2018高中数学全国联赛试题

全国高中数学联赛模拟试题(十)

一、选择题：(每小题6分，共36分)

1、设集合M={-2,0,1}，N={1,2,3,4,5}，映射f：M N使对任意的x M，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f的个数是

(A)45 (B)27 (C)15 (D)11

2、已知sin2q=a，cos2q=b，0 q ，给出值的五个：

① ; ② ; ③ ; ④ ;

⑤ .

其中正确的是：

(A)①②⑤ (B)②③④(C)①④⑤ (D)③④⑤

1/ 8

3、若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是

(A)64 (B)66 (C)68 (D)70

4、递增数列1,3,4,9,10,12,13, ，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为

(A)729 (B)972 (C)243 (D)981

5、 (其中，[x]表示不超过x的最大整数)的值为

(A) (B) (C) (D) 6、一个五位的自然数称为凸数，当且仅当它满足a b c，c d e(如12430，13531等)，则在所有的五位数中凸数的个数是

(A)8568 (B)2142 (C)2139 (D)1134

二、填

高中数学竞赛训练题

1．设全集I={(x,y)|x,y∈R}，集合M=?(x,y)??y?3??1?，N={(x，y)|y≠x+1}，那么CIM∩CIN等于x?2?D．{(x，y)|y=x+1}

（ ）

A．?

B．{(2，3)}

C．（2，3）

2．函数f(x)=log1（x2-2x-3）的单调递增区间是（ ）

2A．（-≦，-1） B．（-≦，1） C．（1，+≦） D．（3，+≦）

23．设全集是实数集，若A={x|

A．{2}

B．{-1}

x?2≤0}，B={x|10x

C．{x|x≤2}

?2=10x}，则A∩B是（ ） D．?

4．集合A，B的并集A∪B={a1，a2，a2}，当A≠B时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样

的（A，B）对的个数有（ ）

A．8 B．9 C．26 D．27

5．若非空集事A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A?A∩B成立的所有a的集合是（ ） A．{a|1≤a≤9} 6．函数f(x)?B．{a|6≤a≤9}

C．{a|a≤9}

D．?

xx?（ ）

1?2x2

B．是奇函数但不是偶函数

2018全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

一、填空题（本题共10小题，每小题107分，满分70分.要求直接将答案写在横线上.）

1.函数y?cosx?cos2x(x?R)的值域为__ .

?b22.已知(a?bi)2?3?4i，其中a,b?R，i是虚数单位，则a2的值为__ .

3.圆心在抛物线x2?2y上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程为__ .

1?4x2?x4.设函数f(x)?，则不等式f(1?x)?f(5x?7)?0的解集为__ ___. x25.已知等差数列{an}的前12项的和为60，则a1?a2??a12的最小值为__ . 6.已知正四面体内切球的半径是1，则该四面体的体积为___ __.

7.在?ABC中，AB?5，AC?4，且AB?AC?12，设P是平面ABC上的一点，则PA?(PB?PC)的最小值为_____ .

n8.设g(n)??(k,n)，其中n?N，(k,n)表示k与n的最大公约数，则g(100)的值为=__ . *k?19.将1,2,3,4,5,6,7,8,9，这9个数

高中数学联赛

全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》。

全国高中数学联赛(加试)在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加内容是： 1．平面几何

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理； 三角形旁心、费马点、欧拉线； 几何不等式； 几何极值问题；

几何中的变换：对称、平移、旋转； 圆的幂和根轴：

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2．代数

周期函数，带绝对值的函数；

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数；

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式； 第二数学归纳法；

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用； 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根；

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*；

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理； 函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。 3．初等数论

高中数学联赛

全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》。

全国高中数学联赛(加试)在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加内容是： 1．平面几何

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理； 三角形旁心、费马点、欧拉线； 几何不等式； 几何极值问题；

几何中的变换：对称、平移、旋转； 圆的幂和根轴：

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2．代数

周期函数，带绝对值的函数；

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数；

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式； 第二数学归纳法；

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用； 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根；

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*；

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理； 函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。 3．初等数论

全国高中数学联赛模拟试题（三）

第一试

一、选择题：（每小题6分，共36分）

1、若集合S＝{n|n是整数，且22n＋2整除2003n＋2004}，则S为

（A）空集? （B）单元集 （C）二元集 （D）无穷集 2、若多项式x2－x＋1能除尽另一个多项式x3＋x2＋ax＋b（a、b皆为常数）．则

a＋b等于 （A）0 （B）－1 （C）1 （D）2

3、设a是整数，关于x的方程x2＋(a－3)x＋a2＝0的两个实根为x1、x2，且

tan(arctan x1＋arctan x2)也是整数．则这样的a的个数是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）4

4、设一个四面体的体积为V1，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其

体积为V2．则（A）

1 2V2为 V1

（B）

2 3

12和 23（D）不确定，其值与四面体的具体形状有关

5、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其

余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为 （A）1001 （B）1010 （C）1011 （D）1013

6、在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点

组的个数是 （A）36

2012年全国高中数学联赛一试

参考答案及详细评分标准

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．

1.设P 是函数2y x x =+

（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向 直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ?u u u r u u u r 的值是 ． 2.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a B b A c -=

， 则tan tan A B

的值是 .

3.设,,[0,1]x y z ∈，则M =是 .

4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的 两个动点，且满足3AFB π∠=

．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ， 则||||

MN AB 的最大值是 . 5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45o ，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是

全国高中数学联赛试题及解答

1983年全国高中数学联赛

第一试

1．选择题(本题满分32分，每题答对者得4分，答错者得0分，不答得1分)

⑴ 设p、q是自然数，条件甲：p3－q3是偶数；条件乙：p+q是偶数．那么 A．甲是乙的充分而非必要条件 B．甲是乙的必要而非充分条件

C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 ⑵ x=

1111

的值是属于区间

1

log12353

A．(－2，－1) B．(1，2) C．(－3，－2) D．(2，3) ⑶ 已知等腰三角形ABC的底边BC及高AD的长都是整数，那么，sinA和cosA中 A．一个是有理数，另一个是无理数 B．两个都是有理数

C．两个都是无理数 D．是有理数还是无理数要根据BC和AD的数值来确定 ⑷ 已知M={(x，y)|y≥x2}，N={(x，y)|x2+(y－a)2≤1}．那么，使M∩N=N成立的充要条件是 1

A．a≥1 B．a=1 C．a≥1 D．0<a<1

44⑸

1 2008年全国高中数学联赛试题及答案

一 试

一、选择题（每小题6分，共36分）

1．函数2

54()2x x f x x

-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）。 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ?，则实数a 的取值范围为（ ）。

（A ）[1,2)- （B ）[1,2]- （C ）[0,3] （D ）[0,3)

3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比

对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23

，乙在每局中获胜的概率为13

，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ ）。 （A ）24181 （B ）26681 （C ）27481

（D ） 670243

4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ ）。

（A ）764 cm 3或586 cm 3

2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答

（6月14日上午8:30??11:30）

一、填空题

1、若三位数n?abc是一个平方数，并且其数字和a?b?c也是一个平方数，则称n为

超级平方数，这种超级平方数的个数是 ．

答案：13个．

解：可顺次列举出：100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961．

2、函数y?8x?x2?14x?x2?48的最大值是 ．

答案：23．

解：y?x(8?x)?(x?6)(8?x)?8?x?x?x?6??68?xx?x?6，

其定义域为6?x?8，当x?6时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的值达最大，其值为23．

3、直线l过点M(1,2)，若它被两平行线4x?3y?1?0与4x?3y?6?0所截得的线段长

为2，则直线l的方程为 ．

答案：x?7y?15或者7x?y?5．

解：设l的方程为y?2?k(x?1)，将此方程分别与4x?3y?1?0及4x?3y?6?0联立，?3k?7?5k?8??3k?12?10k?8?,,解得交点坐标A??与B??，据AB?2， 3k?43k?43k?43k?4?