向量积代数运算

平面向量数量积运算的解题方法与策略

平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。

1.利用数量积运算公式求解

在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛,即(a＋b)

２

＝a２＋２a2b＋b２，（a－b）２＝a２－２a2b＋b２

２

２

上述两公式以及(a＋b)(a－b)＝a－b这一类似于实数平方差的公式在解题过程中

可以直接应用.

例1 已知｜a｜＝２，｜b｜＝５，a2b＝－３，求｜a＋b｜，｜a－b｜.

２２２２２２

解析：∵｜a＋b｜＝（a＋b）＝a＋２a2b＋b＝２＋２3（－３）＋５＝２３

∴｜a＋b｜＝23，∵（｜a－b｜）＝（a－b）＝a－2a2b＋b＝2－23（－3）

２

２

２

２

２

3５＝35，

∴｜a－b｜＝35．

例2 已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，求a与b的夹角θ(精确到１°).

２２２２２

解析：∵（｜a＋b｜）＝（a＋b）＝a＋2a2b＋b＝｜a｜＋2｜

平面向量数量积运算的解题方法与策略

平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。

1.利用数量积运算公式求解

在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛,即(a＋b)

２

＝a２＋２a2b＋b２，（a－b）２＝a２－２a2b＋b２

２

２

上述两公式以及(a＋b)(a－b)＝a－b这一类似于实数平方差的公式在解题过程中

可以直接应用.

例1 已知｜a｜＝２，｜b｜＝５，a2b＝－３，求｜a＋b｜，｜a－b｜.

２２２２２２

解析：∵｜a＋b｜＝（a＋b）＝a＋２a2b＋b＝２＋２3（－３）＋５＝２３

∴｜a＋b｜＝23，∵（｜a－b｜）＝（a－b）＝a－2a2b＋b＝2－23（－3）

２

２

２

２

２

3５＝35，

∴｜a－b｜＝35．

例2 已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，求a与b的夹角θ(精确到１°).

２２２２２

解析：∵（｜a＋b｜）＝（a＋b）＝a＋2a2b＋b＝｜a｜＋2｜

第11讲 平面向量的数 量积与坐标运算

满分晋级

向量3级 平面向量的数量积与坐标运算

向量2级 平面向量的线性

运算

向量1级 向量基本概念及运算

新课标剖析

当前形势

内容

平面向量的正交分解及其坐标表示 用坐标表示平面向量的加法、减法

与数乘运算 用坐标表示的平面向量共线的条件

高考 要求

数量积 数量积的坐标表示 用数量积表示两个向量的夹角 用数量积判断两个平面向量的垂直

关系 用向量方法解决简单的问题

平面向量在近五年北京卷（理）考查5分

要求层次 A

B √ √

C √ √ √ √ √

具体要求

掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．

理解用坐标表示的平面向量共线的条件． ①理解数量积的含义及其物理意义． ②了解数量积与向量投影的关系．

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． ①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．②会用向量方法解决简单的力学问题与一些实际问题．

2012年 （新课标）

2013年 （新课标）

√

北京 高考

2009年

2010年 （新课

平面向量数量积的 物理背景及其含义

教学目标：掌握平面向量数量积的概念， 掌握平面向量数量积的概念，能用它来 表示向量的模及向量的夹角

教学重点：平面向量数量积的运算律， 平面向量数量积的运算律，用它来表示向量的模及向量的夹角

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解， 平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用

如图所示：物体在力F的作用下由A移动到B 问力F 如图所示：物体在力F的作用下由A移动到B,问力F 所作的功？ 所作的功？ F θ S A B F

力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、 力与位移夹角的余弦这三者的乘积。

W= F S cosθ

已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cos θ叫做 a b a b a与b的数量积，记作a ·b ,即 b a b a ·b= |a||b|cos θ b a b 其中θ是a与b的夹角， |a|cos θ( |b|cos θ )叫 a b a b 做向量a在b方向上( b 在 a方向上 )的投影。 a b ( A a O A1 b 几何意义：数量积a ·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的 a b a a b a 投影|b|cos θ的乘积

第三节 数量积 向量积 混合积

分布图示

★ 两向量的数量积

★ 例1 ★ 例4

★ 向量积概念的引入 ★ 向量积的运算

★ 例6 ★ 例9

★ 向量的混合积

★ 例11

★ 例7 ★ 例10

★ 例8

★ 数量积的运算 ★ 例2 ★ 例5

★ 向量积的定义

★ 例3

★ 混合积的几何意义 ★ 例12 ★ 例13

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题7-3 ★ 返回

内容要点

一、两向量的数量积：

定义1设有向量a、它们的夹角为?，乘积|a||b|cos?称为向量a与b的数量积（或b，称为内积、点积），记为a?b，即

????a?b?|a||b|cos?????????.

根据数量积的定义，可以推得：

?????? （1） a?b?|b|Prjba?|a|Prjab;

（2） a?a?|a|;

??????（3） 设a、b为两非零向量，则 a?b的充分必要条件是 a?b?0.

???2数量积满足下列运算规律：

????（1）交换律 a?b?b?a;

（2）分配律 （3）结合律

???????

第三节 数量积 向量积 混合积

分布图示

★ 两向量的数量积

★ 例1 ★ 例4

★ 向量积概念的引入 ★ 向量积的运算

★ 例6 ★ 例9

★ 向量的混合积

★ 例11

★ 例7 ★ 例10

★ 例8

★ 数量积的运算 ★ 例2 ★ 例5

★ 向量积的定义

★ 例3

★ 混合积的几何意义 ★ 例12 ★ 例13

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题7-3 ★ 返回

内容要点

一、两向量的数量积：

定义1设有向量a、它们的夹角为?，乘积|a||b|cos?称为向量a与b的数量积（或b，称为内积、点积），记为a?b，即

????a?b?|a||b|cos?????????.

根据数量积的定义，可以推得：

?????? （1） a?b?|b|Prjba?|a|Prjab;

（2） a?a?|a|;

??????（3） 设a、b为两非零向量，则 a?b的充分必要条件是 a?b?0.

???2数量积满足下列运算规律：

????（1）交换律 a?b?b?a;

（2）分配律 （3）结合律

???????

浅谈向量混合积的应用

摘要 向量代数在数学学习过程中有着很重要的作用，本文重点列举了向量的混合积在微分

几何、立体几何、空间解析几何及数学分析等方面的应用，从而体现了向量的混合积应用的广泛性. 关键词 向量；混合积

向量的混合积在实际应用中在不同的方面都有着广泛的作用，下面就混合积

在各领域的运用予以举例说明.

混合积的定义 给定空间的三个矢量a,b,c，如果先做前两个矢量a和b的失性积，再做所得的矢量与第三个矢量c的数性积，最后得到的这个数叫做三矢量

?????????a,b,c的混合积，记做(a?b)?c或(a,b,c)或(abc).

?????????性质1三个不共面矢量a,b,c的混合积的绝对值等于以a,b,c为棱的平行六面体的体积V，并且当a,b,c构成右手系时混合积是正数；当a,b,c构成左手系时，混合积是负数，也就是有

(abc)??V,

???????????????当a,b,c是右手系时??1;当a,b,c是左手系时???1.

性质2 三矢量a,b,c共面的充要条件是(a,b,c)?0.

性质3 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值，对调任何两个因子要改变乘积符号，即

(abc)?(bca)?(cab)??(bac)??

1 【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式课后知能检测 新人教B 版选修

4-5

一、选择题

1．a ＝(－4,3)，b ＝(5,6)，则3|a |2－4a ·b ＝( )

A ．23

B ．57

C ．63

D ．83 【解析】 |a |2＝a 2＝a ·a ＝(－4)2＋32＝25，

a ·

b ＝(－4,3)·(5,6)＝－20＋18＝－2.

∴3|a |2－4a ·b ＝3×25－4×(－2)＝83.

【答案】 D

2．(2013·宿州高一检测)若a ＝(2,1)，b ＝(3,4)，则向量a 在向量b 方向上的射影为

( )

A ．2 5

B ．2 C. 5

D ．10 【解析】 |a |cos θ＝|a |

a ·

b |a ||b |＝a ·b |b |＝2×3＋1×45

＝2. 【答案】 B

3．已知a ＝(－1,3)，b ＝(2，－1)且(ka ＋b )⊥(a －2b )，则k ＝( )

A.43

B ．－43 C.34 D ．－34 【解析】 由题意知(ka ＋b )·(a －2b )＝0，

而ka ＋b ＝(2－k,3k －1)，a －2b ＝(－5,5)，

故－5(2－k )＋5(3k －1)

平面向量的数量积

教学目标：

(i)知识目标:

（1）掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示. (2) 平面向量数量积的应用.

(ii)能力目标:

(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力. (2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.

教学重点: 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.

2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.

教学难点: 平面向量数量积的综合应用. 教学过程： 一、追溯

????1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?

?????????aaaa叫与b的数量积，记作?b，即?b = |||b|cos?，(0????)并规定0与任何向量的

数量积为0 ??????aaa2．平面向量的数量积的几何意义：数量积?b等于的长度与b在方向上投影|b|cos?的乘积. ????3．两个向量的数量积的性质 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量 ?????????1?e?a = a?e =|a|cos?； 2?a?b ? a?b = 0

???????????????3?当a与b同向时

8.6 空间向量及其运算

一、选择题

1．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )．

A．{a，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b}

B．{b，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}

解析 若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋

b，a－b可构成空间向量的一组基底． 答案 C

2．以下四个命题中正确的是( )．

A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示

B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底

→

→

C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底

解析 若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－λ－1μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b1－μλ＋μ＋c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾． 1－μ答案 B

3．有下列命题：

①若p＝xa＋y