数列的综合应用教学反思

第5讲 数列的综合应用

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考向探究导析

考题专项突破

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【2013年高考会这样考】 1.考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题. 2.考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力. 【复习指导】 1.熟练把握等差数列与等比数列的基本运算. 2.掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、 “数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等. 3.注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法.

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基础梳理 1.等比数列与等差数列比较表

不同点

相同点 (1)都强调从第二项 起每一项与前项的

(1)强调从第二项起每一项 等差 数列 与前项的差；(2)a1和d可 以为零；

关系；(2)结果都必须是同 一个常数； (3)数列都可由a1, d或a1,q确定

(3)等差中项唯一

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(1)都强调从第二项 起每一项与前项的

(1)强调从第二项起每一项等比 与前项的比； 数列 (2)a1与q均不为零； (3)等比中项有两个值

关系； (2)结果都必须是同

一个常数；(3)数列都可由a1, d或a1,q确定

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g3.1028数列的综合应用

一、知识回顾

1. 数列的概念，等差、等比数列的基本概念； 2. 等差、等比数列的通项、前n项和公式； 3. 等差、等比数列的重要性质； 4. 与数列知识相关的应用题；

5. 数列与函数等相联系的综合问题。

二、基本训练

?an?2,　n是奇1. 数列{an}中，a1?2,an?1?? ，则a5? 。

2a,　　n是偶?n2. 等差数列{an}中，a1?2，公差不为零，且a1,a3,a11恰为某等比数列的前3项，那么该等比数列的公比等于 。

23. Sn是等差数列{an}的前n项和，an?0，若am?1?am?am?1?0,S2m?1?38，则m

= 。

4. 设{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且b1?0，数列{cn}的前三项依次是1,1,2，且

cn?an?bn，则数列{cn}的前10项和为 。

5. 如果函数f(x)满足：对于任意的实数a、b，都有f(a?b)?f(a)f(b)，且f(1)?2，则

f(2)f(5)f(9)f(14)f(1274)??????? 。 f(1)f(3)f(6)f(10)f(1225)

三、例题分

数列求和及其综合应用

1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n－1)

2. 数列是特殊的函数，这部分内容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握．

－

1、 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n1·(3n－2)，则a1＋a2＋?＋a10＝________.

An7n＋5a72.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则＝________

Bnn＋3b7

a2n＋1

3.若数列{an}满足2＝p(p为正常数，n∈N*)，则称{an}为“等方比数列”．则“数列{an}

an是等方比数列”是“数列{an}是等比数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)

4.已知函数

数列求和及综合应用

解答题

1. (2014·湖北高考文科·T19)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式.

(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由. 【解题指南】(1)由2,2+d,2+4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列{an}的通项. (2)根据{an}的通项公式表示出{an}的前n项和公式Sn,令Sn>60n+800,解此不等式. 【解析】(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)=2(2+4d),

2

化简得d-4d=0,

2

解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2;

当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,

从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2. (2)当an=2时,Sn=2n. 显然2n<60n+800,

此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立. 当an=4n-2时,Sn=

2

n[2?(4n?2)]2

=2n.

22

令2n>60n+800,即n-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去),

此时存在正整数n,使得Sn>60

数列求和及综合应用

解答题

1. (2014·湖北高考文科·T19)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式.

(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由. 【解题指南】(1)由2,2+d,2+4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列{an}的通项. (2)根据{an}的通项公式表示出{an}的前n项和公式Sn,令Sn>60n+800,解此不等式. 【解析】(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)=2(2+4d),

2

化简得d-4d=0,

2

解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2;

当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,

从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2. (2)当an=2时,Sn=2n. 显然2n<60n+800,

此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立. 当an=4n-2时,Sn=

2

n[2?(4n?2)]2

=2n.

22

令2n>60n+800,即n-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去),

此时存在正整数n,使得Sn>60

数学是中职必修课程之一,对学生将来的就业和升学都起着极其重要的作用。而等差数列是中职数学研究的两个基本数列之一。等差数列的前项和公式则是等差数列中的一个重要公式。作者围绕《等差数列的前n项和公式(一)》这节课的教学设计说明,通过试讲及修改的全过程,谈谈在新课程标准理念下对课堂教学设计的反恩和体会。

.

_

等差数列求和公式的教学反思杜莹梅(苏省丰县中等专业学校，苏丰县江江摘要：学是中职必修课程之一，学生将来的就业数对和升学都起着极其重要的作用。而等差数列是中职数学研究的两个基本数列之一等差数列的前项和公式则是等差数列 中的一个重要公式。者围绕《差数列的前 n作等项和公式 ( )一》这节课的教学设计说明，过试讲及修改的全过程，谈在新通谈课程标准理念下对课堂教学设计的反恩和体会。 关键词：差数列求和公式公式推导教学反思等

210 ) 2 7 0

二、学重难点教 ( )学重点一教1究并获得等差数列的前n和公式： .探项 2等差数列前 n和公式的初步应用学难点。 .项 ( )学难点二教“尾配对法”推导方法。首一

高中阶段数学新课程标准要求教师从片面注重数学知识的传授转变到注重培养学生的数学思维。教师不仅要关注学习结果，而且要关注学生的数学学习过程。在教学过程

万智春季高考数学一轮复习

5.4等差等比数列的综合应用

知识梳理

数列应用题常见模型

（1） 等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差 （2） 等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比， 生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加（或减少），同时又以一个固定的具体量增加（或减少）如：分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等。 典型例题

题型一 等差数列模型

例1. 为了减少沙尘暴对本城市环境的影响，某市政府决定在城市外围构筑一道新的防护林，计划从2011年起每年都植树20000

棵，2011年底发现防护林内损失了1000棵，假设以后每一年损失的树都比上一年多300棵，照此计算： （1）2020年这一年将损失多少棵？

（2）到2020年底，该防护林内共存活多少棵树？

题型二 等比数列模型

例2.某人于2000年1月在银行存入10000元，2001年1月再次存入10000元，此后，每年1月份都存入10000元，设银行利率为a，该人于2010年1月将本息和全部取出，问本息和共多少？

题型三 涉及等差、等

等差数列的概念教学设计与反思

【教学目标】理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，会应用通项公式解决简单的计算；培养学生的观察、归纳、分析探索能力。

【教学重点】理解等差数列的定义，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决简单的计算。

【教学难点】探索推导等差数列的通项公式。

【教学方法】尝试探究

【教学过程】

一、尝试预习，以旧引新

出示题目：观察下列数列，按规律

填空

1）1，3，5，7，9，……

2）2，5，8，11，14，……

3）-2，3，8，13，18，……

4）12，8，4，0，-4，……

师：这些数列共同的特点是什么？生：后一项减前一项的差相等。

师：我们给这样的数列取个名字吧？

生：等差数列。

师：很好，这节课我们就研究等差数列。

板书课题：等差数列

二、师生互动，讲授新课

1.尝试举例，强化概念师：等差数列强调每相邻的两项，后一项减前一项的差相等，作为差的这个数对每个差式都是公共的，我们可以叫它什么？

生：公差。

师：很好，前面四个数列的公差分别是多少？

生：2，3，5，-4。

师：你能举出等差数列的例子吗？（学生举出3至5个例子，并说出它们的公差）

师：你在举例子时，最先确定哪些量，然后给出整个数列？

生：首项和公差。

2.尝试推导，应用概念

师：如果给出等差数列的首

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数列的综合应用

一、课前检测

1．猜想1=1,1-4= - (1+2), 1-4+9=1+2+3,……的第n个式子

为 。 答案：1?4?9?16?

2．用数学归纳法证明1?a?a?......?a2n?1?(?1)n?1n2?(?1)n?1(1?2?3?4??n)

1-an?2?(n?N?,a?1),在验证1-an?1成立时,左边所得的项为( C )

A.1 B.1+a C.1?a?a2 D.1?a?a2?a3

二、知识梳理

1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题。 ⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1?r.其中第n年产量为

a(1?r)n?1，且过n年后总产量为：

2n?1a?a(1?r)?a(1?r)?...?a(1?r)a[a?(1?r)n]?. 1?(1?r)⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算

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数列的综合应用

一、课前检测

1．猜想1=1,1-4= - (1+2), 1-4+9=1+2+3,……的第n个式子

为 。 答案：1?4?9?16?

2．用数学归纳法证明1?a?a?......?a2n?1?(?1)n?1n2?(?1)n?1(1?2?3?4??n)

1-an?2?(n?N?,a?1),在验证1-an?1成立时,左边所得的项为( C )

A.1 B.1+a C.1?a?a2 D.1?a?a2?a3

二、知识梳理

1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题。 ⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1?r.其中第n年产量为

a(1?r)n?1，且过n年后总产量为：

2n?1a?a(1?r)?a(1?r)?...?a(1?r)a[a?(1?r)n]?. 1?(1?r)⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算