高中数学应用题解题思路与方法

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高中数学解题基本方法

换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋ x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α ，α∈[

目 录

前言 ????????????????????? 2 第一章

高中数学解题基本方法 ????????? 3 一、 配方法 ??????????????? 3 二、 换元法 ??????????????? 7 三、 待定系数法 ????????????? 14 四、 定义法 ??????????????? 19 五、 数学归纳法 ????????????? 23 六、 参数法 ??????????????? 28 七、 反证法 ??????????????? 32 八、 消去法 ??????????????? 九、 分析与综合法 ???????????? 十、 特殊与一般法 ???????????? 十一、 十二、 第二章

类比与归纳法 ?????????? 观察与实验法 ??????????

高中数学常用的数学思想 ???????? 35

一、 数形结合思想 ???????????? 35 二、 分类讨论思想 ???????????? 41 三、 函数与方程思想 ??????????? 47 四、 转化（化归）思想 ?????????? 54 第三章

高考热点问题和解题策略 ???????? 59 一、 应用

如何寻找高中数学解题的思路

数学组 宋林荣

要寻找解题的思路，审题是关健。不少成绩优秀的同学很重视审题，关注每一个细节。对于审题，首先要分清问题的条件和结论，哪些是已知的，哪些是未知的，其次是注意挖掘隐含条件。再者是寻找已知与已知、已知与未知之间的联系，从而形成解题的思路。下面就四个方面谈如何寻找高中数学解题的思路。

一、重视定义运用

定义是对数学对象的本质属性的概括和内在规律的揭示，只在深刻理解概念的本质所揭示的内在规律，才能灵活自如地运用它来寻找解题的思路。有的问题的求解虽可以不依赖于定义，但如能回到定义，则常能使问题获得简捷的解法。波利亚很强调“回到定义中去”。理解定义、掌握定义、活用定义是解题的一把金钥匙，也是寻找解题切入点的一条重要途径。

例如：若点M（x，y）

|x y 3| 0，则点M的轨迹是（ ）

（A） 圆 （B） 椭圆（C） 双曲线（D） 抛物线

分析：假如对条件中的等式移项再平方，可进行化简，但表达式中会出现xy项，对曲线的形状的判断有一定的难度。如果对原式的合理变形，利用圆锥曲线的定义就能很快解决。

解：

|x y 3| 0，

不难看出此式就是动点M（x，y）到定点（-3，1）与到定直线x y 3 0（注：定点（-3，1）在定直线

如何寻找高中数学解题的思路

数学组 宋林荣

要寻找解题的思路，审题是关健。不少成绩优秀的同学很重视审题，关注每一个细节。对于审题，首先要分清问题的条件和结论，哪些是已知的，哪些是未知的，其次是注意挖掘隐含条件。再者是寻找已知与已知、已知与未知之间的联系，从而形成解题的思路。下面就四个方面谈如何寻找高中数学解题的思路。

一、重视定义运用

定义是对数学对象的本质属性的概括和内在规律的揭示，只在深刻理解概念的本质所揭示的内在规律，才能灵活自如地运用它来寻找解题的思路。有的问题的求解虽可以不依赖于定义，但如能回到定义，则常能使问题获得简捷的解法。波利亚很强调“回到定义中去”。理解定义、掌握定义、活用定义是解题的一把金钥匙，也是寻找解题切入点的一条重要途径。

例如：若点M（x，y）

|x y 3| 0，则点M的轨迹是（ ）

（A） 圆 （B） 椭圆（C） 双曲线（D） 抛物线

分析：假如对条件中的等式移项再平方，可进行化简，但表达式中会出现xy项，对曲线的形状的判断有一定的难度。如果对原式的合理变形，利用圆锥曲线的定义就能很快解决。

解：

|x y 3| 0，

不难看出此式就是动点M（x，y）到定点（-3，1）与到定直线x y 3 0（注：定点（-3，1）在定直线

掌握一种解题的基本方法。

高中数学解题基本方法——配方法

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：

a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab； 2222222

b22a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）； 222222

a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝

22222221222[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)] 22a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝

结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：

1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；

x＋2211

目录

前言 (2)

第一章高中数学常用的数学思想 (3)

一、数形结合思想 (3)

二、分类讨论思想 (9)

三、函数与方程思想 (15)

四、转化（化归）思想 (22)

第二章高中数学解题基本方法 (23)

一、配方法 (23)

二、换元法 (27)

三、待定系数法 (34)

四、定义法 (39)

五、数学归纳法 (43)

六、参数法 (48)

七、反证法 (52)

八、消去法 (54)

九、分析与综合法 (55)

十、特殊与一般法 (56)

十一、类比与归纳法 (57)

十二、观察与实验法 (58)

第三章高考热点问题和解题策略 (59)

一、应用问题 (59)

二、探索性问题 (65)

三、选择题解答策略 (71)

四、填空题解答策略 (77)

附录………………………………………………………

一、高考数学试卷分析…………………………

二、两套高考模拟试卷…………………………

三、参考答案……………………………………

实用文档

.

前言

美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一

个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题

目录

前言 (2)

第一章高中数学常用的数学思想 (3)

一、数形结合思想 (3)

二、分类讨论思想 (9)

三、函数与方程思想 (15)

四、转化（化归）思想 (22)

第二章高中数学解题基本方法 (23)

一、配方法 (23)

二、换元法 (27)

三、待定系数法 (34)

四、定义法 (39)

五、数学归纳法 (43)

六、参数法 (48)

七、反证法 (52)

八、消去法 (54)

九、分析与综合法 (55)

十、特殊与一般法 (56)

十一、类比与归纳法 (57)

十二、观察与实验法 (58)

第三章高考热点问题和解题策略 (59)

一、应用问题 (59)

二、探索性问题 (65)

三、选择题解答策略 (71)

四、填空题解答策略 (77)

附录………………………………………………………

一、高考数学试卷分析…………………………

二、两套高考模拟试卷…………………………

三、参考答案……………………………………

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前言

美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一

个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题

高中数学解题方法大全

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前言 (2)

第一章高中数学解题基本方法 (3)

一、配方法 (3)

二、换元法 (7)

三、待定系数法 (14)

四、定义法 (19)

五、数学归纳法 (23)

六、参数法 (28)

七、反证法 (32)

八、消去法………………………………………

九、分析与综合法………………………………

十、特殊与一般法………………………………

十一、类比与归纳法…………………………

十二、观察与实验法…………………………

第二章高中数学常用的数学思想 (35)

一、数形结合思想 (35)

二、分类讨论思想 (41)

三、函数与方程思想 (47)

四、转化（化归）思想 (54)

第三章高考热点问题和解题策略 (59)

一、应用问题 (59)

二、探索性问题 (65)

三、选择题解答策略 (71)

四、填空题解答策略 (77)

附录………………………………………………………

一、高考数学试卷分析…………………………

2

二、两套高考模拟试卷…………………………

三、参考答案……………………………………

前言

美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及

七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。情也成空，且作“挥手袖底风”罢。是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲《尘缘》，合成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。乃书于纸上。毕而卧。凄然入梦。乙酉年七月初七。

-----啸之记。

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前言 ????????????????????? 2 第一章 高中数学解题基本方法 ????????? 3 一、 配方法 ??????????????? 3 二、 换元法 ??????????????? 7 三、 待定系数法 ????????????? 14 四、 定义法 ??????????????? 19 五、 数学归纳法 ????????????? 23 六、 参数法 ??????????????? 28 七、 反证法 ??????????????? 32 八、 消去法 ??????????????? 九、 分析与综合法 ???????????? 十、 特殊与一般法 ???????????? 十一、 类比与归纳法 ?????????? 十二、 观察与实验法 ??????????

第二章 高中数学常用的数学思想 ???????? 35 一、 数形结合思想

《高中数学解题思维与思想》

导 读

数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：

一、数学思维的变通性

根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案 二、数学思维的反思性

提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。 三、数学思维的严密性

考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。 四、数学思维的开拓性

对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。

什么”转变，从而培养他们的思维能力。

《思维与思想》的即时性、针对性、实用性，已在教学实践中得到了全面验证。

一、高中数学解题思维策略

第一讲 数学思维的变通性

一、概念

数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练： （1）善于观察

心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持