高中立体几何证明题

空间直线、平面的平行与垂直问题

一、“线线平行”与“线面平行”的转化问题，“线面平行”与“面面平行”的转

化问题 知识点：

一）位置关系：平行：没有公共点．

相交：至少有一个公共点，必有一条公共直线，公共点都在公共直线上． 相交包括垂直相交和斜交．

二）平行的判定：

（１）定义：没有公共点的两个平面平行．（常用于反证）

（２）判定定理：若一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，则这两个平面平行．（线面平行得面面平行）

（３）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）平行于同一个平面的两个平面平行．

（５）过已知平面外一点作这个平面的平行平面有且只有一个．三）平行的性质：

定义：两个平行平面没有公共点．（常用于反证）

性质定理一：若一个平面与两个平行平面都相交，则两交线平行．（面面平行得线线平行，用于判定两直线平行）性质定理二：两个平行平面中的一个平面内的所有直线平行于另一个平面．（面面平行得线面平行，用于判定线面平行）

一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面．（用来判定直线与平面垂直）

一般地，一条直线与两个平行平面所成的角相等，但反之不然．

夹在两个平行平面间的平行线段相等．特别地，两个平行平面间的距离处处相等．

（１）（２）（３）（４）（５）二、

新课标立体几何证明题汇总

1、已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点 （1） 求证：EFGH是平行四边形

（2） 若BD=23，AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

A B

F C

G D

E H

证明：在?ABD中，∵E,H分别是AB,AD的中点∴EH//BD,EH?同理，FG//BD,FG?(2) 90° 30 °

考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角

1BD 21BD∴EH//FG,EH?FG∴四边形EFGH是平行四边形。 22、如图，已知空间四边形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中点。 求证：（1）AB?平面CDE;

（2）平面CDE?平面ABC。

A E

BC?AC?证明：（1）??CE?AB

AE?BE?同理，

AD?BD???DE?AB

AE?BE?B

C

又∵CE?DE?E ∴AB?平面CDE （2）由（1）有AB?平面CDE

又∵AB?平面ABC， ∴平面CDE?平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定

D

3、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中点，

1、如图，已知空间四边形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中点。 求证：（1）AB?平面CDE; （2）平面CDE?平面ABC。

2、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中点，

D A

D1

B

E

A C

BDE。 求证： AC1//平面

3、已知?ABC中?ACB?90,SA?面ABC,AD?SC,

B1

E C

A D

B SC

求证：AD?面SBC．

ADBCD1A1DOABB1C1O是底ABCD对角线的交点. 4、已知正方体ABCD?A1BC11D1，

求证：(１) C1O∥面AB1D1；(2)AC?面AB1D1． 1

5、正方体ABCD?A'B'C'D'中，求证： （1）AC?平面B'D'DB； （2）BD'?平面ACB'. 6、正方体ABCD—A1B1C1D1中． (1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；

(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．

7、四面体ABCD中，AC?BD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF?CD1 A1 E D B1 C1 F G C

2?BDC?90， AC，A B 2

求证：BD?平面ACD

1、如图，已知空间四边形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中点。 求证：（1）AB?平面CDE; （2）平面CDE?平面ABC。

2、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中点，

D A

D1

B

E

A C

BDE。 求证： AC1//平面

3、已知?ABC中?ACB?90,SA?面ABC,AD?SC,

B1

E C

A D

B SC

求证：AD?面SBC．

ADBCD1A1DOABB1C1O是底ABCD对角线的交点. 4、已知正方体ABCD?A1BC11D1，

求证：(１) C1O∥面AB1D1；(2)AC?面AB1D1． 1

5、正方体ABCD?A'B'C'D'中，求证： （1）AC?平面B'D'DB； （2）BD'?平面ACB'. 6、正方体ABCD—A1B1C1D1中． (1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；

(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．

7、四面体ABCD中，AC?BD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF?CD1 A1 E D B1 C1 F G C

2?BDC?90， AC，A B 2

求证：BD?平面ACD

典型立体几何题

典型例题一

例1 设有四个命题：

①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体；

③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体． 其中真命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

分析：命题①是假命题．因为底面是矩形的直平行六面体才是长方体．底面是矩

形，侧棱不垂直于底面，这样的四棱柱仍是斜平行六面体；

命题②是假命题．底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体； 命题③是假命题．因为有两条侧棱垂直于义面一边不能推出侧棱与底面垂直． 命题④是真命题，如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中所有对角线相等，对角面B1BDD1是平行四边形，对角线

BD1?B1D，所以四边形B1BDD1是矩形，即BB1?BD，同理四边形A1ACC1是矩形，所以AA1?AC，由AA1//BB1知BB1?底面ABCD，即该平行六面体是直平行六面体．

故选A．

说明：解这类选择题的关键在于理清各种棱柱之间的联系与区别，要紧扣底面形状及侧棱与底面的位置关系来解题．

下面我们列表来说明平行四边

立体几何(理科

1.（2009北京卷理）（本小题共14分）

如图，在三棱锥P ABC中，PA 底面ABC,PA AB, ABC 60, BCA 90， 点D，E分别在棱PB,PC上，且DE//BC

（Ⅰ）求证：BC 平面PAC；

（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大

小；

（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A DE P为直二面角？并说

明理由.

2.（2009四川卷文）如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点， ABC=90°，BA BC, 球心O到平面ABC的距离是

A.

C. 32，则B、C两点的球面距离是 2 B. 34 D.2 3

3.（2009江西卷理）正三棱柱ABC A1B1C1内接于半径为2的球，若A,B

两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 ．

4.（2009四川卷文）如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长都相

等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小

是 。

5.（2009全国卷Ⅰ文）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，

高中立体几何学习方法

根据我多年的高中数学教学经验，以及学生在学习过程中表现出的对立体几何的盲目性，我在以后的时间里会对立体几何的学习方法做一些总结。希望能给同学们带来帮助。

方法一：立体几何学习中的图形观

立体几何的学习离不开图形，图形是一种语言，图形能帮我们直观地感受空间线面的位置关系，培养空间想象能力。所以在立体几何的学习中，我们要树立图形观，通过作图、读图、用图、造图、拼图、变图培养我们的思维能力。

一、作图

作图是立体几何学习中的基本功，对培养空间概念也有积极的意义，而且在作图时还要用到许多空间线面的关系．所以作图是解决立体几何问题的第一步，作好图有利于问题的解决。

例1 已知正方体

中，点P、E、F分别是棱AB、BC、

的

中点（如图1)．作出过点P、E、F三点的正方体的截面。

分析：作图是学生学习中的一个弱点，作多面体的截面又是作图中的难点，学生看到这样的题目不知所云。有的学生连结P、E、F得三角形以为就是所求的截面．其实，作截面就是找两个平面的交线，找交线只要找到交线上的两点即可。观察所给的条件（如图2)，发现PE就是一条交线．又因为平面ABCD／／平面

，由面面平行的性质可得，截面和面

F是

的中点，故取

的交线一定和PE平行。而

的

的中点

立体几何(理科

1.（2009北京卷理）（本小题共14分）

如图，在三棱锥P ABC中，PA 底面ABC,PA AB, ABC 60, BCA 90， 点D，E分别在棱PB,PC上，且DE//BC

（Ⅰ）求证：BC 平面PAC；

（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大

小；

（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A DE P为直二面角？并说

明理由.

2.（2009四川卷文）如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点， ABC=90°，BA BC, 球心O到平面ABC的距离是

A.

C. 32，则B、C两点的球面距离是 2 B. 34 D.2 3

3.（2009江西卷理）正三棱柱ABC A1B1C1内接于半径为2的球，若A,B

两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 ．

4.（2009四川卷文）如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长都相

等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小

是 。

5.（2009全国卷Ⅰ文）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，

高中立体几何学习方法

根据我多年的高中数学教学经验，以及学生在学习过程中表现出的对立体几何的盲目性，我在以后的时间里会对立体几何的学习方法做一些总结。希望能给同学们带来帮助。

方法一：立体几何学习中的图形观

立体几何的学习离不开图形，图形是一种语言，图形能帮我们直观地感受空间线面的位置关系，培养空间想象能力。所以在立体几何的学习中，我们要树立图形观，通过作图、读图、用图、造图、拼图、变图培养我们的思维能力。

一、作图

作图是立体几何学习中的基本功，对培养空间概念也有积极的意义，而且在作图时还要用到许多空间线面的关系．所以作图是解决立体几何问题的第一步，作好图有利于问题的解决。

例1 已知正方体

中，点P、E、F分别是棱AB、BC、

的

中点（如图1)．作出过点P、E、F三点的正方体的截面。

分析：作图是学生学习中的一个弱点，作多面体的截面又是作图中的难点，学生看到这样的题目不知所云。有的学生连结P、E、F得三角形以为就是所求的截面．其实，作截面就是找两个平面的交线，找交线只要找到交线上的两点即可。观察所给的条件（如图2)，发现PE就是一条交线．又因为平面ABCD／／平面

，由面面平行的性质可得，截面和面

F是

的中点，故取

的交线一定和PE平行。而

的

的中点

直线与平面平行的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判不在平面内的一条直线与此定定理 平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为线线平行?线面平行) 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与 ?a?α??l∥α l∥a?l?α性质定此平面的交线与该直线平行理 (简记为线面平行?线线平行) 平面与平面平行的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 ?a?β??a∥b α∩β＝b?a∥α符号语言 判一个平面内的两条相交直线定定理 与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为线面平行?面面平行) ??a∩b＝P??α∥β a∥β??b∥βb?αa?α性质如果两个平行平面同时和第α∥β定三个平面相交，那么它们的理 交线平行

?α∩γ＝a??a∥b β∩γ＝b?

直线与平面垂直的判定定理及性质定理

判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 图形语言 a，b?αa∩b＝Ol⊥al⊥b???l⊥α ?性质垂直于同一个平面的两条直定线平行 理

a⊥α???a∥b b⊥α?平面与平面垂直的判定定理及性质定理

文字语言 符号语言 判定