高等几何论文

高几习题集及参考解答

第一章 仿射几何的基本概念

1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。

证明：设T为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T可使等腰△ABC（AB=AC）与

一般△A'B'C'相对应，设点D为线段BC的中点，则AD⊥BC，且β=γ，T（D）=D' （图1）。∵T保留简比不变， 即（BCD）=（B'C'D'）= -1，

∴D'是B'C'的中点。因此线段中点是仿射不变性。 ∵在等腰△ABC中，β=γ。

设T（ β）= β'，T（ γ ）= γ'， 但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'， 即B'与γ'一般不等。 ∴角平分线不是仿射不变性。

在等腰△ABC中，设D是BC的中点，则AD?BC，由于 T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。 由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。得下题 2、两条直线垂直是不是仿射不变性？ 答:两直线垂直不是仿射不变性。

3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。

证明：设仿射变换T将△ABC 变为△A'B'C'，D、E、F分别是BC、CA，AB边的中点。

由于

一、填空题（每题2分，共计20分）

?x??3x?y?4?y??4x?2y的自对应点为 .

1.仿射变换?2.交比是 不变量.

3.如果两个三点形的对应边的交点共线，则这条线叫做 . 4.点（1，1，3）的方程是 .

5.已知

(p1p2,p3p4)?12,则(p1p3,p2p4)= .

6.若a,b,c为线束S中的三直线，则(abc)? .

7.若已知两个点列的三对对应点，则可以唯一决定一个 . 8.若Ox轴上的射影变换式为

x??x?13x?2，则原点的对应点为 .

9.已知某对合的二重元素的参数为2与3，则这个对合的方为 . 10.在射影平面上，成射影对应的两个线束对应直线的交点的集合称为 . 二、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共计20分）

1.在仿射变换下等腰三角形仍对应等腰三角形. （ ）

2.任意三点不共线的同一平面的五点，可确定一

高等几何复习

第三章 射影变换与射影坐标

1. 交比及基本性质 2. 交比的计算公式

（要求每一个公式配上一个例题。如：C≡A+λB，D≡A+μB，则(AB,CD)?设A（1,1,1），B（1，– 1，1），C（1, 0, 1），D（0，1，0），求（AB，CD）。 解 因为 C = 2（A + B），D = 2（A – B），所以λ= 1，μ= – 1。所以

?。 ?(AB,CD)?1） ??1。

?13. 线束的交比

（只要给出2中的对偶。在计算中，只要用线坐标代替直线方程，就可应用2中的公式。） 4. 完全四点形的调和性

（四点形的调和性在初等几何的应用中有两个重要的定理：

（i） （AB，CD）= – 1，则C是线段AB的中点等价于D是直线AB的无穷远点。（这和平行性有关）

（ii） (ab, cd) = – 1，则c,d平分∠(a, b)等价于c⊥d。 ）

5. 一维基本型的透视对应与射影对应 （1）透视对应的定义； （2）一维射影定应的定义；

（3）从一一对应中判别射影对应的判别定理； (4) 从射影对应中判别透视对应的判别定理；

（5）一维射影对应的代数表示 （要求配上例题）；

（6）一维射影变换的不变点的性质：设E

系 专业 班 学号 姓名 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 试卷类型： A 高等几何 使用专业年级 考试方式：开卷（ ）闭卷（√） 共 6 页 题号 一 二 三 四 五 六 合计 得分 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1、设P1(1)，P2(-1)，P1P2P3)? 。 3(?)为共线三点，则(P2、写出德萨格定理的对偶命题： 。 3、若共点四直线a,b,c,d的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=______。 4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为：

一、选择题（共15分，每小题3分）

1、下列关于射影平面的论述正确的是 ――――――――――――――――― （ ）

A,无穷远直线视为普通的直线； B,所有直线都是封闭的； C,任意两直线必相交于一点； D,一条直线分射影平面为两部分。

2、下列到直线自身的射影对应属于双曲型对合的是 ―――――――――――（ ） A, ???

3、下列哪个几何性质或图形不属于仿射几何的研究范围――――――――――（ ）

A, 平行四边形； B,简比； C, 三角形的垂心； D,接合性；

224、二次曲线3x1?2x2?x1x2?x1x3?x2x3?0在射影观点下的基本类型是――

??2??1；B, ?????????4?0； C, ?????21?? D, ????2??3?0；

（ ）

A，虚的常态二阶曲线；B,实的常态二阶曲线；C,两条虚直线； D,两条实直线

5、由几对对应元素可以确定平面上任意的一个射影变换――――――――――（ ）

1

A, 1 B, 2 C, 3 D, 4

《高等几何》复习题

一、填空题

1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ；

2、线坐标 (1,2,1) 的直线的齐次方程为：x1?2x2?x3?0 ； 3、直线3x1?2x2?0上的无穷远点坐标为： （2,-3,0） ；

4、设(AB,CD)=2，则点偶 AC 调和分割点偶 BD ； 5、两个射影点列成透视的充要条件是 保持公共元素不变 ；

6、写出德萨格定理的对偶命题： 三线形对应边的交点共线，则对应点连线共点。 7、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 8、求射影变换???2??1?0的自对应元素的参数 1 9、平面上4个变换群，射影群、仿射群、相似群、正交群的大小关系为： 射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群。

10、二次曲线的点坐标方程为4x1x3?x2?0，则其线坐标方程为是 u1u3?u2?0. 11、经过一切透视仿射不改变的性质和数量，称为仿射不变性和仿射不变量. 12、共线三点的简比是 仿射 不变量.

13、平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一 仿射变换 . 14、已知OX轴上

向量代数与空间解析几何

第一部分 向量代数___线性运算

[内容要点]:

1. 向量的概念. 2. 向量的线性运算.

3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算.

[本部分习题]

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限. A(2,?3,?5);B(0,4,3);C(0,?3,0) 2. 求点(1,?3,?2)关于点(?1,2,1)的对称点坐标. 3. 求点M(?4,3,?5)到各坐标轴的距离.

4. 一向量的起点为A(1,4,?2),终点为B(?1,5,0),求AB在x轴、y轴、z轴上的投影,并

求|AB|。

5. 已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2),计算向量M1M2的模、方向余弦和方向角.

6． 已知a?{3,5,4},b?{?6,1,2},c?{0,?3,?4},求2a?3b?4c及其单位向量.

7．设a?3i?5j?8k,b?2i?4j?7k,c?5i?j?4k,求向量l?4a?3b?c在x轴上的投影以及在y轴上的分向量.

???????????????????????????第二部分 向量代数___向量的“积”

[内容要点]:

1.向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运

高等代数与解析几何复习题

第一章 矩阵

一、 填空题

1.矩阵

A与B的乘积AB有意义，则必须满足的条件是 。

? 。

2.设A?(aij)m?s,B?(bij)s?n,又AB?(cij)m?n，问cij3.设

A与B都是n级方阵，计算(A?B)2? , (A?B)2? ,

(A?B)(A?B)? 。

4.设矩阵A???12??,试将A表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。 34?? （注意：任意n阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）

?20?1???T5.设X?(1,2,1),Y?(2,1,?3),A?013,计算XAY? 。

????122???6.设向量???1,2,3?,??(1,1,1)T，则??? ，??? 。 ?20?100?，则A? 。

?03?7.设矩阵A???2

高等代数的相关理论在几何上的应用

班级：经数1401 学号：20140236 姓名：石凯

内容摘要：本文主要研究矩阵、行列式与Cramer法则在判别直线、平面与线面位置关系时的应用以及如何用行列式表示直线或平面方程．还应用线性方程组的理论得到了解析几何中的几个简单命题，从而疏通了高等代数与解析几何的内在联系，并体现出代数学与几何学相互渗透，相互影响的本质关系,能够使学习者在具体的几何背景下直观地接受代数方法．

关键词：矩阵；行列式；Cramer法则；线性方程组；对称变换

1.导言

高等代数这门课程内容充实，逻辑严密，是现代数学、物理、工程、经济等学科的基础．而高等代数作为其它学科的基础，其内容与基本理论和方法必然有着广泛的应用．如一般性思想方法、抽象性思想方法、公理化思想方法、初等变换的思想方法、辩证思维的思想方法和关系映射反演思想方法等．

“高等代数”与“解析几何”作为高等院校数学专业的两门重要基础课程，它们既各具特点不能相互取代，又存在着天然的内在联系，主要表现在它们的内容上有许多重叠和相互依赖，相互支撑的部分．它们之间存在着密切的联系，这种关系可以归结为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景[2]”．目前,将这两门课程进行合并教学的探

高几习题集及解答

第一章 仿射几何的基本概念

1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。

证明：设T为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T可使等腰△ABC（AB=AC）与

一般△A'B'C'相对应，设点D为线段BC的中点，则AD⊥BC，且β=γ，T（D）=D' （图1）。∵T保留简比不变， 即（BCD）=（B'C'D'）= -1，

∴D'是B'C'的中点。因此线段中点是仿射不变性。 ∵在等腰△ABC中，β=γ。

设T（ β）= β'，T（ γ ）= γ'， 但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'， 即B'与γ'一般不等。 ∴角平分线不是仿射不变性。

在等腰△ABC中，设D是BC的中点，则AD?BC，由于 T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。 由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。得下题 2、两条直线垂直是不是仿射不变性？ 答:两直线垂直不是仿射不变性。

3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。

证明：设仿射变换T将△ABC 变为△A'B'C'，D、E、F分别是BC、CA，AB边的中点。

由于仿射