浅谈导数及其应用论文

篇一：导数及其应用

导数及其应用

【专题要点】

1. 导数的定义:利用导数的定义解题; 2. 求导数(包括求导函数和某一点的导数);

3. 导数的简单应用,包括求函数的极值,求函数的单调区间,证明函数的单调性等,复现率较高; 4. 导数在实际问题中的应用(利润最大,用料最省,效率最高等优化问题);

5. 综合考查,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切

线问题等有机地结合在一起，设计综合问题。包括：

（1） 函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决单调性、参数的范围等问题，这类问题涉及含参

数的不等式、不等式的恒成立的求解；

（2） 函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决极值、最值等问题，这类问题涉及求极值和极值

点、求最值，有时需要借助方程的知识求解；

（3） 利用导数的几何意义求切线方程，解决与切线方程有关的问题； （4） 通过构造函数，以导数为工具证明不等式；

（5） 导数与解析几何或函数图像的混合问题，这是一个重要问题，也是高考中考察综合能力的一个

方向 【考纲要求】

⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．

⑵熟记基本导数公式

导数的应用

目录

[摘要] ................................................................................................................................................ 2 一.引言.............................................................................................................................................. 2 二．导数的概念 ............................................................................................................................... 2 三．导数的求法 .........................................................................

1 浅谈导数的应用

重视知识的发生发展过程，以能力立意，突出理性思

维是高考数学命题的指导思想。重视知识形成过程的思想和方法，在知识网络的交汇点设计考题是高考命题的创新主体。导数是新教材中新增内容。由于其应用的广泛性，为我们所学过的有关函数问题，曲线问题提供了一般性的方法，运用它可以简捷地解决一些实际问题。特别是新编教材对三角、复数等部分知识的删减，使导数的位置更加重要。由于新教材的导数在高中教材中的特殊地位，和新课程改革的不断深入，因而导数知识及其与其他知识的交汇备受高考的关注，已成为高考命题的新热点。

一、用导数求曲线的切线

导数的几何意义：函数y=f (x)在x=x 0处的导数，就是曲线

y=f(x)在点p (x 0 , f(x 0))处的切线的斜率，利用上述结论，可以求解曲线的切线及相关问题。

[例1]（2003年全国高考题新课程卷）

已知抛物线c 1:y=x 2+2x 和c2:y=-x 2+a 如果直线l 同时是c 1和c 2的切线，称l 是c 1和c 2的公切线，当a 为何值时，c 1和c 2有且仅有一条公切线？写出公切线的方程。

解：函数y=x 2+2x 的导函数y ‘=2x+2

曲线c 1在点p (x 1,x 12+2x 1)的切线方程为：

1 浅谈导数的应用

重视知识的发生发展过程，以能力立意，突出理性思

维是高考数学命题的指导思想。重视知识形成过程的思想和方法，在知识网络的交汇点设计考题是高考命题的创新主体。导数是新教材中新增内容。由于其应用的广泛性，为我们所学过的有关函数问题，曲线问题提供了一般性的方法，运用它可以简捷地解决一些实际问题。特别是新编教材对三角、复数等部分知识的删减，使导数的位置更加重要。由于新教材的导数在高中教材中的特殊地位，和新课程改革的不断深入，因而导数知识及其与其他知识的交汇备受高考的关注，已成为高考命题的新热点。

一、用导数求曲线的切线

导数的几何意义：函数y=f (x)在x=x 0处的导数，就是曲线

y=f(x)在点p (x 0 , f(x 0))处的切线的斜率，利用上述结论，可以求解曲线的切线及相关问题。

[例1]（2003年全国高考题新课程卷）

已知抛物线c 1:y=x 2+2x 和c2:y=-x 2+a 如果直线l 同时是c 1和c 2的切线，称l 是c 1和c 2的公切线，当a 为何值时，c 1和c 2有且仅有一条公切线？写出公切线的方程。

解：函数y=x 2+2x 的导函数y ‘=2x+2

曲线c 1在点p (x 1,x 12+2x 1)的切线方程为：

模块整合六：导数及其应用 第33课：导数的概念及运算

【考点阐释】

《考试说明》要求：了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义，能根据定义求几个简单函数的导数，能利用导数公式表及导数的四则运算法则求简单函数的导数。本节的能级要求为导数的概念A级，其余为B级。 【高考体验】 一、课前热身

（1）（2009江苏卷）在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y?x3?10x?3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 . （2）（2009宁夏海南卷文）曲线y?xex?2x?1在点（0,1）处的切线方程为 。

（3）（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线y?ln(x?a)相切，则α的值为 . （4）（2009江西卷理）设函数f(x)?g(x)?x2，曲线y?g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y?2x?1，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为 .

（5）（2009福建卷理）若曲线f(x)?ax3?lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是_____________.

（6）(2009陕西卷理)设曲线y?xn?1(n?N

第三编 导数及其应用

§3.1 导数的概念及运算

基础自测

2

1.在曲线y=x+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx，2+Δy），则答案 Δx+2

2.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则f′(x)= . 答案 cos2x+cosx

?y为 ?x3.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)＞-f(x)恒成立，且常数a,b满足a＞b,则下列不等式不一定成立的是 （填序号）. ①af(b)＞bf(a) ③af(a)＜bf(b) 答案 ①③④

②af(a)＞bf(b) ④af(b)＜bf(a)

???2

4.（20082辽宁理，6）设P为曲线C：y=x+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是?0,?，

?4?则点P横坐标的取值范围为 .

1??答案 ??1,??

2??5.(20082全国Ⅱ理，14)设曲线y=e在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= . 答案 2

例1 求函数y=x2?1在x0到x0+Δx之间的平均变化率.

2解 ∵Δy=(x0??x)2?1?x0?1

2(x0

导数及其应用测试卷

导数及其应用测试卷答案（2011.11）

一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)

BDBDC DCBDA CA

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)

13、2; 14、(7, ) 15、 1 16、2n 1 2

三、解答题(本大题共4小题,共56分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)

17、(14分)已知函数f(x) x3 ax2 bx c在x 2

3与x 1时都取得极值.

(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间.

(2)若对x [ 1,2],不等式f(x) c2恒成立,求c的取值范围

解:(1)f(x) x3 ax2 bx c,f'(x) 3x2 2ax b 由f'( 2) 12

9 4

3a b 0,f'(1) 3 2a b 0得a 1

32,b 2

f'(x) 3x2 x 2 (3x 2)(x 1), 函数f(x)的单调区间如下表:

所以函数f(x)的递增区间是( , )与(1, ),递减区间是( 2

33,1);

(2)f(x) x3 1

2x2 2x c,x [ 1,2],当

选修2-2检测试题

（答题时间100分钟，全卷满分150分）

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，满分50分）

1． 一物体运动方程为s?1?t?t（其中s单位是米，t单位是秒），那么物体在3秒末的瞬时速度是 A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米/秒

2．若函数y?f(x)在区间(a,b)内可导，且x0?(a,b)则limf(x0?h)?f(x0?h) 的值为

h?0hA．f'(x0) B．2f'(x0) C．?2f'(x0) D．0 3．函数y=x3+x的递增区间是

A．(0,??) B．(??,1) C．(??,??) D．(1,??) 4．f(x)?ax3?3x2?2,若f'(?1)?4,则a的值等于（ ）

A．19 B．16 C．13 D．10

333325．函数y?f(x)在一点的导数值为0是函数y?f(x)在这点取极值的

A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．必要非充分条件

章末质量评估(一)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

3?1?

1．曲线y＝2x2－2x在点?1，－2?处的切线的倾斜角为( )．

??A．－135° B．45° C．－45° D．135° 2．下列求导运算正确的是( )．

31?3?

A.?x＋x?′＝1＋x2 B．(log2x)′＝xln 2 C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2xsin x ??3．

|sin x|dx等于( )．

A．0 B．1 C．2 D．4 4．函数y＝1＋3x－x3有( )．

A．极小值－1，极大值1 B．极小值－2，极大值3 C．极小值－2，极大值2 D．极小值－1，极大值3 x2

5．函数f(x)＝( )．

x－1

A．在(0,2)上单调递减 B．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增 C．在(0,2)上单调递增 D．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减 6．函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为( )． A．72 B．36 C．12 D．0

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专题03 导数及其应用

易考点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系

A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1?t?,W2?t?与时间t(天)的关系如图

所示，则一定有

A．两机关单位节能效果一样好 B．A机关单位比B机关单位节能效果好

C．A机关单位的用电量在[0,t0]上的平均变化率比B机关单位的用电量在[0,t0]上的平均变化率大 D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大 【错解】选C.

因为在(0，t0)上，W1?t?的图象比W2?t?的图象陡峭，所以在(0，t0)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机关单位大．

【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．

1．平均变化率

函数y?f(x)从x1到x2的平均变化率为

f(x2)?f(x1)，若?x?x2?x1，?y?f(x2)?f(x1)，则平

x2?x1均变化率可表示为2．瞬时速度

?y. ?x全国重点名校高中数学优质学案、专题汇编（附详解）

一般地，如果物体的运动规律可以用函数s?s(t)来描述，那么，物体在时刻t