字之和去除,问余数最大是多少?
专题
题型一、余数规律
余数定理:
a:两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
实例:7÷3=?1,5÷3=?2,这样(7+5)÷3的余数就等于1+2=3,所以余0。 b: 两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。
实例:8÷3=?2,4÷3=?1,这样(8-4)÷3的余数就等于2-1=1,所以余1。 如果是(7-5)÷3呢? 会出什么问题?
c: 两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
实例:7÷3=?1,5÷3=?2,
数论之同余定理、个位律
数论之同余定理、个位律
第六讲 数论之同余定理、个位律
射雕英雄传第29回写到,黄蓉给瑛姑出了三道算题.其中第三题是想所谓的“鬼谷算题”:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七挑七数之剩二,问物几何?
战 这个其实是我国古代比较有名的一道题.你能答出黄蓉的这道题吗? 吗?回顾
【例1】 (北大附中入学测试题)有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,这三个余数的和是25。这三个余数中最大的一个是多少?
【例2】 (人大附中入学测试题)一个两位数被它的各位数字之和去除,问余数最大是多少?
数论之同余定理、个位律
专题
题型一、余数规律 余数定理:
a:两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
实例:7÷3= 1,5÷3= 2,这样(7+5)÷3的余数就等于1+2=3,所以余0。
b: 两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。
实例:8÷3= 2,4÷3= 1,这样(8-4)÷3的余数就等于2-1=1,所以余1。
如果是(7-5)÷3呢? 会出什么问题?
c: 两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
实例:7÷3= 1,5
初等数论 第二章 同 余
第二章 同 余
同余是数论中的一个基本概念。本章除介绍同余的基础知识外,还要介绍它的一些应用。
第一节 同余的基本性质
定义1 给定正整数m,如果整数a与b之差被m整除,则称a与b对于模m同余,或称a与b同余,模m,记为
a ? b (mod m),
此时也称b是a对模m的同余。
如果整数a与b之差不能被m整除,则称a与b对于模m不同余,或称a与b不同余,模m,记为a??b (mod m)。
定理1 下面的三个叙述是等价的: (ⅰ) a ? b (mod m);
(ⅱ) 存在整数q,使得a = b ? qm;
(ⅲ) 存在整数q1,q2,使得a = q1m ? r,b = q2m ? r,0 ? r < m。 证明 留作习题。
定理2 同余具有下面的性质: (ⅰ) a ? a (mod m);
(ⅱ) a ? b (mod m) ? b ? a (mod m);
(ⅲ) a ? b,b ? c (mod m) ? a ? c (mod m)。 证明 留作习题。
定理3 设a,b,c,d是整数,并且
a ? b (mod m),c ? d (mod m), (1)
则
(ⅰ) a ? c ? b ? d (mod m)
初等数论_第五章__同余方程
第五章 同余方程
本章主要介绍同余方程的基础知识,并介绍几类特殊的同余方程的解法。
第一节 同余方程的基本概念
本节要介绍同余方程的基本概念及一次同余方程。 在本章中,总假定m是正整数。
定义1 设f(x) = anxn ? ? ? a1x ? a0是整系数多项式,称
f(x) ? 0 (mod m) (1)
是关于未知数x的模m的同余方程,简称为模m的同余方程。 若an??0 (mod m),则称为n次同余方程。
定义2 设x0是整数,当x = x0时式(1)成立,则称x0是同余方程(1)的解。凡对于模m同余的解,被视为同一个解。同余方程(1)的解数是指它的关于模m互不同余的所有解的个数,也即在模m的一个完全剩余系中的解的个数。
由定义2,同余方程(1)的解数不超过m。 定理1 下面的结论成立:
(ⅰ) 设b(x)是整系数多项式,则同余方程(1)与
f(x) ? b(x) ? b(x) (mod m)
等价;
(ⅱ) 设b是整数,(b, m) = 1,则同余方程(1)与
bf(x) ? 0 (mod m)
等价;
(ⅲ) 设m是素数,f(x) = g(x)h(x),g(x)与h(x)都
初等数论 第三章 同余
第三章 同余
第三章 同 余
§1 同余的概念及其基本性质
定义1设m?Z?,称之为模。若用m去除两个整数a与b所得的余数相同,则称a,b对模m同余,记作:a?b(modm);若所得的余数不同,则称a,b对模m不同余,记作:a??b(modm)。例如,8?1(mod7),;所有偶数a?0(mod2),所有奇数a?1(mod2)。同余是整数之间的一种关系,它具有下列性质:1、a?a(modm);(反身性)2、若a?b(modm),则b?a(modm);(对称性)
3、若a?b(modm),b?c(modm),则a?c(modm);(传递性)故同余关系是等价关系。定理1整数a,b对模m同余的充分必要条件是m|(a?b),即a?b?mt,t?Z。
证明设a?mq1?r1,b?mq2?r2,0?r1,r2?m,则a?b(modm)?r1?r2?a?b?m(q1?q2)?m|(a?b)。性质1(1)若a1?b1(modm),a2?b2(modm),则a1?a2?b1?b2(modm);
(2)若a?b?c(modm),则a?c?b(modm)。性质2若a1?b1(modm),a2?b2(modm),则a1a2?b1b2(modm);
特别地,若a?b
数论 整除性 - 图文
数论之整除性
姓名:叶雨菲 时间:_________
考试要求
(1) 熟悉常见数的整除性质
(2) 对于整除含义的理解,求解一些特定问题
知识框架
整除性质
(1)2:个位是偶数的自然数 (2)5:个位是0或5的自然数
注:若一个数同时是2和5的倍数,则此数的个位一定为0 (3)4、25:末两位能被4、25整除 (4)8、125:末三位能被8、125整除 (5)3、9:各个数位上的数之和能被3、9整除 (6)7、11、13通用性质:
①一个数如果是1001的倍数,即能被7、11、13整除.如201201=201×1001,则其必能被7、11、13
整除
②从末三位开始,三位一段,奇数段之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数,则其为7、11、13的倍数
③末三位一段,前后均为一段,用较大的减去较小的,如果差为7、11、13的倍数,则其为7、11、13的倍数
(7)11:奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除 (8)99:两位一段(从右往左),各段的和能被99整除 (9)999:三位一段(从右往左),各段的和能被999整除
注意:当同时能被多个数整除时,一般优先顺序为2和5确定个位,再4
初中数学竞赛讲座 - 数论部分8(同余系的应用)
初中数学兴趣班系列讲座——数论部分 唐一良数学工作室
第8讲 剩余系及其一次同余方程
一、基础知识: (1)剩余系
对于任意正整数n而言,一个整数除以m所得的余数只能是0,1,2, …,n-1中的某一个。依次可将整数分成n个类(例如n=2时,就是奇数或偶数),从每一类中各取一个数所组成的集合就称为模的一个完全剩余系,简称为模的完系。
定义1:如果一个剩余系中包含了这个正整数所有可能的余数(一般地,对于任意正整数n,有n个余数:0,1,2,...,n-1),那么就被称为是模n的一个完全剩余系。
定义2:剩余系:设模为m,则根据余数可将所有的整数分成m类,分别记成
[0],[1],[2],…[m-1],这m个数{0,1,2,…m-1}称为一个完全剩余系,每个数称为相应类的代表元。
例如:当m=10则,{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 最小非负完全
{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 绝对值最小 {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} 绝对值最小
(一)根据剩余类的概念,很容易得到以下几条有关剩余类的性质:
①每一个整数一定包含在而且仅包含在模m的一个剩余类中
②整数p所属