不定积分答案不唯一

第4章 不定积分

内容概要 名称 不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 主要内容 设f(x)， x?I，若存在函数F(x)，使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) 或dF(x)?f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，记为 ?f(x)dx?F(x)?C 注：（1）若f(x)连续，则必可积；（2）若F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质1：d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx； ?????dx性质2：F?(x)dx?F(x)?C或dF(x)?F(x)?C； 性质3：[?f(x)??g(x)]dx??计 算 方 法 第一换元 积分法 （凑微分法） 第二类 换元积 分法 ??? ?f(x)dx???g(x)dx，?,?为非零常数。设f(u)的 原函数为F(u)，u??(x)可导，则有换元公式： ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 设x??(t)单调、可导且导数不为零，f[?(t)]??(t)有原

(1)

?xdx2x (2)

3(?x?1x)dx

(3)

（2?x?x2）dx

(4)

?3x4?3x2?1x2x(x?3)dx (5)?dx (6)?dx (7)（?x2-1x+34x3-x4）dx (10)?1x2(1?x2)dx (13)?cot2xdx (16)

?11?cos2xdx (19)?(1?x1?x?1?x1?x)dx（1）

?e3tdt (4)

?135?3xdx (7)

?tan10xsec2xdx (10)

?dxsinxcosx (13)

?xdx 2?3x2(16)?sinxcos3xdx (19) ?dx2x2?1 (22)

?xdxx8?1 x2?1(8)?(31?x2?2)dx

(1)

?xdx2x (2)

3(?x?1x)dx

(3)

（2?x?x2）dx

(4)

?3x4?3x2?1x2x(x?3)dx (5)?dx (6)?dx (7)（?x2-1x+34x3-x4）dx (10)?1x2(1?x2)dx (13)?cot2xdx (16)

?11?cos2xdx (19)?(1?x1?x?1?x1?x)dx（1）

?e3tdt (4)

?135?3xdx (7)

?tan10xsec2xdx (10)

?dxsinxcosx (13)

?xdx 2?3x2(16)?sinxcos3xdx (19) ?dx2x2?1 (22)

?xdxx8?1 x2?1(8)?(31?x2?2)dx

Yz.Liu.2013.09

卷终 公式表注解四

基本不定积分表

序言：

微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎

覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。

本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式

之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。

本表收录公式16组，151式。

公式一 基本初等函数的不定积分18式：

?1??1x?C,???1;?(1).?xdx????1??ln|x|?C,???1.幂函数

?(2).?axdx?1xa?Clna指数函数

(3).?exdx?ex?C

(4).?logaxdx?xlogax?xlogae?C对数函数三角函数

(5).?lnxdx?xlnx?x?C(6).?sinxdx??cosx?C(7).?

不定积分 （Ａ）

１、求下列不定积分

dx１）?x2 ２）?dxx2x ３）?(x?2)2dx ４）?x21?x2dx

2?3x?5?2xcos2５）?3xdxxdx ６）?cos2xsin2x

31７）?(2ex?x)dx(1? ８）?x2)xxdx

２、求下列不定积分（第一换元法）

3dx１）

?(3?2x)dx

２）

?32?3x

３）

?sinttdtdx ４）?xlnxln(lnx)

dx５）?cosxsinx ６）?dxex?e?x ７）?xcos(x2)dx3x3dx ８）?1?x4 sinxcosxdx９）?3 10）?1?x9?4x2dx

dx11）?2x2?1 12）?cos3xdx 13)?sin2xcos3xdx

14)?ta

不定积分

内容要点

1.(影子法 LIATE) 2.基本的2个？ 一、基本概念与性质

1．原函数与不定积分的概念

2．不定积分的性质

设 ?f?x?dx?F?x??C，其中F?x?为f?x?的一个原函数，C为任意常数。则 （1）

?F??x?dx?F?x??C

?? 或?dF?x??F?x??C

???（2） ??f?x?dx??f?x? 或d??f?x?dx??f?x?dx

（3） （4） ?kf?x?dx?k?f?x?dx ?f?x??g?x???dx??f?x?dx??g?x?dx ??3．原函数的存在性 1）设f?x?在区间I上连续，则f?x?在区间I上原函数一定存在 2）初等函数的原函数不一定是初等函数

?sin?x2?dx，?cos?xxa?12?dx，?sinxxdx，?cosxxdx，?dxlnx，?e?xdx

2二、基本积分公式 1．?xdx?1aa?1?C （a??1，实常数）

2．?dx?lnx?C

x3．?adx?x1lnaxa?C （a?0，a?1）

x?exdx?e?C

4．?cosxdx?sinx?C 5．?sinxdx??cosx?C

6．?secxdx?7．?cscxdx?22?co

不定积分基本公式

第二节 不定积分的基本公式和直接积分法（Basic Formula of Undefined

Integral and Direct Integral）

课 题：1. 不定积分的基本公式 2. 不定积分的直接积分法 课堂类型：讲授 教学目的：熟练掌握不定积分的基本公式，对简单的函数能用直接积分法进行积分。 教学重点：不定积分的基本公式 教学难点: 直接积分法 教 具：多媒体课件 教学方法： 教学内容：

一、不定积分的基本公式

由于不定积分是求导的逆运算，所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。 导数的基本公式 不定积分的基本公式

(C) 0x 1

(x 1)

1 x (ex) ex(ax) axlna1x

(sinx) cosx(cosx) sinx(lnx) (tanx) sec2x(cotx) csc2x(secx) secxtanx(cscx) cscxcotx(arcsinx)

1

(arctanx)

1 x2

(arccosx) 1

(arccotx)

1 x21

(logax)

xlna

0dx C dx x C

x 1

xdx 1

不定积分练习题及答案

一、选择题、填空题：1、（ 1 sin

x

2

x2

)dx _________

2、若e是f(x)的原函数，则： xf(lnx)dx _______ 3、

sin(lnx)dx ______

4、已知e

x

2

2

是f(x)的一个原函数，则 f(tanx)secxdx _________;

，过(1,1)点的积分曲线是y ________;

2

5、在积分曲线族

6、F'(x) f(x),则 f'(ax b)dx _________;7、设 f(x)dx

1x

2

c,则

f(ee

x

)

x

dx _________;1

dx __________;

8、设 xf(x)dx arcsinx c,则

f(x)

9、f'(lnx) 1 x,则f(x) ________;

10、若f(x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f(x)______;(A)必有导函数

(B)必有原函数

(C)必有界

(D)必有极限

11、若 xf(x)dx xsinx sinxdx,则f(x) ______;12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),则 f(x)dx _____(A)F(x)

(B) (x)

(C) (x) c

(D)F(x) (x) c

13、下列各式中正确的是：(A

不定积分的典型例题

不定积分的典型例题

x2 1

例1．計算 4

x 1

解法1

x4 1 (x2

2x 1)(x2 2x 1).

而 (x2 2x 1) (x2 2x 1) 2(x2 1) 所以

x2 1111

( x4 12 x2 2x 1 x2 2x 1) 1 [ 2

1

221(x )

22

1d(2x 1)

1

221

(x )

22

1d2x 1)

)

2(

2

2x 1) 1

2

2(

2x 1) 1

2

1

2x 1) 2x 1)] c.

x2 1(x2 2x 1) 2x

22

解法2 x4 1(x 2x 1)(x 2x 1)

dx2x

4 2

x 1x 2x 1

11 2x 1) arctanx2 c.

22 解法3

11

1d(x )2x 1当x 0, 4dx x 1x2 2x2 2xx

2

1

d(x )

1x2 1 c

1222x(x ) 2x lim

x 0

12

x2 1x

22

,

不定积分的典型例题

1x2 1 lim , x 0

22x22由拼接法可有

2

x 1

dx x4 1

1x2 1 22x22

1x2 1 22x22

c,x 0

x 0. c

x 0

x3 2

例2.求 . 22

(x 1)(x 1)解 将被积函数化为简单的部分分式

x3 2ABCx D

本科生毕业论文设计

不定积分的计算方法及拓展

作者姓名： 指导教师：

所在学院： 数学与信息科学学院 专业（系）： 数学与应用数学 班级（届）： 201X届数学X班

二〇一五年 四月二十四日

1

目 录

中文摘要、关键字 ???????????????????????? 1 1 不定积分的计算方法

???????????????????? 2

1.1 分部积分法 ???????????????????????? 2 1.1.1 分部积分法得基本认识 ????????????????? 2 1.1.2 函数u、v的优选判别 ????????????????? 3 1.2 第一换元积分法

???????????????????? 4

1.2.1 第一换元积分法概念 ????????????????? 4 1.2.2 常用凑微分公式 1.3 第二换元积分法

?????????????????? 4

???????????????????? 5

1.3.1 第二换元积分法概念 ????????????????? 5 1.3.2 第二换元法的常用代换 ???????????????? 2 几种特殊类型函数的积分

5

?????