高等几何与初等几何的关系

一、选择题（共15分，每小题3分）

1、下列关于射影平面的论述正确的是 ――――――――――――――――― （ ）

A,无穷远直线视为普通的直线； B,所有直线都是封闭的； C,任意两直线必相交于一点； D,一条直线分射影平面为两部分。

2、下列到直线自身的射影对应属于双曲型对合的是 ―――――――――――（ ） A, ???

3、下列哪个几何性质或图形不属于仿射几何的研究范围――――――――――（ ）

A, 平行四边形； B,简比； C, 三角形的垂心； D,接合性；

224、二次曲线3x1?2x2?x1x2?x1x3?x2x3?0在射影观点下的基本类型是――

??2??1；B, ?????????4?0； C, ?????21?? D, ????2??3?0；

（ ）

A，虚的常态二阶曲线；B,实的常态二阶曲线；C,两条虚直线； D,两条实直线

5、由几对对应元素可以确定平面上任意的一个射影变换――――――――――（ ）

1

A, 1 B, 2 C, 3 D, 4

高几习题集及参考解答

第一章 仿射几何的基本概念

1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。

证明：设T为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T可使等腰△ABC（AB=AC）与

一般△A'B'C'相对应，设点D为线段BC的中点，则AD⊥BC，且β=γ，T（D）=D' （图1）。∵T保留简比不变， 即（BCD）=（B'C'D'）= -1，

∴D'是B'C'的中点。因此线段中点是仿射不变性。 ∵在等腰△ABC中，β=γ。

设T（ β）= β'，T（ γ ）= γ'， 但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'， 即B'与γ'一般不等。 ∴角平分线不是仿射不变性。

在等腰△ABC中，设D是BC的中点，则AD?BC，由于 T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。 由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。得下题 2、两条直线垂直是不是仿射不变性？ 答:两直线垂直不是仿射不变性。

3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。

证明：设仿射变换T将△ABC 变为△A'B'C'，D、E、F分别是BC、CA，AB边的中点。

由于

一、填空题（每题2分，共计20分）

?x??3x?y?4?y??4x?2y的自对应点为 .

1.仿射变换?2.交比是 不变量.

3.如果两个三点形的对应边的交点共线，则这条线叫做 . 4.点（1，1，3）的方程是 .

5.已知

(p1p2,p3p4)?12,则(p1p3,p2p4)= .

6.若a,b,c为线束S中的三直线，则(abc)? .

7.若已知两个点列的三对对应点，则可以唯一决定一个 . 8.若Ox轴上的射影变换式为

x??x?13x?2，则原点的对应点为 .

9.已知某对合的二重元素的参数为2与3，则这个对合的方为 . 10.在射影平面上，成射影对应的两个线束对应直线的交点的集合称为 . 二、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共计20分）

1.在仿射变换下等腰三角形仍对应等腰三角形. （ ）

2.任意三点不共线的同一平面的五点，可确定一

高等几何复习

第三章 射影变换与射影坐标

1. 交比及基本性质 2. 交比的计算公式

（要求每一个公式配上一个例题。如：C≡A+λB，D≡A+μB，则(AB,CD)?设A（1,1,1），B（1，– 1，1），C（1, 0, 1），D（0，1，0），求（AB，CD）。 解 因为 C = 2（A + B），D = 2（A – B），所以λ= 1，μ= – 1。所以

?。 ?(AB,CD)?1） ??1。

?13. 线束的交比

（只要给出2中的对偶。在计算中，只要用线坐标代替直线方程，就可应用2中的公式。） 4. 完全四点形的调和性

（四点形的调和性在初等几何的应用中有两个重要的定理：

（i） （AB，CD）= – 1，则C是线段AB的中点等价于D是直线AB的无穷远点。（这和平行性有关）

（ii） (ab, cd) = – 1，则c,d平分∠(a, b)等价于c⊥d。 ）

5. 一维基本型的透视对应与射影对应 （1）透视对应的定义； （2）一维射影定应的定义；

（3）从一一对应中判别射影对应的判别定理； (4) 从射影对应中判别透视对应的判别定理；

（5）一维射影对应的代数表示 （要求配上例题）；

（6）一维射影变换的不变点的性质：设E

安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文

配极理论在初等几何中的运用

作者：邵锐 指导老师：胡翔

摘要 配极理论是高等几何（射影几何）里的一个重要理论方法，它包括配极原则、配极变换等，

它在初等几何方面有着广泛的应用.初等几何是以静止的观点研究一些简单而又规则的图形,主要是在欧氏几何的基础上进行研究的.本文总结了配极理论的相关性质，利用配极原则和配极变换对初等几何中的某些命题进行了阐述与分析，讨论了它在初等几何方面的应用. 关键词 配极理论 射影几何 极点 极线 初等几何

1 引言

几何学是数学的一个基础分支，主要研究形状、大小、图形的相对位置等空间区域关系以及空间形式的度量.几何学最初是从测量土地等社会关系实践活动中产生和发展起来的.随着人类社会的不断发展，人们对物体的形状、大小和相互之间的位置关系的认识愈来愈丰富，逐渐地积累起较丰富的几何学知识.

随后，希腊数学家欧几里得对人类祖先的社会生产实践中运用的几何知识进行了总结，使之成为公理化思想，而欧几里得的《几何原本》是当时最权威的著作.但是欧几里得的著作中存在公理不足的问题，然而随着对几何学的深入学习和研究，德国数学家希尔伯特在《几何基础》中提出并完善了欧氏几何中完善

安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文

配极理论在初等几何中的运用

作者：邵锐 指导老师：胡翔

摘要 配极理论是高等几何（射影几何）里的一个重要理论方法，它包括配极原则、配极变换等，

它在初等几何方面有着广泛的应用.初等几何是以静止的观点研究一些简单而又规则的图形,主要是在欧氏几何的基础上进行研究的.本文总结了配极理论的相关性质，利用配极原则和配极变换对初等几何中的某些命题进行了阐述与分析，讨论了它在初等几何方面的应用. 关键词 配极理论 射影几何 极点 极线 初等几何

1 引言

几何学是数学的一个基础分支，主要研究形状、大小、图形的相对位置等空间区域关系以及空间形式的度量.几何学最初是从测量土地等社会关系实践活动中产生和发展起来的.随着人类社会的不断发展，人们对物体的形状、大小和相互之间的位置关系的认识愈来愈丰富，逐渐地积累起较丰富的几何学知识.

随后，希腊数学家欧几里得对人类祖先的社会生产实践中运用的几何知识进行了总结，使之成为公理化思想，而欧几里得的《几何原本》是当时最权威的著作.但是欧几里得的著作中存在公理不足的问题，然而随着对几何学的深入学习和研究，德国数学家希尔伯特在《几何基础》中提出并完善了欧氏几何中完善

系 专业 班 学号 姓名 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 试卷类型： A 高等几何 使用专业年级 考试方式：开卷（ ）闭卷（√） 共 6 页 题号 一 二 三 四 五 六 合计 得分 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1、设P1(1)，P2(-1)，P1P2P3)? 。 3(?)为共线三点，则(P2、写出德萨格定理的对偶命题： 。 3、若共点四直线a,b,c,d的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=______。 4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为：

项目 对象 标注 独立原则 / 遵循独立原则的尺寸公差和几何公差在图样上不标注任何附加标记 / 包容要求 单一要素 在尺寸公差后标 最大实体要求 中心要素 用于被测要素，在几何公差值后标用于基准要素时，在基准素符号后标 最小实体要求 中心要素 用于被测要素，在几何公差值后标用于基准要素时，在基准符号后标最小实体实效边界 DLV＝DL＋t＝Dmax＋t dLV＝dL－t＝dmin－t 边界 最大实体边界 孔：DM=Dmin 轴：dM＝dmax 提取组成要素不得超出最大实体尺寸，局部尺寸不得超出最小实体尺寸 最大实体实效边界 DMV＝Dmin－t dMV＝dmax＋t 原则内容 尺寸公差和几何公差无关 提取组成要素不得超出最大实体实效尺寸，局提取组成要素不得超出最小实体实效尺寸，局部尺寸不得超出最小实体尺寸 部尺寸不得超出最大实体尺寸 Dfe≥DMV ， Dmin≦Da≦Dmax Dfe≥Dmin ， Dmin≦Da≦Dmax dfe≦dMV ， dmax≥da≥dmin dfe≦dmax ， dmax≥da≥dmin 注解 尺寸公差控制尺寸变动 几何公差控制几何误差的变动 被测要素处于最大实体状态时，不允

画法几何及土木工程制图

画法几何及土木工程制图

（第四版）

第四章直线与平面、平面与平面

的相对位置

画法几何及土木工程制图

目录概述 §4-1 直线与平面、平面与平面平行 §4-2 直线与平面、平面与平面相交 §4-3 直线与平面、平面与平面垂直

第四章 直线与平面

画法几何及土木工程制图

第四章 直线与平面、平面与平面的相对位置本章讲述的是直线与平面、平面与平面的相对几何关系。 直线与平面、平面与平面的相对几何关系有： 平行：直线与平面平行 平面与平面平行 相交：直线与平面相交 平面与平面相交 垂直：直线与平面垂直 平面与平面垂直

第四章 直线与平面

画法几何及土木工程制图

§4-1 直线与平面、平面与平面平行一、直线与平面平行如果平面外一直线平行于平面上的任一直线，则该直线 平行于该平面，如下图。

第四章 直线与平面

画法几何及土木工程制图

§4-1 直线与平面、平面与平面平行在投影图上，对于投影面垂直面，只要空间直线的一个投影 与平面的相应积聚投影平行，则直线与平面就彼此平行，如图。

第四章 直线与平面

画法几何及土木工程制图

§4-1 直线与平面、平面与平面平行二、平面与平面平行如果某一平面上的相交两直线，分

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（第四版）

第四章直线与平面、平面与平面

的相对位置

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目录概述 §4-1 直线与平面、平面与平面平行 §4-2 直线与平面、平面与平面相交 §4-3 直线与平面、平面与平面垂直

第四章 直线与平面

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第四章 直线与平面、平面与平面的相对位置本章讲述的是直线与平面、平面与平面的相对几何关系。 直线与平面、平面与平面的相对几何关系有： 平行：直线与平面平行 平面与平面平行 相交：直线与平面相交 平面与平面相交 垂直：直线与平面垂直 平面与平面垂直

第四章 直线与平面

画法几何及土木工程制图

§4-1 直线与平面、平面与平面平行一、直线与平面平行如果平面外一直线平行于平面上的任一直线，则该直线 平行于该平面，如下图。

第四章 直线与平面

画法几何及土木工程制图

§4-1 直线与平面、平面与平面平行在投影图上，对于投影面垂直面，只要空间直线的一个投影 与平面的相应积聚投影平行，则直线与平面就彼此平行，如图。

第四章 直线与平面

画法几何及土木工程制图

§4-1 直线与平面、平面与平面平行二、平面与平面平行如果某一平面上的相交两直线，分