心形线体积

心形线 一、概念

心形线，是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹线。

二、数学表达

1）极坐标方程

水平方向： r=a(1-cosθ) 或 r=a(1+cosθ) (a>0) 垂直方向： r=a(1-sinθ) 或 r=a(1+sinθ) (a>0)

2）直角坐标方程

心形线的平面直角坐标系方程表达式分别为

x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2) 和 x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2）

3）参数方程

x=a*(2*cos(t)-cos(2*t)) y=a*(2*sin(t)-sin(2*t))

4

心形线所围面积为3/2*PI，形成的弧长为8a

三、相关轶事

关于心形线的爱情故事

《数学的故事》里面说到了数学家笛卡尔的爱情故事。笛卡尔于

1596年出生在法国，欧洲大陆爆发黑死病时他流浪到瑞典， 1656年（另一说笛卡尔1650年逝世），斯德哥尔摩的街头，52岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀。几天后，他意外的接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师。跟随前来通知的侍卫一起来到皇宫，他见到了在街头偶遇的女孩子。从此，他当上了小公主的数学老师。

小公主的数学在笛卡尔的悉

笛卡尔“心形线”研究报告

? 关键词：数学 r=a(1-sinθ） 曲线 极坐标 心型

? 背景：我看到“百岁山矿泉水”的广告，引起了我极大的兴趣。我想探究其背后的故事。

? 目的及意义：此次研究求证了笛卡尔与瑞典公主克里斯汀的爱情故事。锻炼了我的逻辑思维能力

和对方程式的分析能力，同时检验了我数学综合能力，并且使我更了解有关数学的历史，走进了笛卡尔这位伟大的数学家。 ? 研究方法及途径：

定性 描述 归纳 总结 演绎 定量 制作模型 研究资料均从网络获得 ? 研究内容：

笛卡尔于1596年出生在法国，欧洲大陆爆发黑死病时他流浪到瑞典，1648年，斯德哥尔摩的街头，笛卡尔落魄无比、穷困潦倒，又不愿意请求别人的施舍，每天只是拿着破笔破纸研究数学题。有一天克莉丝汀的马车路过街头，发现了笛卡尔是在研究数学，公主便下车询问，最后笛卡尔发现公主很有数学天赋。52岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀。几天后，他意外的接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师。跟随前来通知的侍卫一起来到

皇宫，他见到了在街头偶遇的女孩子。从此，他当上

体积和体积单位

教学内容：人教版第十册 教学要求：

1． 建立体积的概念，认识常用的体积单位。 2． 培养学生的空间观念和空间想象力。 3． 培养学生的观察能力。

教学重点：建立体积的概念，认识常用的体积单位。 教学难点：建立体积的概念。 教学准备：

教具：三把米尺、一个1立方分米的正方体、课件 学具：直尺、每组都有4个1立方厘米的小正方体、

4个组：两个器皿、一满杯米（豆子）、两个大小不同的物体。 3个组：一个盒子、大小不同的两个球 一个器皿、大小不同的魔方 一个器皿、大小不同的两个水果 2个组：大小不同的两个水果 大小不同的两个球

1个组：没有任何学具（找聪明孩子） 教学过程：

一、 创设情境、激趣导入——“乌鸦喝水” 谈话：同学们，你们听过“乌鸦喝水”的故事吗？现在让我们重温一下这个故事，好吗？（打开课件）

提问：乌鸦最后是怎么喝到水的？（2个孩子说，中间不插话） 如果未出现，追问：为什么放进石子，乌鸦就喝到水了？ 小结：你们的意思是乌鸦把石子放到瓶子里，石子占据了瓶子的空间，水面上升，于是乌鸦就喝到水了。

指出：同学们所说的物

第5课时：体积和体积单位（1）

教学目标：

教学内容：P10-11例6、例7，“试一试”和“练一练”，练习三第1－4题。

1.让学生经历观察、操作、猜测、验证等活动过程，体会物体是占有空间 的，而且占有的空间是有大小的，理解体积和容积的意义，能直观比较物体体积或容器容积的大小。

2.让学生在学习活动中进一步发展观察、操作和想象能力，增强空间观念。 教学重点：通过操作活动，初步认识体积和容积的意义。 教学难点：通过操作活动，初步认识体积和容积的意义。 课前准备：直尺，木条。 课时安排：1课时 教学过程 一、教学例6

1.通过实验，让学生体会到物体是占有空间的。

教师按书中过程操作。问：为什么会剩一些水？引导学生认识到桃子占有一定的空间。

如果改用其它的物体呢？再实验。

小结：通过刚才的实验，我们发现物体是占有空间的。 2.通过实验使学生体会到物体所占的空间是有大小的。

出示两个完全一样的玻璃杯，边操作边讲述：一个里边放荔枝，一个里边放桃。想一想：哪个里面放的水会多些？ 学生自由发表意见。

想一想，两个杯里都装了物体，为什么倒进去的水有多有少呢？ 学生交流。

小结：物体不仅占有空间，而且占有的空间是有大有小的。 3.揭示体积的含义

出示3个大小不

冀教版五年级下册

认识体积和体积单位

知识和能力

使学生通过动手实验和对具体事物的观察，了解体积的意义和体积单位，感受1立方米，1立方分米，1立方厘米的实际意义。

过程与方法

结合实验和具体事物，经历建立体积和体积单位概念的过程。

情感态度与价值观

在实验、观察、交流等认识体积和体积单位的活动中，增强学生的空间意识。 教学重点:

了解体积的意义及体积单位，感受1立方米，1立方分米，1立方厘米的实际意义。

教学难点：

感受1立方米，1立方分米，1立方厘米的实际意义。

教学突破：

充分利用教材的四个活动，探索发现新知。

教学过程：

一、设疑激趣。

谈话：同学们，在第五单元我们认识了立体图形长方体和正方体，知道了它们的特征和表面积的计算方法。关于长方体和正方体，还有重要的知识需要掌握，你们有兴趣吗？

这节课老师和大家一起进行几个小实验，考考大家的眼力，愿意接受挑战吗？

二、操作探究

（一）探究体积的意义。

1、小实验

利用土豆和石块的实验，让学生通过猜测、验证、得出结论。

2、出示火柴盒、文具盒和鞋盒，学生回答各占空间的大小。

3、揭示体积的意义。

物体的大小不同，它们所占的空间也不同。我们把物体所占空间的大小，叫做物体的体积。

（二）探究体积的单位。

1、游戏判断体积的大小。

学生闭眼，想象图形。

《体积和体积单位》的教学设计

一、教学目标：

使学生感悟体积的空间观念，建立体积概念，掌握常用的体积单位的意义；学会用体积单位来描述物体的大小；能合理估计物体的体积的大小。

通过学生的观察思考、交流探究等学习活动，让学生在经历物体体积概念的形成过程，体验和感悟空间观念。 让学生在学习活动中学会学习，获得成功的体验，培养学生的应用意识，建立学生的学习自信心。

二、教学重难点：

教学重点：形成体积的概念和掌握常用的体积单位。 教学难点：形成体积概念。

三、教学准备：

教具：一个玻璃杯，里面盛五分之二体积的水，若干石块；1立方分米和1立方厘米的正方体模型，三条长1米的正方体框架条；一个长方形、一个长方体；一个自制的体积为8立方厘米的正方体。

学具：软体能砌下来的蔬菜、豆腐或橡皮泥等物体，一把小刀。

四、教学过程：

（一）、预习：知识过渡迁移

谈话：同学们，我们学习图形，从小小的一个点----线------面-----体，点构成线后线段有长度，线围成面后有大小，而面与面为成了什么？？（体）对了，围成了体，体也有它的什么？（大小）体的大小是什么？怎么来表示体的大小？它的单位是什么？这些同学们都了解吗？能说一说吗？（在学生谈自己的观点的时候，老师鼓励学生表达

认识体积和体积单位 习题精选

1.填空．

一块橡皮的体积约是8（ ） 一台录音机的体积约是20（ ） 运货集装箱的体积约是40（ ） 2．连线：

学校主席台的体积 24立方厘米 书包的体积 24立方米 碳素墨水盒的体积 24立方分米 3.说说身边的物体的体积大约是多少？

体积单位间的进率 习题精选

一、填空

1、4.2立方米＝（ ）立方分米 2、0.75立方分米＝（ ）立方厘米 3、3640立方厘米＝（ ）立方分米 4、62.5立方米＝（ ）立方分米 5、1020立方分米＝（ ）立方米 6、3.15立方分米＝（ ）立方厘米 7、45立方米＝（ ）立方分米 8、3000立方厘米＝（ ）立方分米 二、应用题

1、要制作50块棱长6厘米的正方体木块，至少需要多少立方分米的木材？ 2、一块水泥砖长和宽都是5分米，厚是9厘米．它的体积是多少？ 3、要制作140个棱长5厘米的正方体木块，至少需要木料多少立方分米？

4、某纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长40厘米，它的体积是多少立方厘米？合多少立方分米？

长方体和正

《体积和体积单位》问题导读单

一、学习目标

让学生知道什么是体积。了解常用的体积单位有：立方米、立方厘米、立方分米，能选择恰当的体积单位估算一些常见物体的体积。

二、复习与思考

什么叫做长方体或正方体的表面积？

三、学习过程

1、小组合作表演《乌鸦喝水》的故事。 从这个故事中，你发现了什么数学问题？

2、自己动手完成课本38页实验，想一想，为什么第二个杯子装不下这些水？

3、从课本中找出体积的概念。

3、比较课本38页中物体的大小？想一想，比较的是物体的什么？

4、想一想，几两物体的长度和面积时，为什么要用统一的长度单位和面积单位？

5、观察课本39页上面的两个长方体，怎样比较它们体积的大小呢？

6计量体积要用体积单位，请从课本中找出常用的体积单位，并写出用字母如何表示。

7、自学课本39页认识1立方厘米、1立方分米、1立方米有多大。 自我评价： 同伴评价： 小组长评价：

《体积和体积单位》

一、设计理念

《标准》中指出：数学教学要使学生初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活问题，增强应用数学的意识。在设计本节课设计时中，力求改变传统的概念教学，合理的“用教材”教，以学生为主体来组织探究活动，使学生在探究过程中获得对体积和体积单位的感性认识让学生在探究的过程中获得对体积和体积单位的感性认识，并在实践中体验数学的价值，增强应用意识。

二、教学内容

人教版义务教育课程标准实验教科书数学五年级下册第38 ~ 39页。

三、学情与教材分析

体积这一概念对学生来说是比较生疏、抽象的，从认识平面图形到认识立体图形是学生空间观念的一次飞跃。学生对什么是物体的体积、怎样计量物体的体积以及体积单位间的进率为什么是1000等问题都不易理解，因此学生对体积概念的认识与理解至关紧要。教材通过“乌鸦喝水”的故事使学生初步感知“空间”，再通过一系列的观察、实验进一步感知空间有大小之分，使学生在直观、形象、实践中理解物体所占空间的大小就是物体的体积；而体积单位则可以通过长度单位和面积单位的学习迁移类推，在各种活动和生活物体的积累下建立体积单位的表象。通过学生观察、合作、交流的活动，学生在体验知识来源的过程中进一步体会知识源于生活

《圆锥的体积》教学设计

刘丽萍

一、 教学内容：人教版九年义务教育新课标第十二册第二单元《圆柱和圆锥》中《圆锥的体积》第一课时。

二、指导思想：《小学数学课程标准》指出：教学的任务是引导和帮助学生主动去从事观察猜想、实验、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。因此，在设计本节课时，我力求为学生创造一个自主探索与合作交流的环境，通过学生猜想、观察、操作、实验、证明等数学活动过程,体验数学问题的探索性和挑战性，使学生能够从情境中发现数学问题,学生会产生探究问题的需要，然后再通过自己的探索去发现和归纳公式,体验过程，解决问题。

三、设计理念: 本着在教师引导下学生积极主动合作探究的理念，本课以学生认识发展规律为主线，以引导猜想问题、发现问题、提出问题、探究解决问题、得出结论为基点，通过实际应用训练使学生在“认识—实践—再认识、再实践”中理解运用知识。在教学策略上，本节课利用多媒体创设教学情境，充分激发学生学习的兴趣和欲望，让学生在猜想释疑、合作学习和实验操作中，自觉探究圆锥体积公式的推导过程，并运用规律解决实际问题，激发学生探究的兴趣，解决问题的乐趣，逐步提高