高等数学函数与极限知识点总结

目 录

一、函数与极限 ················································································································2

1、集合的概念 ···········································································································2

2、常量与变量 ···········································································································3 2、函数 ·····················································································································4 3、函数的简单性态 ································

高等数学知识点重点

1 高等数学知识点总结 空间解析几何与向量代数

一、重点与难点

1、重点

①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角; ②数量积(就是个数)、向量积(就是个向量);(填空选择题中考察)

③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面;(重积分求体积时画图需要)

④平面的几种方程的表示方法(点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程),两平面的夹角;(一般必考)

⑤空间直线的几种表示方法(参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程), 两直线的夹角、直线与平面的夹角;(一般必考)

空间解析几何与向量代数:

。

代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,

,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(222222221212

1221221221c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j

第一讲: 一. 数列函数: 1. 类型:

极限与连续

(1)数列: *an f(n); *an 1 f(an) (2)初等函数:

(3)分段函数: *F(x)

f1(x)x x0 f(x)x x0

; *F(x) ;* ,,

ax x0 f2(x)x x0

(4)复合(含f)函数: y f(u),u (x) (5)隐式(方程): F(x,y) 0

(6)参式(数一,二):

x x(t)

y y(t)

(7)变限积分函数: F(x)

x

a

f(x,t)dt

(8)级数和函数(数一,三): S(x) 2. 特征(几何):

ax,x

nnn 0

(1)单调性与有界性(判别); (f(x)单调 x0,(x x0)(f(x) f(x0))定号) (2)奇偶性与周期性(应用).

3. 反函数与直接函数: y f(x) x f二. 极限性质:

1. 类型: *liman; *limf(x)(含x ); *limf(x)(含x x0 )

n

x

1

(y) y f 1(x)

x x0

2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型:

0

,,1, ,0 ,00, 0 0

4. 性质: *有界性,

高等数学第一章函数与极限

一、选择题（共 191 小题）

1、A

下列函数中为奇函数的是(A)y?x2tan(sinx)；　(B)y?x2cos(x??4)；

(C)y?cos(arctanx)；　(D)y?2x?2?x　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）2、A

下列函数中（其中?x?表示不超过x的最大整数），非周期函数的是(A)y?sinx?cos?x；　　(B)y?sin22x；(C)y?a?cosbx；　　　(D)y?x??x?　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）3、D

1关于函数y??的单调性的正确判断是x1(A)当x?0时，y??单调增；x1(B)当x?0时，y??单调减；x11(C)当x?0时，y??单调减；当x?0时，y??单调增；xx11(D)当x?0时，y??单调增；当x?0时，y??单调增。xx　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）4、C

下列函数中为非奇函数的是

2x?1(A)y?x；　　 (B)y?lg(x?1?x2)；2?1

x(C)y?xarccos； (D)y?x2?3x?7?x2?3x?721?x　　　　　　　　

高等数学第一章函数与极限

一、选择题（共 191 小题）

1、A

下列函数中为奇函数的是(A)y?x2tan(sinx)；　(B)y?x2cos(x??4)；

(C)y?cos(arctanx)；　(D)y?2x?2?x　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）2、A

下列函数中（其中?x?表示不超过x的最大整数），非周期函数的是(A)y?sinx?cos?x；　　(B)y?sin22x；(C)y?a?cosbx；　　　(D)y?x??x?　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）3、D

1关于函数y??的单调性的正确判断是x1(A)当x?0时，y??单调增；x1(B)当x?0时，y??单调减；x11(C)当x?0时，y??单调减；当x?0时，y??单调增；xx11(D)当x?0时，y??单调增；当x?0时，y??单调增。xx　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）4、C

下列函数中为非奇函数的是

2x?1(A)y?x；　　 (B)y?lg(x?1?x2)；2?1

x(C)y?xarccos； (D)y?x2?3x?7?x2?3x?721?x　　　　　　　　

高等数学第一章函数与极限

一、选择题（共 191 小题）

1、A

下列函数中为奇函数的是(A)y?x2tan(sinx)；　(B)y?x2cos(x??4)；

(C)y?cos(arctanx)；　(D)y?2x?2?x　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）2、A

下列函数中（其中?x?表示不超过x的最大整数），非周期函数的是(A)y?sinx?cos?x；　　(B)y?sin22x；(C)y?a?cosbx；　　　(D)y?x??x?　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）3、D

1关于函数y??的单调性的正确判断是x1(A)当x?0时，y??单调增；x1(B)当x?0时，y??单调减；x11(C)当x?0时，y??单调减；当x?0时，y??单调增；xx11(D)当x?0时，y??单调增；当x?0时，y??单调增。xx　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）4、C

下列函数中为非奇函数的是

2x?1(A)y?x；　　 (B)y?lg(x?1?x2)；2?1

x(C)y?xarccos； (D)y?x2?3x?7?x2?3x?721?x　　　　　　　　

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第一章 函数、极限和连续

§1.1 函数

一、 主要内容 ㈠ 函数的概念

1. 函数的定义: y=f(x), x∈D

定义域: D(f), 值域: Z(f).

y??f(x)x?D12.分段函数:

??g(x)x?D2

3.隐函数: F(x,y)= 0

4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1

(y)

y=f-1

(x)

定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：

y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1

)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),

则称f(x)在D内单调增加( )；

若f(x1)≥f(x2),

则称f(x)在D内单调减少( )；

若f(x1)＜f(x2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )；

若f(x1)＞f(x2),

则称f(x)在D

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第一章 函数、极限和连续

§1.1 函数

一、 主要内容 ㈠ 函数的概念

1. 函数的定义: y=f(x), x∈D

定义域: D(f), 值域: Z(f).

y??f(x)x?D12.分段函数:

??g(x)x?D2

3.隐函数: F(x,y)= 0

4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1

(y)

y=f-1

(x)

定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：

y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1

)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),

则称f(x)在D内单调增加( )；

若f(x1)≥f(x2),

则称f(x)在D内单调减少( )；

若f(x1)＜f(x2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )；

若f(x1)＞f(x2),

则称f(x)在D

第一章 函数、极限和连续

§1.1 函数

一、 主要内容 ㈠ 函数的概念

1. 函数的定义: y=f(x), x∈D

定义域: D(f), 值域: Z(f).

y??f(x)x?D2.分段函数:

?1?g(x)x?D2

3.隐函数: F(x,y)= 0

4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1

(y)

y=f-1

(x)

定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：

y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1

)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),

则称f(x)在D内单调增加( )；

若f(x1)≥f(x2),

则称f(x)在D内单调减少( )；

若f(x1)＜f(x2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )；

若f(x1)＞f(x2),

则称f(x)在D内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f

高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

1、函数

f x x2

x3 1

x 1与函数g x x 1相同．

错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴

f x x2

x3 1

x 1与g x 函数关系相同，但定义域不同，所以f x 与g x

x 1

是不同的函数。

2、如果f x M（M为一个常数），则f x 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．

错误 如：数列xn 1 是有界数列，但极限不存在

n

4、n

liman a，liman a．

n

n

n

n

错误 如：数列an 1 ，lim( 1)

x

1，但lim( 1)n不存在。

n

5、如果limf x A，则f x A （当x 时， 为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果 ～ ，则 o ．

1，是

∴lim lim 1 0，即 是 的高阶无穷小量。

2

7、当x 0时，1 cosx与x是同阶无穷小．

2

xx 2sin2sin

1 cosx1 1 lim lim2 正确 ∵limx 0x 0x 04