裘布依微分方程的应用答案

1.答：对于底坡i=0、 i>0条件下均质潜水含水层二维流，渗流宽度不变，而渗流厚度h沿流向变小。而根据渗流连续性原理，可知q=常量。

那么，由裘布依微分方程

q??Kh?H ?x

可知??H沿流向将变大，即水头线越来越弯曲,其形状H为一上凸的曲线。?x

由此，可知习题6-1图所示的水头线形状不正确，图中红色曲线为正确的水头线形状。

(a) (b)

习题6-1图

2.答：

(a)对于底坡i>0条件下均质潜水含水层二维流，渗流宽度不变，而渗流厚度h沿流向变小。而根据渗流连续性原理，可知q=常量。 那么，由裘布依微分方程

q??Kh?H ?x

可知?

?H沿流向将变大，即水头线越来越弯曲, 其形状为一上凸的曲线。?x

(a) (b)

习题6-2图

(b)对于底坡i>0条件下均质潜水含水层二维流，渗流宽度不变，而渗流厚度h沿流向不变。根据渗流连续性原理，可知q=常量。 那么，由裘布依微分方程

q??Kh?H ?x可知??H沿流向将不变，水头线H为一斜直线。?x

(c)对于底坡i>0条件下均质潜水含水层二维流，渗流宽度不变，而渗流厚度h沿流

常微分方程的实际应用

于萍

摘要：常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高，应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。

关键字：常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用

1

Abstract: Nomal differential equation is an important part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal dif

常微分方程的实际应用

于萍

摘要：常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高，应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。

关键字：常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用

1

Abstract: Nomal differential equation is an important part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal dif

常微分方程的实际应用

于萍

摘要：常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高，应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。

关键字：常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用

1

Abstract: Nomal differential equation is an important part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal dif

〈常微分方程》应用题及答案

应 用 题(每题10分)

1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有

()()()f x y f x f y +=，求()f x 。

２、设()()()F x f x g x =,其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件

()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+=

（１）求()F x 所满足的一阶微分方程；

(２）求出()F x 的表达式。

3、已知连续函数()f x 满足条件320()3x x t f x f dt e ??=+ ???

?,求()f x 。

4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导,()0,lim ()1x f x f x →+∞

>=，且满足110()lim ()h x h f x hx e f x →??+ ?= ? ???

,求()f x 。 ５、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5(1)2

f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞,满足条件 111()()()xt

x t

f u du t f u du x f u du =+???,求()f x 。 6、求连续函

课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第一讲 微分方程的基本概念 教学要求： 微分方程的基本概念以及微分方程阶的概念。 重 点：微分方程的基本概念，微分方程阶的概念 难 点： 微分方程的概念； 微分方程阶的概念 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 15分钟 2 微分方程的问题举例 30分钟 3 微分方程概念以及阶数练 45分钟 课后 作业 参考 资料 定积分的概念与性质 一、复习导数和高阶导数的概念 二、微分方程问题举例及引出 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映?利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究?因此如何寻找出所需要的函数关系?在实践中具有重要意义?在许多问题中?往往不能直接找出所需要的函数关系?但是根据问题所提供的情况?有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式?这样的关系就是所谓微分方程?微分方程建立以

第十二章 微分方程

一、内容提要

（一）主要定义

【定义12.1】 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的叫做常微分方程； 未知函数是多元函数的叫做偏微分方程.

【定义12.2】 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.

一般形式为： Fx,y,y?,y??,?,y标准形式为：y?n??(n)??0.

??fx,y,y?,?,y?n?1?.

?【定义12.3】 微分方程的解 若将函数y???x?代入微分方程使其变成恒等式 即 F?x,??x?,???x????n???x????0,

或者 ??n??x????x?,?,??n?1??x?? f?x,?x,?????则称y???x?为该方程的解.

根据y?y?x?是显函数还是隐函数 ,分别称之为显示解与隐式解.若解中含有任意常数,当独立的任意常数的个数正好与方程的阶数相等时该解叫做通解(或一般解)；不含有任意常数的解叫特解.

【定义12.4】 定解条件 用来确定通解中任意常数的条件称为定解条件,最常见的定解条件是初始条件.

例

【例1

P10习题

1.用Euler法和改进的Euler法求u’=-5u (0≤t≤1),u(0)=1的数值解，步长h=0.1,0.05;并比较两个算法的精度。

解：function du=Euler_fun1(t,u) du=-5*u;clear;

h=0.1;tend=1;N=1/h;t(1)=0;u(1)=1; t=h.*(0:N); for n=1:N

u(n+1)=u(n)+h*Euler_fun1(t(n),u(n)); end

plot(t,u,'*');hold on for n=1:N

v(1)=u(n)+h*Euler_fun1(t(n),u(n)); for k=1:6

v(k+1)=u(n)+h/2*(Euler_fun1(t(n),u(n))+Euler_fun1(t(n+1),v(k))); end

u(n+1)=v(k+1); end

plot(t,u,'o');

sol=dsolve('Du=-5*u','u(0)=1'); u_real=eval(sol); plot(t,u_real,'r');

将上述 h 换为0.05得：

由图像知道:

显然改进的Euler法要比Euler法

微分方程在经济学中的应用

微分方程在经济学中的应用授课对象:经济学专业、国际贸易专业、财务管理专业 授课学时：2学时(90分钟) 授课目的: (1)学会解微分方程(2)体会建模思想和微分方程在经济学中应用

授课教师: 张丽莉

微分方程在经济学中的应用

一、多马(Domar, E.D.)经济增长模型 多马 经济增长模型多马(Domar, E.D.)经济增长模型的基本假设 经济增长模型的基本假设: 多马 经济增长模型的基本假设

全社会只生产一种产品，可以是消费品，也可以是 投资品； 储蓄是国民收入的函数； 生产过程中只用两种生产要素，即劳动力和资本， 这两种要素之间相互不能替代； 劳动力按照一个固定不变的比率增长； 不存在技术进步，也不存在资本折旧问题； 生产规模报酬不变。

微分方程在经济学中的应用

设S(t)为 t 时刻的储蓄，I(t)为t时刻的投资，Y(t)为t 时刻的国民收入，多马曾提出如下的简单宏观经济 增长模型：S (t ) = αY (t ) I (t ) = β dY dt S (t ) = I (t ) Y (0) = Y0

(1)

Y β Y0 其中α 、 均为正的常数，为初期国民收入，0 > 0 .

微分方程在经济学中的应用

第一

微分方程在经济学中的应用

微分方程在经济学中的应用授课对象:经济学专业、国际贸易专业、财务管理专业 授课学时：2学时(90分钟) 授课目的: (1)学会解微分方程(2)体会建模思想和微分方程在经济学中应用

授课教师: 张丽莉

微分方程在经济学中的应用

一、多马(Domar, E.D.)经济增长模型 多马 经济增长模型多马(Domar, E.D.)经济增长模型的基本假设 经济增长模型的基本假设: 多马 经济增长模型的基本假设

全社会只生产一种产品，可以是消费品，也可以是 投资品； 储蓄是国民收入的函数； 生产过程中只用两种生产要素，即劳动力和资本， 这两种要素之间相互不能替代； 劳动力按照一个固定不变的比率增长； 不存在技术进步，也不存在资本折旧问题； 生产规模报酬不变。

微分方程在经济学中的应用

设S(t)为 t 时刻的储蓄，I(t)为t时刻的投资，Y(t)为t 时刻的国民收入，多马曾提出如下的简单宏观经济 增长模型：S (t ) = αY (t ) I (t ) = β dY dt S (t ) = I (t ) Y (0) = Y0

(1)

Y β Y0 其中α 、 均为正的常数，为初期国民收入，0 > 0 .

微分方程在经济学中的应用

第一