初中数学三角函数特殊角的值

三角函数特殊值

1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=

12

sin45°=cos45°= 22

tan30°=cot60°=

2

21

tan 45°=cot45°=1 3

2 21

3

45 1

60 1

说明：正弦值随角度变化，即0 30 45 60 90 变化；值从0

3 1变化，其余类似记忆．

2

3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律：

① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜ ＜90°时，

则0＜sin ＜1； 0＜cos ＜1 ； tan ＞0 ； cot ＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A＜B＜90°时，则sinA＜sinB；tanA＜tanB； cosA＞cosB；cotA＞cotB；特别地：若0°＜ ＜45°，则sinA＜cosA；tanA＜cotA 若45

三角函数特殊值

角度 函数 角a的弧度 sin cos tan 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 0 0 1 0 π/6 1/2 √3/2 √3/3 π/4 √2/2 √2/2 1 π/3 √3/2 1/2 √3 π/2 1 0 2π/3 √3/2 -1/2 -√3 3π/4 √2/2 -√2/2 -1 5π/6 1/2 -√3/2 -√3/3 π 0 -1 0 3π/2 -1 0 2π 0 1 0

1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=

12 sin45°=cos45°= 22 tan30°=cot60°=

2 30? 3

2、列表法： 1

3 tan 45°=cot45°=1 32 2 1

3

45? 1

60? 1

值 角 函 数 sin? 0° 30° 45° 60° 90° 0 24 20 1 23 23 32 22 29 33 21 227 34 20 2不存在 cos? tan? cot? 不

典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①?120?；②640?；③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S， 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?： ①80?；②?51?；③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度；

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度；⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式，并判断其所在象限.

19π； 3(2)-315°； (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是（）

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?；⑵1110?；⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3，3)，则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?，3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?，

典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①?120?；②640?；③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S， 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?： ①80?；②?51?；③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度；

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度；⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式，并判断其所在象限.

19π； 3(2)-315°； (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是（）

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?；⑵1110?；⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3，3)，则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?，3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?，

三角函数的诱导公式(第一课时)

(一)复习提问，引入新课 思考 如何求 cos150 ?150 y

30 想到150 的三角函数值与 30 角的三角函数值可能存在一定 x 的关系 为了使讨论具有一般性，我们来 研究任意角 的三角函数值的求 法.

O

(二)新课讲授由三角函数的定义我们可以知道：

终边相同的角的同一三角函数值相同sin ( 2k ) sin ( k Z) cos( 2k ) cos (k Z) tan( 2k ) tan (k Z)

(公式一)

我们来研究角 与 的三角函数值之间的关系 y

因为r=1,所以我们得到：y x sin ______, cos ______, P(x,y) -y x , sin( ) _____, cos( ) ____ x 由同角三角函数关系得 sin ( ) sin tan( ) tan cos( ) cos

M

O

P' (x, y)

sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan

(公式二)

思考 P '

中考数学专项复习 锐角三角函数与特殊角 2019.2

一、选择题

22

1． （2015，广西玉林，2，3分）计算：cos45°+sin45°=（ ） A． B． 1

考点： 特殊角的三角函数值． 分析： 首先根据cos45°=sin45°=

2

2

C． D．

，分别求出cos45°、sin45°的值是多少；然后把它们

22

求和，求出cos45°+sin45°的值是多少即可． 解答： 解：∵cos45°=sin45°=∴cos45°+sin45° ==

2

2

，

=1．

故选：B．

点评： 此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：（1）30°、45°、60°角的各种三角函数值；（2）一个角正弦的平方加余弦的平方等于1． 2. （2015?山西,第10题3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）

A．2

B．

C．

D．

考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理． 专题： 网格型．

分析： 根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．

解答： 解：如图：由勾股定理，得

，

第 1 页 共 8 页

AC=，AB=2，BC=，

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任意角的三角函数（第一课时）

一. 教学目标设计 1、认知目标:

（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；

（2）会作单位圆中的三角函数线；初步领会三角函数的定义域、值域、三角函数值的符号；

（3）会根据任意角的三角函数的定义求特殊角的三角函数值； （4）加深对函数一般概念的理解。 2、能力目标:

在学生原有知识的基础上，通过启发、引导学生发现和得出任意角的三角函数的定义及几何表示，培养学生观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力。 3、情感目标:

（1）通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；

（2）在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神； （3）以科学史激励学生，培养学生追求真理的精神。 二. 教学内容及重点、难点及关键的分析 教学重点 任意角的正弦、余弦、正切的定义

教学难点 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义及单位圆中三角函数的概念。

教学关键 抓住初中所学的三角函数的定义方法，与新问题形成知识冲突，激发学生学习的兴趣；直观地

上海市上南中学单元教学设计

上南中学单元教学设计

主题单元标题 学科领域 （在 思想品德 音乐 化学 信息技术 劳动与技术 其他（请列出）： 适用年级 所需时间 三角函数与反三角函数的复习 内打√ 表示主属学科，打+ 表示相关学科） 语文 美术 生物 科学 数学√ 外语 历史 社区服务 教师姓名 设计时间 符明媚 2011年9 月 28日 体育 物理 地理 社会实践 高三 10课时 主题学习概述（对主题内容进行简要的概述，并可附上相应的思维导图） 三角函数是中学数学的重要内容之一，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。这是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学后继内容和高等数学的基础。 主题学习目标（描述该主题学习所要达到的主要目标） 知识与技能： 1．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，能画出y=sin x，y=cos x，y=tan x的图象，了解三角函数的周期性； 2．借助图

1．2.1 任意角的三角函数

整体设计

教学分析

学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题．

本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数．由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发．三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用．

利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来，所以信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质；激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．

三维目标

1．通过借助单位圆理

教学步骤及内容 【考点精讲】 1．“五点法”作图 (1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 ?π??3π?(0,0)，?2，1?，(π，0)，?2，－1?，(2π，0)． ????(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 ?π??3π?，0??(0,1)，2，(π，－1)，?2，0?，(2π，1)． ????2．正弦、余弦和正切函数的图象和性质(下表格中的k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 对称中心 对称轴 R (kπ，0) πx＝kπ＋2 R π???kπ＋2，0? ??x＝kπ ?π??x|x≠kπ＋? 2?? ?kπ??2，0? ??无 单调性 π3π???2kπ＋2，2kπ ＋2?为减 ??π??2kπ－2，2kπ?奇 π?＋2?为增； ?[2kπ－π，2kπ]为增； [2kπ，2kπ＋π]为减 π??kπ－2，kπ＋?增 π?为2??奇偶性 3.函数的周期性 偶 奇 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周