几何蝴蝶模型证明
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几何证明——中点模型(高级)
★初中几何证明专题★
几何证明——中点模型(高级)
【经典例题】
例1、已知?ABC中,?ACB?90,AB边上的高线CH与?ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于
0P、Q两点,PM、QN的中点分别为E、F,求证:EF//AB。
AHNFQPECMB
例2、已知,D为AC边的中点,?A?3?C,?ADB?45?求证:AB?BC。
BADC
例3、已知FC是正方形ABCD和正方形AEFG上的点F、C的连线,点H是FC的中点,连接EH、DH。 求证:EH?DH且EH?DH。
EFADHGBC
◆中点模型◆
1 ★初中几何证明专题★
例4、如图,在四边形ABCD中,AB?CD,E,F分别是BC,AD的中点,A,CD的延长线分别交EF的延长线G,H。 求证:?BGE??CHE.
GHAFDBEC
例5、如图,在?ABC中,D为AB的中点,分别延长CA、CB到点E、F,使DE?DF,过E、F分别作CA、CB的垂线,相交于P。求证:?PAE??PBF。
CADBFEP
例6、如图,分别以?ABC的AC和BC为一边,在?ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,过点C作直线MN垂直于AB,交AB
几何证明 - 中点模型(高级)
★初中几何证明专题★
几何证明——中点模型(高级)
【经典例题】
例1、已知?ABC中,?ACB?90,AB边上的高线CH与?ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于
0P、Q两点,PM、QN的中点分别为E、F,求证:EF//AB。
AHNFQPECMB
例2、已知,D为AC边的中点,?A?3?C,?ADB?45?求证:AB?BC。
BADC
例3、已知FC是正方形ABCD和正方形AEFG上的点F、点H是FC的中点,连接EH、DH。 C的连线,求证:EH?DH且EH?DH。
EFADHGBC
◆中点模型◆
1 ★初中几何证明专题★
例4、如图,在四边形ABCD中,AB?CD,E,F分别是BC,AD的中点,A,CD的延长线分别交EF的延长线G,H。 求证:?BGE??CHE.
GHAFDBEC
例5、如图,在?ABC中,D为AB的中点,分别延长CA、CB到点E、F,使DE?DF,过E、F分
别作CA、CB的垂线,相交于P。求证:?PAE??PBF。
CADBFEP
例6、如图,分别以?ABC的AC和BC为一边,在?ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,过点C作直线MN垂直于AB,交A
几何证明 - 中点模型(高级)
★初中几何证明专题★
几何证明——中点模型(高级)
【经典例题】
例1、已知?ABC中,?ACB?90,AB边上的高线CH与?ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于
0P、Q两点,PM、QN的中点分别为E、F,求证:EF//AB。
AHNFQPECMB
例2、已知,D为AC边的中点,?A?3?C,?ADB?45?求证:AB?BC。
BADC
例3、已知FC是正方形ABCD和正方形AEFG上的点F、点H是FC的中点,连接EH、DH。 C的连线,求证:EH?DH且EH?DH。
EFADHGBC
◆中点模型◆
1 ★初中几何证明专题★
例4、如图,在四边形ABCD中,AB?CD,E,F分别是BC,AD的中点,A,CD的延长线分别交EF的延长线G,H。 求证:?BGE??CHE.
GHAFDBEC
例5、如图,在?ABC中,D为AB的中点,分别延长CA、CB到点E、F,使DE?DF,过E、F分
别作CA、CB的垂线,相交于P。求证:?PAE??PBF。
CADBFEP
例6、如图,分别以?ABC的AC和BC为一边,在?ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,过点C作直线MN垂直于AB,交A
几何证明——中点模型(高级)
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几何证明——中点模型(高级)
【经典例题】
例1、已知?ABC中,?ACB?90,AB边上的高线CH与?ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于
0P、Q两点,PM、QN的中点分别为E、F,求证:EF//AB。
AHNFQPECMB
例2、已知,D为AC边的中点,?A?3?C,?ADB?45?求证:AB?BC。
BADC
例3、已知FC是正方形ABCD和正方形AEFG上的点F、C的连线,点H是FC的中点,连接EH、DH。 求证:EH?DH且EH?DH。
EFADHGBC
◆中点模型◆
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例4、如图,在四边形ABCD中,AB?CD,E,F分别是BC,AD的中点,A,CD的延长线分别交EF的延长线G,H。 求证:?BGE??CHE.
GHAFDBEC
例5、如图,在?ABC中,D为AB的中点,分别延长CA、CB到点E、F,使DE?DF,过E、F分别作CA、CB的垂线,相交于P。求证:?PAE??PBF。
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例6、如图,分别以?ABC的AC和BC为一边,在?ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,过点C作直线MN垂直于AB,交AB
几何证明——中点模型(高级)
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几何证明——中点模型(高级)
【经典例题】
例1、已知?ABC中,?ACB?90,AB边上的高线CH与?ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于
0P、Q两点,PM、QN的中点分别为E、F,求证:EF//AB。
AHNFQPECMB
例2、已知,D为AC边的中点,?A?3?C,?ADB?45?求证:AB?BC。
BADC
例3、已知FC是正方形ABCD和正方形AEFG上的点F、C的连线,点H是FC的中点,连接EH、DH。 求证:EH?DH且EH?DH。
EFADHGBC
◆中点模型◆
1 ★初中几何证明专题★
例4、如图,在四边形ABCD中,AB?CD,E,F分别是BC,AD的中点,A,CD的延长线分别交EF的延长线G,H。 求证:?BGE??CHE.
GHAFDBEC
例5、如图,在?ABC中,D为AB的中点,分别延长CA、CB到点E、F,使DE?DF,过E、F分别作CA、CB的垂线,相交于P。求证:?PAE??PBF。
CADBFEP
例6、如图,分别以?ABC的AC和BC为一边,在?ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,过点C作直线MN垂直于AB,交AB
小升初几何 - (五大模型 - 蝴蝶模型与燕尾模型) - 图文
小升初几何重点考查内容
(★★★)
如图,长方形ABCD中,BE∶EC=2∶3,DF∶FC=1∶2,三角形DFG的面积为2平方厘米,求长方形ABCD的面积。
1
(★★★)
在下图的正方形ABCD中,E是BC边的中点, AE与BD相交于F点,三角形BEF的面积为1平方厘米,那么正方形ABCD面积是多少平方厘米。
(★★★)
如图,在梯形ABCD中,AD∶BE=4∶3,BE∶EC=2∶3,且△BOE的面积比△AOD的面积小10平方厘米。梯形ABCD的面积是多少平方厘米?
(★★★)
在三角形ABC中,三角形AEO的面积是1,三角形ABO的面积是2,三角形BOD的面积是3,则四边形DCEO的面积是多少?
(★★★★)
如图,E在AC上,D在BC上,且AE∶EC=2∶3,BD∶DC=1∶2,AD与BE交于点F。四边形DFEC的面积等于22cm2,则三角形ABC的面积是______。
2
(★★★★★) 如图在△ABC中,
?GHI的面积DCEAFB2的值。 ???,求
?ABC的面积DBECFA3
在线测试题
温馨提示:请在线作答,以便及时反馈孩子的薄弱环节。
1.已知长方形ADEF的面积是16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF
小升初几何重点考查内容 - - (五大模型 - 蝴蝶模型与燕尾模型) - 图文
小升初几何重点考查内容
(★★★)
如图,长方形ABCD中,BE∶EC=2∶3,DF∶FC=1∶2,三角形DFG的面积为2平方厘米,求长方形ABCD的面积。
1
(★★★)
在下图的正方形ABCD中,E是BC边的中点, AE与BD相交于F点,三角形BEF的面积为1平方厘米,那么正方形ABCD面积是多少平方厘米。
(★★★)
如图,在梯形ABCD中,AD∶BE=4∶3,BE∶EC=2∶3,且△BOE的面积比△AOD的面积小10平方厘米。梯形ABCD的面积是多少平方厘米?
(★★★)
在三角形ABC中,三角形AEO的面积是1,三角形ABO的面积是2,三角形BOD的面积是3,则四边形DCEO的面积是多少?
(★★★★)
如图,E在AC上,D在BC上,且AE∶EC=2∶3,BD∶DC=1∶2,AD与BE交于点F。四边形DFEC的面积等于22cm2,则三角形ABC的面积是______。
2
(★★★★★) 如图在△ABC中,
?GHI的面积DCEAFB2的值。 ???,求
?ABC的面积DBECFA3
在线测试题
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1.已知长方形ADEF的面积是16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF
几何中的蝴蝶定理
几何中的蝴蝶定理
几何之蝴蝶定理
一、 基本知识点
模型一:同一三角形中,相应面积与底的正比关系:
即:两个三角形高相等,面积之比等于对应底边之比。
b
S1︰S2 =a︰b ; 模型一的拓展: 等分点结论(“鸟头定理”)
如图,三角形AED占三角形ABC面积的
211
×= 346
模型二:任意四边形中的比例关系 (我们把它称作蝴蝶定理)
As2
B
D
s1S3
C
S4
①S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4 ②AO︰OC=(S1+S2)︰(S4+S3)
模型三:梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)
几何中的蝴蝶定理
as1s2
S3b
S4
①S1︰S3=a︰b
22
②S1︰S3︰S2︰S4= a︰b︰ab︰ab ;
2
③S的对应份数为(a+b)模型四:相似三角形性质
22
bB
ha
cCH
ah
c
BHA
A
①
abch
; ABCH
2
2
②S1︰S2=a︰A
二、 例题分析
例1、如图,AD DB,AE EF FC,已知阴影部分面积为5平方厘米,ABC的面积是多少平方厘米?
例2、有一个三角形ABC的面积为1,如图,且AD 三角形DEF的面积.
A
111
AB,BE BC,CF CA,求234
D
例3、如图,在三角形ABC中,
几何证明依据
几何证明、求值依据
④证明一个平面的法向量垂直于另一个平面内的两条不共线向量(需说明两个平面不重合).
有法可依、有理可据
1、证明线线平行常用的方法:
①基本性质4;
②直线与平面平行的性质定理;
③两个平面平行的性质定理;
④直线和平面垂直的性质定理;
⑤平面几何中的定理等;
⑥证明两条直线的方向向量共线(需说明它们不重合).
4、证明线线垂直常用的方法:
①一条直线垂直于一个平面,它就和平面内的任意一条直线都垂直;
②如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么也垂直于另一条;
③三垂线定理(逆定理);
④勾股定理;
⑤一些常见平面几何图形(需简单证明); ⑥证明两条直线的方向向量垂直.
2、证明线面平行常用的方法:
①直线与平面平行的判定定理;
②如果两个平面平行,其中一个平面内的直线平行于另一个平面;
③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(需说明直线不在平面内);
④证明直线的方向向量可以被平面内的两个不共线向量分解(需说明直线不在平面内).
5、证明线面垂直常用的方法:
①直线和平面垂直的判定定理;
②两个平面垂直的性质定理;
③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面;
蝴蝶定理的证明及推广
校选课《数学文化》课程论文
一 蝴蝶定理的证明
(一)运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明
蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现,于是涌现了很多利用中学简单几何
方法完成蝴蝶定理的方法。
1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线,同时诞生了各种美妙的思想,蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下,翩翩起舞!
证法1 如图2,作OU?AD,OV?BC,则垂足U,V分别为AD、BC的中点,且由于
?EUO??EMO?90? ?FVO??FMO?90?
得M、E、U、O共圆;M、F、V、O共圆。 则?AUM=?EOM,?MOF??MVC
??MV又?MAD??MCB,U、V为AD、BC的中点,从而?MUA,
?AUM??MVC
则 ?EOM??MOF,于是ME=MF。[1]
证法2 过D作关于直线OM的对称点D',如图3所示,则
?FMD'??EMD,MD=MD' ○1
联结D'M交圆O于C',则C与C'关于OM对称,即
PC'?CQ。又
111?CFP=(QB+PC)=(QB+CC'+CQ)=BC'=?BD'C'
222故M、F、B、D'四点共圆,即?MBF??MD'F
而