圆锥曲线常用二级结论

圆锥曲线常用结论

一.椭 圆

1.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

2.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

x0xy0yx2y2?2?1. ??13.若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000a2ba2b2x2y24.若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过P0作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦

abxxyyP1P2的方程是02?02?1.

abx2y25.椭圆2?2?1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点

ab??F1PF2??，则椭圆的焦点角形的面积为S?F1PF2?b2tan.

2x2y26.椭圆2?2?1(a＞b＞0)的焦半径公式：|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0.

ab7.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交焦点F对应的准线于M、N两点，则MF⊥NF.

8.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

22bxy9.AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kO

圆锥曲线部分二级结论的应用

一、单选题

1．已知抛物线C:y2?4x，点D?2,0?,E?4,0?,M是抛物线C异于原点O的动点，连接ME并延长交抛物线C于点N，连接MD,ND并分别延长交拋物线C于点P,Q，连接PQ，若直线MN,PQ的斜率存在且分别为k1,k2，则A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

k2?（ ） k1x2y22．如图，设椭圆E:2?2?1（a?b?0）的右顶点为A，右焦点为F， B为椭

ab圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC于M，

则椭圆E的离心率是（ ）

A.

1121 B. C. D. 2334x2y23．已知F1、F2是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左右焦点，以F1F2为直径的圆与

ab双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N，且M、N均在第一象限，当直

2线MF1//ON时，双曲线的离心率为e，若函数f?x??x?2x?2,，则f?e??（） xA. 1 B.

3 C. 2 D. 5 4．已知椭圆和双曲线有共同焦点F1,F2， P是它们的一个交点，且?F1PF2?椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2，则

?3，记

圆锥曲线中的重要性质经典精讲上

性质一：椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆

双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段(长为2b)

x2y2??1上，F1,F2为椭圆之左右焦点，点G为△F1PF2内心，试1．已知动点P在椭圆43求点G的轨迹方程.

x2y2??1上，F1,F2为双曲线之左右焦点，圆G是△F1PF2的内2．已知动点P在双曲线

43切圆，探究圆G是否过定点，并证明之.

性质二：圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值。

椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数

112?? |AF1||BF1|ep双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB在同支时

112112?? AB在异支时|?|? |AF1||BF1|ep|AF1||BF1|ep112?? |AF||BF|ep抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数

x2y2??1，F为椭圆之左焦点，过点F的直线交椭圆于A，B两点，是否存在 3.已知椭圆43实常数?，使AB??FA?FB恒成立.并由此求∣AB∣的最小值.

1

性质三：圆锥曲线相互垂直的焦点弦长倒数之和为常数

112?e2椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ??|AB||

沈阳市第三十一中学 李曙光编辑整理，希望对大家有帮助，疏漏之处请指正 椭圆常见结论

焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 x2y2?2?1?a?b?0? 2ab?a?x?a且?b?y?b y2x2?2?1?a?b?0? 2ab?b?x?b且?a?y?a 范围 ?1??a,0?、?2?a,0? 顶点 ?1?0,?a?、?2?0,a? ?1??b,0?、?2?b,0? ?1?0,?b?、?2?0,b? 轴长 焦点 焦距 对称性 短轴的长?2b 长轴的长?2a F1??c,0?、F2?c,0? F1?0,?c?、F2?0,c? F1F2?2c?c2?a2?b2? 关于x轴、y轴、原点对称 离心率 cb2e??1?2?0?e?1?e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁aa 1.椭圆的两焦点分别为F1,F2,P是椭圆上任意一点,则有以下结论成立: (1)PF1?PF2?2a; (2)a?c?PF1?a?c; (3)b?PF1?PF2?a;

22x2y22. 椭圆的方程为2?2?1（a＞b＞0）, 左、右焦点分别为F1,F2,P?x0,y0?是椭圆上

ab任

意

一

点

,

则

有

:

(1)

b22a2222y0?2?a?x0?,x0?2?b?

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 6. 7.

xxyyx2y2若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是02?02?1.

ababxxyyx2y2若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02?02?1.

ababx2y2椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆的焦点角形的面

ab?积为S?F1PF2?b2tan.

2x2y2椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

8.

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F

的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 6. 7.

xxyyx2y2若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是02?02?1.

ababxxyyx2y2若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02?02?1.

ababx2y2椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆的焦点角形的面

ab?积为S?F1PF2?b2tan.

2x2y2椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

8.

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F

的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

常用逻辑用语

一、选择题

1．下列语句中是命题的是（ ）

A．周期函数的和是周期函数吗？ B．sin45?1

C．x?2x?1?0 D．梯形是不是平面图形呢？

22．在命题“若抛物线y?ax2?bx?c的开口向下，则x|ax?bx?c?0??”的

02??逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）

A．都真 B．都假 C．否命题真 D．逆否命题真 3．有下述说法：①a?b?0是a?b的充要条件. ②a?b?0是③a?b?0是a?b的充要条件.则其中正确的说法有（ ） A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

332211?的充要条件. ab4．下列说法中正确的是（ ）

A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B．“a?b”与“ a?c?b?c”不等价

C．“a?b?0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0, 则a?b?0” D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真

5．若A:a?R,a?1, B:x的二次方程x?(a?1)x?a?2?0的一个根大于零, 另一根小于零,则A是B的（ ）

A．充分不必要条件

解圆锥曲线问题常用方法（一）

1、定义法

（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。

（2）双曲线有两种定义。r1 r2 2a，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有

【同步教育信息】

一、本周教学内容：

常用逻辑用语、圆锥曲线与方程

二、本周教学目标：

1. 理解四种命题的关系，并能利用这个关系判断命题的真假 2. 正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用 3. 能正确运用椭圆的定义与标准方程解题，学会用待定系数法与定义法求椭圆的方程

三、本周知识要点： （一）常用逻辑用语 1. 命题及其相互关系

（1）四种命题及其形式

原命题：若p则q； 逆命题：若q则p； 否命题：若?p则?q； 逆否命题：若?q则?p 互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题。因此，四种命题之间的相互关系，可用下图表示：

（2）四种命题的真假关系

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系： ①原命题为真，它的逆命题不一定为真 ②原命题为真，它的否命题不一定为真 ③原命题为真，它的逆否命题一定为真 2. 充分条件与必要条件

若p?q，则说p是q的充分条件，q是p的必要条件. 若p?q，但pq，则说p是q的充分而不必要条件； 若pq，但p?q，则说p是q的必要而不充分条件； 若pq，且pq，则说p是

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一、本周教学内容：

常用逻辑用语、圆锥曲线与方程

二、本周教学目标：

1. 理解四种命题的关系，并能利用这个关系判断命题的真假 2. 正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用 3. 能正确运用椭圆的定义与标准方程解题，学会用待定系数法与定义法求椭圆的方程

三、本周知识要点： （一）常用逻辑用语 1. 命题及其相互关系

（1）四种命题及其形式

原命题：若p则q； 逆命题：若q则p； 否命题：若?p则?q； 逆否命题：若?q则?p 互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题。因此，四种命题之间的相互关系，可用下图表示：

（2）四种命题的真假关系

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系： ①原命题为真，它的逆命题不一定为真 ②原命题为真，它的否命题不一定为真 ③原命题为真，它的逆否命题一定为真 2. 充分条件与必要条件

若p?q，则说p是q的充分条件，q是p的必要条件. 若p?q，但pq，则说p是q的充分而不必要条件； 若pq，但p?q，则说p是q的必要而不充分条件； 若pq，且pq，则说p是