导数与函数的极值、最值

高三数学第一轮总复习 第三章第三节

知识要点

双基巩固

典型例题

易错辨析

提升训练

第三节

导数与函数的极值、最值

高三数学第一轮总复习 第三章第三节

知识要点

双基巩固

典型例题

易错辨析

提升训练

一、函数的极值1.定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，

都有f(x)<f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0);如果对x0附近所有的点，都有f(x)>f(x0),就说f(x0)是函数 2.求函数y=f(x)在某个区间上的极值的步骤：(1)求导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根x0;(3)检查f′(x)在方程f′(x)=0的根x0的左右

f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0).极大值和极小值统称为极值.

的符号；“左正右负” f(x)在x0处取极大值；“左负右正” f(x)在x0处取极小值(注：导数为零的点未必是极值点).

高三数学第一轮总复习 第三章第三节

知识要点

双基巩固

典型例题

易错辨析

提升训练

3.特别提醒：(1)x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号，

而不仅是f′(x0)=0,f′(x0)=0是x0为极值点的必要而不充分条件.(2)给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f′

导数与函数极值和最值

1.函数的单调性与导数

2.函数的极值 (1)函数的极值的概念：

函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小， f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 f′(x)<0 f′(x)>0 ___________,右侧__________,则点a 极小值点 叫做函数y=f(x)的_________,f(a)叫做 极小值 函数y=f(x)的________.

函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它 在点x=b附近其他点的函数值都大，

f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 f′(x)>0 f′(x)<0 _________,右侧_________,则点b叫极大值点 做函数y=f(x)的__________,f(b)叫做 函数y=f(x)的________.极小值点、极 极大值 极值点 大值点统称为________,极大值和极小 极值 值统称为_______.

(2)求函数极值的步骤： ①求导数f′(x); ②求方程f′(x)=0的根； ③检查方程根左右两侧值的符号，如果

左正右负，那么f(x)在这个根处取极大值 _______,如果左负右正，那么f(x)在这

个根处取___

多元函数的极值与最值的求法

摘要

在实际问题中, 往往会遇到多元函数的最大值、最小值问题.多元函数的最大值、最小值问题与极大值、极小值有密切联系.

求多元函数极值, 一般可以利用偏导数来解决.与一元函数相类似, 可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值，但是由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性. 这里主要讨论二元函数, 对于二元以上的函数极值可以类似加以解决. 求多元函数的极值,本文主要采用以下方法：（1）利用二元函数的偏导数求二元函数极值；（2）拉格朗日乘数法求极值；（3）用几何模型法求解极值;（4）通过Jacobi 矩阵求条件极值；(5)利用参数方程求极值;(6)利用方向导数判别多元函数的极值;(7)用梯度法求极值.

对多元函数的最值问题,我们主要采用的方法有：（1）消元法；（2）均值不等式法；（3）换元法；（4）数形结合法；（5）柯西不等式法；（6）向量法.除此之外，很重要的一种就是：考虑极值与最值的关系，运用极值法求最值.

关键词:多元函数，极值，最值，方法

、

Methods for Calculating Extremum and the most Value of Multivariable

Fun

高三数学第一轮复习 学案 8月 日

第十一讲 导数在函数的单调性、极值、最值中的应用 姓名_________

一、知识梳理： 1．单调性与导数

1）① 若f?(x)?0在?a,b?上恒成立，?f(x)在 函数； 若f?(x)?0在?a,b?上恒成立，?f(x)在 函数。 ② f(x)在区间?a,b?上是增函数?f?(x) 0在

?a,b?上恒成立；

f(x)在区间?a,b?上为减函数?f?(x) 0在?a,b?上恒成立。

2）求函数f(x)的单调区间的步骤：

① ；② ；③ ．④ ． 2．极值与导数

1） 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果左 右 ，则f(x0)是函数f(x)的一个极大值; 2)如果左 右 ，则f(x0)是函数f(x)的一个极小值； 3)如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处 。

注意: ①极值是一个局部概念,不同与最值; ②函数的极值不是唯一的; ③极大值与极小值

大学数学专业毕业论文,系统介绍多元函数的极值与最值的多种求法!

多元函数的极值与最值的求法

摘要

在实际问题中, 往往会遇到多元函数的最大值、最小值问题.多元函数的最大值、最小值问题与极大值、极小值有密切联系.

求多元函数极值, 一般可以利用偏导数来解决.与一元函数相类似, 可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值，但是由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性. 这里主要讨论二元函数, 对于二元以上的函数极值可以类似加以解决. 求多元函数的极值,本文主要采用以下方法：（1）利用二元函数的偏导数求二元函数极值；（2）拉格朗日乘数法求极值；（3）用几何模型法求解极值;（4）通过Jacobi 矩阵求条件极值；(5)利用参数方程求极值;(6)利用方向导数判别多元函数的极值;(7)用梯度法求极值.

对多元函数的最值问题,我们主要采用的方法有：（1）消元法；（2）均值不等式法；（3）换元法；（4）数形结合法；（5）柯西不等式法；（6）向量法.除此之外，很重要的一种就是：考虑极值与最值的关系，运用极值法求最值.

关键词:多元函数，极值，最值，方法

、

大学数学专业毕业论文,系统介绍多元函数的极值与最值的多种求法!

Methods for Calculatin

函数的极值与最值练习题

一、选择题

1.下列说法正确的是

A.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极大值

B.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极小值

C.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极值

D.当f(x0)为函数f(x)的极值且f′(x0)存在时，则有f′(x0)=0

2.下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是

①y=x3 ②y=x2+1 ③y=|x| ④y=2x

A.①② B.②③ C.③④ D.①③

3.函数y=6x的极大值为 21 x

A.3 B.4 C.2 D.5

4.函数y=x3－3x的极大值为m,极小值为n,则m+n为

A.0 B.1 C.2 D.4

5.y=ln2x+2lnx+2的极小值为

－ A.e1 B.0 C.－1 D.1

6.y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于

A.6 B.0 C.5 D.1

二、填空题

7.函数f(x)=x3－3x2+7的极大值为___________.

8.曲线y=3x5－5x3共有___________个极值.

9.若函数y=x3+ax2+bx+27在x=－1时有

函数的极值和最值

考纲要求】

1.掌握函数极值的定义。

2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.

3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值

4.会求给定闭区间上函数的最值。

知识网络】

【考点梳理】

要点一、函数的极值

函数的极值的定义

一般地，设函数f (x) 在点x= x0及其附近有定义，

(1)若对于x0附近的所有点，都有f(x )f(x0)，则f(x0)是函数f (x)的一个极大值，记作y极大值= f (x0) ；

(2 )若对x0附近的所有点，都有f (x ) f(x0)，则f(x0)是函数f(x) 的一个极小值，记作y极小值= f (x0).

极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.

要点诠释：

求函数极值的的基本步骤：

①确定函数的定义域；

②求导数f (x) ；

③求方程f (x)=0的根；

④检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则 f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)

要点二、函数的最值

1.函数的最大值与最小值定理

若函数y= f(x)在闭区间［a,b］上连续，则f(x)在［a,b］上必有最大值和最小值；在开区间(a,b

3.3.2函数的极值与导数

班别:＿＿＿＿ 组别：＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿ 评价：＿＿＿＿

【学习目标】

1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．

2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．

☆预习案☆ （约 分钟）

依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。

【知识要点】 （阅读课文93—96页，完成导学案） 1．极值点与极值 (1)极小值与极小值点

如图，若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0 ， 而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)极大值与极大值点

如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大 ， f′(b)＝0 ，而且在点x＝ b附近的左侧 ，右侧 ，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值。极小值点、极大值点统称为 ，极大值和极小值统称为

3.3.2函数的极值与导数

班别:＿＿＿＿ 组别：＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿ 评价：＿＿＿＿

【学习目标】

1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．

2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．

☆预习案☆ （约 分钟）

依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。

【知识要点】 （阅读课文93—96页，完成导学案） 1．极值点与极值 (1)极小值与极小值点

如图，若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0 ， 而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)极大值与极大值点

如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大 ， f′(b)＝0 ，而且在点x＝ b附近的左侧 ，右侧 ，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值。极小值点、极大值点统称为 ，极大值和极小值统称为

高二数学校本练习

导数在求极值和最值中的应用

时间：2.7 份数：520 姓名 1．设函数f(x)?(x3?1)2，下列结论中正确的是( ) A．x?1是函数f(x)的极小值点，x?0是极大值点 B．x?1及x?0均是f(x)的极大值点

C．x?1是函数f(x)的极小值点，函数f(x)无极大值 D．函数f(x)无极值

2． 函数y?x3?3x2?9x??2?x?2?有( )

A.极大值5，极小值－27 B.极大值5，极小值－11 C.极大值5，无极小值 D.极小值－27，无极大值 3．函数y=x4-4x+3在区间[－2,3 ]上的最小值为 ( ) A. 72 B. 36 C.12

D.0

4．右图是函数y?f(x)的导函数y?f?(x)的图象，给出下列命题：

①—3是函数y?f(x)的极值点； ②—1是函数y?f(x)的最小值点； ③y?f(x)在x?0处切线的斜率小于零；