概率论与数理统计魏宗舒答案第三章

第一章 事件与概率

1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。 解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2，?，正9，记不合格为次，则

(正2，正4)，?，(正2，正9)，(正2，次)， ??{(正1，正2)，(正1，正3)，?，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，(正3，正4)，?，(正3，正9)，(正3，次)，?，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)} A?{(正1，次)，(正2，次)，?，(正9，次)}

(2)记2个白球分别为?1，?2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别为r1，r2，r3，r4。则??{?1，

?2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4}(ⅰ) A?{?1，?2} (ⅱ) B?{r1，r2，r3，r4}

1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。(1) 叙述ABC的意义。(2)在什么条件下ABC?C成立？(3)什么时候关系式C?B是正确

第七章 假设检验

7.1 设总体??N(?,?2)，其中参数?，?2为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：

（1）H0:??0,??1； （2）H0:??0,??1； （3）H0:??3,??1； （4）H0:0???3； （5）H0:??0.

解：（1）是简单假设，其余位复合假设

7.2 设?1,?2,?,?25取自正态总体N(?,9)，其中参数?未知，x是子样均值，如对检验问题

H0:???0,H1:???0取检验的拒绝域：

c?{(x1,x2,?,x25):|x??0|?c}，试决定常数c，使检验的显著性水平为0.05

解：因为??N(?,9)，故??N(?,在H0成立的条件下，

9) 25P0(|???0|?c)?P(|???035c|?)53

5c???2?1??()??0.053???(5c5c)?0.975,?1.96，所以c=1.176。 3322)，?07.3 设子样?1,?2,?,?25取自正态总体N(?,?0已知，对假设检验

c?{(x1,x2,?,xn):|??c0}， H0:???0,H1:???，取临界域0（1）求此检验犯第一类错误概

第七章 假设检验

7.1 设总体 N( , 2)，其中参数 ， 2为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：

（1）H0: 0, 1； （2）H0: 0, 1； （3）H0: 3, 1； （4）H0:0 3； （5）H0: 0.

解：（1）是简单假设，其余位复合假设

7.2 设 1, 2, , 25取自正态总体N( ,9)，其中参数 未知，是子样均值，如对检验问题

H0: 0,H1: 0

取检验的拒绝域：

c {(x1,x2, ,x25):| 0| c}，试决定常数c，使检验的显著性水平为0.05 解：因为 N( ,9)，故 N( ,在H0成立的条件下，

P0(| 0| c) P(| 0

35c

| )53

5c

2 1 () 0.05

3 9

) 25

(

5c5c

) 0.975, 1.96，所以c=1.176。 33

227.3 设子样 1, 2, , 25取自正态总体N( , 0已知，对假设检验)， 0

H0: 0,H1: ，取临界域c {(x1,x2, ,xn):| c0}， 0

（1）求此检验犯第一类错误概率为 时，犯第二类错误的概率 ，并讨论它

三、（18分）1、设随机变量X，Y相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布.

（1） 写出 (X, Y)的联合密度f (x, y).

（2） 试求t的方程 t2?Xt?Y?0 有实根的概率. （3） 计算?1?

P?max(X,Y)??.2??2、设随机向量 (X, Y ) 具有如下的概率分布：

P(X?n,Y?m)?0.5en?1m!(n?m)!,m?0,1,2,?,n；n?0,1,2,?.

（1） 分别求出X，Y的概率分布. （2） 判断X，Y是否相互独立，说明理由. 解：1、 （1）

?1, 0?x?1,0?y?1,

f(x,y)???0, 其他.（2）方程 t2?Xt?Y?0 有实根，则判别式 ?=X2?4Y?0.

P(X21??4Y?0)?P?Y?X4?2?????110dx?4x201dy??1101

xdx?.4122（3）1?1??1?1 ??由X,Y相互独立，P?max(X,Y)???P?X??P?Y???.2?2??2?4??2、

（1）P(X?n)??0.5en!?n?1nnn?m?0P(X?n,Y?m)?n!0.5en!?n?1?m?0n0.5en?1

?1m!(n?m)!C

第一章 事件与概率

1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。 解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2，?，正9，记不合格为次，则

(正2，正4)，?，(正2，正9)，(正2，次)， ??{(正1，正2)，(正1，正3)，?，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，(正3，正4)，?，(正3，正9)，(正3，次)，?，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)} A?{(正1，次)，(正2，次)，?，(正9，次)}

(2)记2个白球分别为?1，?2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别为r1，r2，r3，

r4。则??{?1，?2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4}

(ⅰ) A?{?1，?2} (ⅱ) B?{r1，r2，r3，r4}

1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。

(1) 叙述ABC的意义。(2)在什么条件下ABC?C成立？(3)什么时候关系式C?B是

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第一章 事件与概率

1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2， ，正9，记不合格为次，则

(正2，正4)，(正2，正9)，(正2，次)， ， ={(正1，正2)， ，(正1，正3)，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，

(正3，正4)， ，(正3，正9)，(正3，次)， ，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)}

A={(正1，次)，(正2，次)， ，(正9，次)}

(2)记2个白球分别为ω1，ω2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别为r1，r2，r3，r4。则 ={ω1，ω2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4}

(ⅰ) A={ω1，ω2} (ⅱ) B={r1，r2，r3，r4}

1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。

(1) 叙述ABC的意义。

(2)在什么条件下ABC=C成立？ (3)什么

第一章 事件与概率

1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2，?，正9，记不合格为次，则

(正2，正4)，?，(正2，正9)，(正2，次)， ??{(正1，正2)，(正1，正3)，?，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，(正3，正4)，?，(正3，正9)，(正3，次)，?，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)} A?{(正1，次)，(正2，次)，?，(正9，次)}

(2)记2个白球分别为?1，?2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别为r1，r2，r3，r4。则??{?1，?2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4}

(ⅰ) A?{?1，?2} (ⅱ) B?{r1，r2，r3，r4}

1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。

(1) 叙述ABC的意义。

(2)在什么条件下ABC?C成立？ (3)什么时候关系式C?

第三章 连续型随机变量

3.1 设随机变数?的分布函数为F(x)，试以F(x)表示下列概率： （1）P(??a)；（2）P(??a)；（3）P(??a)；（4）P(??a) 解：（1）P(??a)?F(a?0)?F(a)； （2）P(??a)?F(a?0)； （3）P(??a)=1-F(a)； （4）P(??a)?1?F(a?0)。 3.2 函数F(x)?11?x2是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果

（1）???x???

（2）0?x??，在其它场合适当定义； （3）-??x?0，在其它场合适当定义。

解：（1）F(x)在（-?,?）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数； （2）F(x)在（0，?）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数； （3）F(x)在（-?,0)内单调上升、连续且F(??,0)，若定义

?F(x)~F(x)???1???x?0x?0则F(x)可以是某一随机变量的分布函数。

3.3 函数sinx是不是某个随机变数?的分布密度？如果?的取值范围为 （1）[0,?2]；（2）[0,?]；（3）[0,32~?]。

?解：（1）当x?[0,布密度；

?2]时，sinx?0且?2sinx

第三章历年考题

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设二维随机变量（X，Y）的分布律为

， 则P{X+Y=0}=（ ） A.0.2 C.0.5 答案：C

B.0.3 D.0.7

度为

c, 1 x 1, 1 y 1;

f(x,y)

0,

则常数c=（ 1

A.4

C.2

答案：A

）1B.2

D.4

其他,

律为

设

pij=P{X=i,Y=j}i,j=0,1，则下列各式中错误的是（ ） ．．A．p00<p01 C．p00<p11

B．p10<p11 D．p10<p01

答案：D

律为

，

则P{X=Y}=（ ） A．0.3 C．0.7 答案：A

5.设随机变量（X，Y）的联合概率密

x 2yx 0,y 0; Aee,

其它.度为f(x,y)= 0,

B．0.5 D．0.8

则A=（ ）

1A.2

B.1

3

C.2 D.2

答案：D

6.设二维随机变量（X、Y）的联合分布为（ ）

则P{XY=0}=（ ） A. 14

B.512

3

C.4

D.1

答案：C

7．已知X，Y的联合概率分布如题6表所示

题6表

F（x,y）为

第三章历年考题

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设二维随机变量（X，Y）的分布律为

， 则P{X+Y=0}=（ ） A.0.2 C.0.5 答案：C

B.0.3 D.0.7

度为

c, 1 x 1, 1 y 1;

f(x,y)

0,

则常数c=（ 1

A.4

C.2

答案：A

）1B.2

D.4

其他,

律为

设

pij=P{X=i,Y=j}i,j=0,1，则下列各式中错误的是（ ） ．．A．p00<p01 C．p00<p11

B．p10<p11 D．p10<p01

答案：D

律为

，

则P{X=Y}=（ ） A．0.3 C．0.7 答案：A

5.设随机变量（X，Y）的联合概率密

x 2yx 0,y 0; Aee,

其它.度为f(x,y)= 0,

B．0.5 D．0.8

则A=（ ）

1A.2

B.1

3

C.2 D.2

答案：D

6.设二维随机变量（X、Y）的联合分布为（ ）

则P{XY=0}=（ ） A. 14

B.512

3

C.4

D.1

答案：C

7．已知X，Y的联合概率分布如题6表所示

题6表

F（x,y）为