高中数学圆锥曲线解题技巧

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1 1 圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如 （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．

421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）

； （2

）

方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左

支）

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 6. 7.

xxyyx2y2若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是02?02?1.

ababxxyyx2y2若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02?02?1.

ababx2y2椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆的焦点角形的面

ab?积为S?F1PF2?b2tan.

2x2y2椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

8.

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F

的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

专题1 函数 (理科)

一、考点回顾

1.理解函数的概念，了解映射的概念.

2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.

3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析

考点一：函数的性质与图象

函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．

复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：

1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．

2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．

3．培养学生用运动变

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 6. 7.

xxyyx2y2若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是02?02?1.

ababxxyyx2y2若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02?02?1.

ababx2y2椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆的焦点角形的面

ab?积为S?F1PF2?b2tan.

2x2y2椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

8.

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F

的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

圆锥曲线的解题技巧

一、常规七大题型：

（1）中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(x1,y1)，

(x2,y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意

斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

x2y2如：（1）2?2?1(a?b?0)与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有

abx0y0?2k?0。 2abx2y2 （2）2?2?1(a?0,b?0)与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有

abx0y0?2k?0 2ab（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.

y2 典型例题 给定双曲线x?过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1 及P2，?1。

22求线段P1P2的中点P的轨迹方程。

（2）焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

x2y2 典型例题 设P(x,y)为椭圆2?2?1上任一点，F1(?c,0)，F2(c,0)为焦点，

ab?PF1F2??，?PF2F1

圆锥曲线解题方法技巧归纳

第一、知识储备： 1. 直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率k?tan?,??[0,?) ②点到直线的距离d?tan??k2?k11?k2k1Ax0?By0?CA?B22 ③夹角公式：

（3）弦长公式

直线y?kx?b上两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离：AB?1?k2x1?x2

?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] 或AB?1?1y1?y2 2k（4）两条直线的位置关系

①l1?l2?k1k2=-1 ② l1//l2?k1?k2且b1?b2 2、圆锥曲线方程及性质

(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）

x2y2 标准方程：??1(m?0,n?0且m?n)

mn 距离式方程：(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?2a 参数方程：x?acos?,y?bsin? (2)、双曲线的方程的形式有两种

x2y2 标准方程：??1(m?n?0)

mn 距离式方程：|(x?c)2?y2?(x?c)2?y2|?2a (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

2b22b22p

圆锥曲线的解题技巧

一、常规七大题型：

（1）中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(x1,y1)，

(x2,y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意

斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

x2y2如：（1）2?2?1(a?b?0)与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有

abx0y0?2k?0。 2abx2y2 （2）2?2?1(a?0,b?0)与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有

abx0y0?2k?0 2ab（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.

y2 典型例题 给定双曲线x?过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1 及P2，?1。

22求线段P1P2的中点P的轨迹方程。

（2）焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

x2y2 典型例题 设P(x,y)为椭圆2?2?1上任一点，F1(?c,0)，F2(c,0)为焦点，

ab?PF1F2??，?PF2F1

《圆锥曲线》知识点小结

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：2a |F1F2|表示椭圆；2a |F1F2|表示线段F1F2；2a |F1F2|没有轨迹； （2

F1F2|）的点的轨迹。

22xy3．常用结论：（1）椭圆 1(a b 0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交椭圆于A,B两a2b2

点，则 ABF2的周长= （2）设椭圆

x2y2

2 1(a b 0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴的直线2ab

交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是 |

PQ|

二、双曲线：

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2|迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：|

F1F2|PF1| |PF2| 2a与|PF2| |PF1| 2a（2a |F1F2|）表示双曲线的一支。

2a |F1F2|表示两条射线；2a |F1F2|没有轨迹；

（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

标准方程

中心在原点，焦点在x轴上

中心在原点，焦点在

y轴上

x2y2

1(a 0,b 0) a2b2

y2

解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法

（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。

（2）双曲线有两种定义。第一定义中，r1 r2 2a，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是

90题突破高中数学圆锥曲线

x2y21.如图，已知直线L：x?my?1过椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点F，且交椭圆

abC于A、B两点，点A、B在直线G:x?a2上的射影依次为点D、E。 （1）若抛物线x2?43y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；

（2）（理）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定

点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。

????????a2?1,0)为x轴上一点,求证:AN??NE （文）若N(2

2.如图所示，已知圆C:(x?1)2?y2?8,定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM?2AP,NP?AM?0，点N的轨迹为曲线E。

（1）求曲线E的方程；

（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足FG??FH,求?的取值范围。

x2y23.设椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直

aby 8线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且 AP?PQ 5⑴求椭圆C的离心率；

⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线

F A P O Q x l： x?