含参数的导数恒成立问题

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关于x的不等式 x 25 ax在 1, 3 上恒成立，2

求实数 a 的取值范围。思路1:只须不等式左边的最小值不小于右边最大值； 思路2 :把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含参数a,求函数的最值；

思路3:把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像。

不等式的应用 ——含参数恒成立问题制作人: 雷凯岚

当x 1 , 2 时ax 2 0恒成立，求 a 的取值范围 。

从 数 的 角 度

ax 2 0 ax 2 2 结论：(变量分离法)将不 a 2 又 x 0 等式中的两个变量分别置于 x f x x 在 x 1, 2 上是减函数

2 a x

=2

max

不等号的两边，则可将恒成 立问题转化成函数的最值问 题求解。

a 2

a f x ,则 a f x max 若 a f x ,则 a f x min若

当x 1 , 2 时ax 2 0恒成立，求 a 的取值范围 。当x 1, 2

,

f ( x) ax 2 0恒

已知函数f(x)?x?ax?bx?a（a、b?R）

1.若函数f(x)在x=1处有极值为10，求b的值

2.若对任意a∈[-4,+∞),f(x)在x∈[0,2]上单调递增，求b的最小值

解：（1）由f(x)?x?ax?bx?a， 得f'(x)?3x?2ax?b

由 函数y?f(x)在点x?1处有极值10 可得以下3条信息（第<3>条作为验证用）： <1>： 函数在x?1处的导数为0，故 3?2a?b?0； <2>：函数在x?1处的函数值为0，故 1?a?b?a?10， 由以上两式整理可得 ?23222322???a?3??a?4??0

??b??3?2a解得 ??a??3?a?4，或 ?

b?3b??11??若 ??a??322， 则 f'(x)?3x?6x?3?3?x?1?在R恒大于等于0，

?b?3可见 y?f(x)在R上为单调递增函数，尽管在x?1处导数为0，但x?1并不是极值点）【——这就是第<3>条信息：可以解释成<3>：方程f'(x)?3x?2ax?b?0必须有两个不相等的根，这两个根，才分别都是极值点。如果两个根相等，则（都）不是极值点。】 ．．．所以 只有?2?a?4符合要求，

?b??11即 b??11

（2）对于任意的a???4,

应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点;利用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题;利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的热点;将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用，仍将是高考压轴题.

一．含参数函数求单调性（求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数定义域;(2)求导数;(3)令导数大于0,解得增区间, 令导数小于0,解得减区间.）

2ax a2 1

例1（2012西2）已知函数f(x) ，其中a R． 2

x 1

（Ⅰ）当a 1时，求曲线y （Ⅱ）求

f(x)在原点处的切线方程；

f(x)的单调区间．

f(x)

（Ⅰ）解：当a 1时，

(x 1)(x 1)2x

f(x) 2，． ………………2分 222

x 1(x 1)

由

f (0) 2， 得曲线y f(x)在原点处的切线方程是2x y 0．…………3分

f (x) 2

(x a)(ax 1)

． ………………4

x2 12x

．所以f(x)在(0, )单调递增，在( ,0)单调递2

x 1

（Ⅱ）解：分

① 当a 0时，f (x)

减． ………………5分

1

(x a)(

导数中恒成立问题（最值问题）

恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。

知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边）

先来简单的（也是最本质的）如分离变量后，a?f(x)恒成立，则有a?f(x)max

a?f(x)恒成立，则有a?f(x)min

（若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大） 1.对于单变量的恒成立问题

如：化简后我们分析得到，对?x??a,b?，f(x)?0恒成立，那么只需f(x)min?0

?x??a,b?，使得f(x)?0，那么只需f(x)max?0 2.对于双变量的恒成立问题

如：化简后我们分析得到，对?x1,x2??a,b?，f(x1)?g(x2)，那么只需f(x)min?g(x)max 如：化简后我们分析得到，对?x1??a,b?，?x2??c,d?使f(x1)?g(x2)，那么只需

f(x)min?g(x)min

如：化简后我们分析得到，?x1??a,b?，x2??c,d?使f(x1)?g(x2)，那么只需f(x)max?g(x)min 还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话（双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变

导数含参数问题

类型一：没有其他未知字母情况下，求单调性，极值，最值 例1：设函数f(x)?x3?ax2?9x?1(a?0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：（Ⅰ）a的值;（Ⅱ）函数f(x)的单调区间. 解：(Ⅰ) a??3,由题设a?0,所以a??3.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知a??3,因此f(x)?x3?3x2?9x?1, f?(x)?3x2?6x?9?3(x?3(x?1) 令f?(x)?0,解得：x1??1,x2?3.

当x?(??,?1)时，f?(x)?0,故f(x)在(??，?1）上为增函数； 当x?(?1,3)时，f?(x)?0,故f(x)在（?1， 3）上为减函数； 当x?(3,+?)时，f?(x)?0,故f(x)在（3，??）上为增函数. 由此可见，函数f(x)的单调递增区间为(??,?1）和（3，??）； 单调递减区间为（?1，3）.

变式训练1：设函数f(x)?x4?ax3?2x2?b(x?R)，其中a，b?R． 10（Ⅰ）当a??时，讨论函数f(x)的单调性； 3

（Ⅱ）若函数f(x)仅在x?0处有极值，求a的取值范围；

（Ⅰ）解：f?(x)?4x3?3ax2?4x?x(4x2?3ax?4)．

利用数形结合解决导数中恒成立问题 两招破解不等式的恒成立问题

(1)分离参数法

第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． (2)函数思想法

第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值(最值)； 第三步：构建不等式求解．

例1 [2015·厦门质检]已知函数f(x)＝4x

?1?1??2x2＋m在??

2，f??2????处的切线方程

为8x－9y＋t＝0.(m∈N，t∈R)

(1)求m和t的值；

(2)若关于x的不等式f(x)≤ax＋8?1

?9在??2，＋∞??

恒成立，求实数a的取值

范围．

例2.[2015·福建高考]已知函数f(x)＝lnx－?x－1?2

2. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)证明：当x>1时，f(x)

(3)确定实数k的所有可能取值，使得存在x0>1，当x∈(1，x0)时，恒有f(x)>k(x－1)．

例3．[2015·山西质量监测]已知函数f(x)＝ln (x＋1)－ax

x＋1－x，a∈R.

(1)当a>0时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若存在x>0，使f(x)＋x＋1<－x

x＋1(a∈Z)成立

不等式中恒成立问题的解法研究

在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。

恒成立问题的基本类型：

类型1：设f(x)?ax2?bx?c(a?0)，（1）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0；（2）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0。 类型2：设f(x)?ax2?bx?c(a?0)

b?b??b??????????????（1）当a?0时，f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??2a， 或?或?2a2a???f(?)?0????0?f(?)?0?f(?)?0 f(x)?0在x?[?,?]上恒成立???f(?)?0?f(?)?0a?0（2）当时，f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??

f(?)?0?b?b??b?????????????? f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??2a或?或?2a2a???f(?)?0????0?f(?)?0类型3：

f(x)??对一切x?I恒成立?f(x)min??f(x)??对一切x?I恒成立?f(x)max??。 类型4：

f(x)?g(x)对一切x?I恒成立?f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x)min?g(x)max(x?

含参不等式恒成立问题的求解策略

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0,x?R),有

1）f(x)?0对x?R恒成立???a?0???0

2）f(x)?0对x?R恒成立???a?0??0.

?例1．已知函数y?lg[x2?(a?1)x?a2]的定义域为R，求实数a的取值范围。 解：由题设可将问题转化为不等式x2?(a?1)x?a2?0对x?R恒成立，即有

??(a?1)2?4a2?0解得a??1或a?13 所以实数a的取值范围为(??,?1)?(13,??)。

若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例2．设f(x)?x2?2mx?2，当x?[?1,??)时，f(x)?m恒成立，

含参不等式恒成立问题的求解策略

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0,x?R),有

1）f(x)?0对x?R恒成立???a?0???0

2）f(x)?0对x?R恒成立???a?0??0.

?例1．已知函数y?lg[x2?(a?1)x?a2]的定义域为R，求实数a的取值范围。 解：由题设可将问题转化为不等式x2?(a?1)x?a2?0对x?R恒成立，即有

??(a?1)2?4a2?0解得a??1或a?13 所以实数a的取值范围为(??,?1)?(13,??)。

若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例2．设f(x)?x2?2mx?2，当x?[?1,??)时，f(x)?m恒成立，

含参数导数问题的三个基本讨论点

导数是研究函数图像和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题是每年高考的必考试题之一。随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题又是历年高考命题的热点。由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过，而且在众多的教辅资料中也难得一见，本文就来讨论这一问题，供大家参考。

一、

求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。

?1,x?1?例1（2008年高考广东卷（理科） 设k?R，函数f(x)??1?x,F(x)?f(x)?kx,x?R，

??x?1,x?1?试讨论函数F(x)的单调性。

?1?k?1?x?2,x?1??12?kx,x?1,???1?x?,F'(x)??解：F(x)?f(x)?kx??1?x。

??x?1?kx,x?1?1?2kx?1?,x?1??2x?1?考虑导函数F'(x)?0是否有实根，从而需要对参数k的取值进行讨论。

1?k?1?x?2（一）若x?1，则F'(x)??1?x?2。由于当k?0时，F'(x)?0无实根