定积分的物理应用

高数同济6版第六章定积分的应用

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洛阳师范学院 数学科学学院 《数学分析》教案

第十章 定积分的应用

在上一章引入定积分概念时，曾把曲边梯形的面积、变速直线运动的路程表示为积分和的极限，即要用定积分来加以度量。事实上，在科学技术中采用“分割、作和、取极限”的方法去度量实际量得到了广泛的应用。本章意在建立度量实际量的积分表达式的一种常用方法——微元法，然后用微元法去阐述定积分在某些几何、物理问题中的应用。

§1平面图形的面积

教学目标：掌握平面图形面积的计算公式． 教学内容：平面图形面积的计算公式．

(1) 基本要求：掌握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式．

(2) 较高要求：提出微元法的要领． 教学建议：

(1) 本节的重点是平面图形面积的计算公式，要求学生必须熟记并在应用中熟练掌握．

(2) 领会微元法的要领． 教学过程：

1、微元法

bI?众所周知，定积分

?f?x?dxa是由积分区间

?a,b?及被积函数f(x)所决定

的，而定积分对积分区间具有可加性，即如果把积分区间作为任意划分

?:x0?a?x1?x2???xn?1?xn?b

记

?Ik??xkxk?1f(x)dx k?1,2

高等数学

第六章 一元微积分的应用第 三 节 微积分在物理学中的应用

一、变力沿直线作功二、液体的静压力

三、连续函数的平均值

高等数学

一、变力沿直线作功设变力 f ( x) : 其方向沿 x 轴正向, 大小随 x 值 的变化而变化. 变力 f ( x) 推动物体, 从点 x a 处沿 x 轴正向运动到点 点 x b 处 (a b) 所作的功为:y

x (a, b], x 0.

当 x 很小时, 可视物体在区间

f (x)O

[ x, x x] 上, 以变力在点 x 处的值x x x b x

f ( x) 按常力 作功, 其值为

a

W f ( x) x.

于是, 变力沿直线作功问题的微分元素为: d W f ( x) d x.

高等数学

由于功对区间具有可加性, 故变力 f ( x) 沿直线移动物体所做y

y f (x)

的功为:积分区间: x [a, b].微分元素: d W f ( x) d x.b b

WO ab x

变力作功的几何表示

功的计算 : W d W f ( x) d x.a a

高等数学

例1

直径为0.20 (m), 长为1 (m) 的气缸内 充满了压强 ,为9.8 105 ( N /

第四节 广义积分

在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间或被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分，因此，我们需要对定积分作两种推广，从而形成了广义积分的概念. 一. 无穷区间上的广义积分

1.引例1.求下述广义曲边梯形的面积.

（1）由曲线y?e?x，及x轴、y轴所围成的图形的面积（作图） 解：A?limb????b0?x?b??1 edx?lim?1?e?b????（2）由曲线y?ex，及x轴、y轴所围成的图形的面积（作图） 解：A?lima????0axa??1. edx?lim?1?e?a????2．定义1.设函数f?x?在区间?a,???上连续，取b?a.如果极限 lim存在，则称此极限为函数f?x?在区间?a,???上的广义积分，记作?即：???a??b????f?x?dxab

af?x?dx.

f?x?dx?lim??b????f?x?dxab ————（1）

这时，也称广义积分?惯上称为广义积分???aaf?x?dx收敛；如果上述极限不存在，函数f?x?在区间?a,???上的广义积分就没有意义，习

f?x?dx发散.

定义2.设函数f?x?在区间???,b?上连续，取a

1.7.2 定积分在物理中的应用

一、教学目标：

1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理. 2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。二、教学重点与难点： 1. 定积分的概念及几何意义 2. 定积分的基本性质及运算的应用 三教学过程：

（一）练习

1．曲线y = x2 + 2x直线x = – 1，x = 1及x轴所围成图形的面积为（ B ）．A．

842 B．2 C． D．33332

2．曲线y = cos x(0?x??)与两个坐标轴所围成图形的面积为（ D ） A．4

B．2

C．

52

D．3

3．求抛物线y2 = x与x – 2y – 3 = 0所围成的图形的面积．

?y2?x解：如图：由?得A（1，– 1），B（9，3）．

x?2y?3?0?

选择x作积分变量，则所求面积为（二）新课

变速直线运动的路程

定1．物本做变速度直线运动经过的路程s，等于其速度函数v = v (t) (v (t)≥0 )在时间区间[a，b]上的 积分

，即s??bav(t)dt．

2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t) = – 3sin t，则 t1 = 3至t2 = 5时间内的位移是

（只列

数学与计算科学学院

学年论文

题 目 定积分在物理学中的应用 姓 名 邓花蝶 学 号 1209403047 专业年级 2012级数学与应用数学 指导教师 魏耿平

2015年 9 月 1 日

定积分在物理学中的应用 ——求刚体的转动惯量

摘要

众所周知，物理学是一门综合性极高的学科，我们在学习的过程中通常都 会将课堂理论知识和实践活动有机的结合在一起，然而，在物理学中，我

们通常都会遇到很多难题，比如解积分困难等。因此当前我们在对物理学 的学习中，就要将定积分应用到其中。定积分是高等数学的重要组成部分， 在物理学中也有广泛的应用。微元法是将物理问题抽象成定积分非常实用 的方法。本文主要利用＂微元法＂的思想求物理学中几种常见均匀刚体的 转动惯量。

关键词

定积分； 物理应用； 微元法; 转动惯量；均匀刚体

The application of defin

学号：

本科毕业论文

学 院 专 业 年 级 姓 名 论文题目 定积分的若干应用 指导教师 薛艳昉 职称 讲师

2013年5月16日

目 录

摘 要 ····························································································· 1 关键词 ····························································································· 1 Abstract ···········································································

第5章 定积分及其应用

本章讨论积分学的第二个问题——定积分．定积分是某种特殊和式的极限，它是从大量的实际问题中抽象出来的，在自然科学与工程技术中有着广泛的应用．

本章主要讲授定积分的定义、性质，积分上限函数及其导数，牛顿-莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法，广义积分，以及定积分在几何、物理、经济上的应用等．

通过本章的学习，学生能够理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件；掌握定积分的基本性质和对积分上限函数求导数的方法；能利用牛顿-莱布尼兹公式和定积分的换元法、分部积分法计算定积分；了解广义积分收敛和发散的概念，会求广义积分；会用定积分求平面图形的面积和简单的旋转体的体积，会用定积分解决沿直线运动时变力所做的功等实际问题．

5.1 定积分的概念与性质

5.1.1 引例

1．曲边梯形的面积

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)?0．由曲线y?f(x)，直线x?a，x?b以及x轴所围成的平面图形称为曲边梯形（如图5-1所示），下面讨论如何求该曲边梯形的面

积．

不难看出，该曲边梯形的面积取决于区间[a,b]及曲边y?f(x)．如果y?f(x)在[a,b]上为常数，此时曲边梯形为矩形，则其面积等于h(b?a)．现在

2012届毕业论文设计

论文题目： 概述定积分的发展与应用 专 业： 数学与应用数学 学 院： 数学与统计学院 指导教师： 刘 坤 班 级： 08级本科（1）班 姓 名： 李 勇 学 号： 2008011115 联系电话： 15101901171

概述定积分的发展与应用

李 勇，刘坤

(陇东学院数学与统计学院， 甘肃 庆阳 745000)

摘 要: 概述了定积分发展的三个历史阶段,讨论了定积分在各个学科中的具体应用. 关键词: 分割近似; 定积分; 流数法; 应用

微积分创立是数学史上一个具有划时代意义的创举,也是人类文明的一个伟大成果.正

如恩格斯评价的那样：\在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被当作人类精神的最高胜利了.\它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具; 如数学研究, 求数列极

题型

1. 由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积 2. 由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积

内容

一．微元法及其应用 二．平面图形的面积

1.直角坐标系下图形的面积

2.边界曲线为参数方程的图形面积 3. 极坐标系下平面图形的面积 三．立体的体积

1.已知平行截面的立体体积 2.旋转体的体积

四．平面曲线的弦长 五．旋转体的侧面积 六．定积分的应用

1.定积分在经济上的应用 2.定积分在物理上的应用

题型

题型I微元法的应用

题型II求平面图形的面积

题型III求立体的体积

题型IV定积分在经济上的应用 题型V定积分在物理上的应用

自测题六

解答题

4月25日定积分的应用练习题

一．填空题

1. 求由抛物线线y?x2?2x，直线x?1和x轴所围图形的面积为__________ 2.抛物线y2?2x把圆x2?y2?8分成两部分,求这两部分面积之比为__________ 3. 由曲线x?y?4y,x?2y及直线y?4 所围成图形的面积为 4.曲线y?22x?13x相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 35. 双纽线r2?为 ． 6.椭圆?3sin2?相应